RÈGLE DE TORRICELLI

face libre qu'k ToriOce, on ^p=Pq(*) eih valeur de (/ se réduit &

(6) v^^'igh^.

ei, si la surrace libre du vase est assez large par rapport à Tori- (ice pour que le quotient ^ soit négligeable,

i^etle équation exprime que la vitesse d'écoulement est égale à la vitesse qu*acquerrait le liquide en tombant en chute libre d*une hauteur h justement égale a la distance de rorifîce à la surface libre.

I^ rogle exprimée par la formule (6 bis) a été donnée pour

. * ) La |>ri»sMioii, égale à^, à la surface libre et dans le plan de l'orifice, n'est «-<^|K'udaiit pas constante dans toute retendue de la colonne liquide. L'équation (j), intégrée de z a k, donne

ft, puisque VS =: ♦•/,

IMa^'ons-nous dans le cas particulier où la surface libre a une étendue S. \^M*% grande pour que la règle de Torricclli soit applicable,

t'i, par suite,

ilette quantité est suitéricurc ou inférieure à la pression atmosphérique suivant que

Par eiemple, dans un plan dont la section S serait inférieure à la section s de l'orifice, c, qui est plus petit que A, serait à plus forte raison < A ^; la pression p serait donc inférieure à /»,. Si l'on perçait un petit trou on cet endroit ilu vase, l'air serait aspiré et entraîné par le mouvenient du liquide. Cette prévision est confirmée par l'expérience.

la première fois par Torricelli ,<), et vérifiée expérimentalemeni par Mariotte ;-) el parGuglielmi('). Celle vérificalion doilélre faite dans des conditions qui réduisent au minimum Teffel perturbateur résultant de 1* adhésion du liquide avec les parois de Torifice d'écoulement. Cet oriûce sera donc percé dans une paroi mince ; ses bords seronl laillés en biseau de manière à réduire en quelque sorte la surface d'adhésion à une arête. Au reste, comme nous ne tenons aucun compte de Tadhésion du liquide, nous devons nous attendre à ce qu'il subsiste encore quelque perturbation, dont Texpérience seule pourra nous révéler la nature et la grandeur.

Pour mesurer la vitesse du jet liquide, ou, comme on dit, de la veine d'écoulement, le moyen le plus simple qui s'offre à nous est d'observer la forme de la trajectoire du liquide s'écoulant par un orifice latéral. Puisqu'à l'état d'équilibre la pression du liquide est la même dans toute l'étendue d'un même plan horizontal et qu'elle est partout normale à l'élément que l'on considère, la vitesse d'écoulement doit demeurer normale à la paroi quelle que soit sa direction, et conserver la grandeur qui correspond à sa profondeur h au-dessous du niveau du liquide. Cela posé, si la veine est lancée dans une direction quelconque faisant un angle a avec l'horizontale, chacune de ses molécules sera dans la même condition qu'un projectile lancé dans celle direction avec la vitesse

Désignons par j:; ei r les coordonnées de la molécule au temps / par rapport à deux axes rectangulaires, l'un vertical, l'autre horizontal, situés tous deux dans un plan normal à la paroi ei passant par le centre de l'orifice.

(') ToRBiCELLi, Trattato del moto dei gravi ^ Florence. iG^i.

Les anciens avaient observé qne le débit d'un orifice est d'autant plu> irrand qu'il est placé plus profondément au-dessous de la surface libre du liquide: Frontin en fait déjà la remarque. Mais Torricelli a le premier énonce une loi précise h cet éçar<l.

(') Mariotte, Traité du mouvement des eaux. Paris, i68<).

(') Gu(;lielmi, Trattato plnsieo-matematico délia natura dei Jiumif Bolo {jna, iG()7-i7i'J.

AËGLE DE TORRICELLI. 89

La veine décrira une parabole dont Féquation est

L'amplitude du jet sera égale à aAsih 2a; elle ne variera pas si Ton donne à a les deux valeurs ^S'^zha'. La hauteur maximum à laquelle parviendra le liquide sera

Asin^âc;

cette hauteur deviendra h si a est égal à 90*», c*est-à-dire que la veine lancée verticalement de bas en haut remontera à la hauteur du niveau du liquide dans le vase. ,

Si Ton suppose âe=o, c'est-à-dire si la veincf est lancée horizontalement, l'équation de la parabole deviendra

On a essayé, el à plusieurs reprises, de vérifier expérimentalement ces diverses conséquences. Dans le cas où la -veine est lancée verticalement de bas en haut, elle ne remonte jamais à la hauteur A; mais cela tient à ce que les gouttelettes liquides arrivées au sommet du jet tendent à retomber et détruisent en partie la vitesse ascendante de la colonne totale. Mais, à mesure que le jet s'incline jusqu'à devenir horizontal, celte cause perturbatrice diminue el finit par être nulle. Dans ce dernier ras on a

c'esi-à-dire que, en recevant la veine sur un plan horizontal abaissé de — j au-dessous de l'orifice, elle doit le rencontrer

;i une dislance x telle que -7- soit égal au produit de h par^\

Kossut a trouvé que celle conséquence se vérifiait pour les diverses valeurs données à // el à^*, el que la viicsse calculée ne (lépassail que de j^ environ la vitesse observée, t^omnie il faut lenir compte de la résislancc de Tair ( « ), celte

' I/iiinueiice de la ivaistaiicc de l'air sur la furme de la trajectoire de lu

différence peut être négligée, et le théorème des vitesses considéré comme justiflé.

COimACTIOH DE LAVEIHE. — On a essayé ensuite un autre procédé-de vérification beaucoup moins simple, qui consiste à calculer d'une part et à mesurer de Fautre la dépensCy c'est-àdire la quantité de liquide qui s'écoule pendant un temps /par un orifice de section connue s. Pour faire la mesure, il n'y a qu'à recueillir et à peser le liquide qui s'écoule; pour calculer la dépense, il faut faire deux hypothèses : i** que la vitesse est

à la sortie égale à sl^gh; 2" que la veine formerait, si elle continuait de s'écouler avec la même vitesse, un cylindre de section s dont la longueur serait i^/, le volume svtei le poids svtd^ en désignant par d la densité du liquide. Cette dernière hypothèse exigerait que tous'Jes filets liquides fussent, à l'orifice, dirigés parallèlement entre eux et perpendiculairement à la paroi, ce qui devrait être si l'adhésion du liquide n'existait pas. En faisant l'expérience, on a reconnu que la dépense vraie n'esi que les six dixièmes de la dépense calculée de cette manière.

Or, puisque les expériences de Bossut ont prouvé que la vitesse moyenne de la veine est conforme à la loi de Torricelli, la discordance trouvée entre la dépense calculée et la dépense observée n'infirme en* aucune façon cette loi et ne peut être attribuée qu'à l'influence de Tadhésion du liquide. La veine n'est pas un cylindre de section s; les forces moléculaires ont dû agir pour lui donner une section plus petite. C'est en effet ce que l'expérience va nous démontrer.

Si tous les filets liquides avaient en sortant la même direction et la même vitesse, la veine devrait aller en se contractant régulièrement et de plus en plus en s'éloignant de l'orifice. £n effet, imaginons qu'une tranche, après avoir traversé cet orifice où elle a une vitesse a, s'écoule pendant un temps /; elle parcourra un espace

veine liquide a été recoiuuie d'abord par le P. Mersenne [Phernomena hydraulicoyjtieitmatica, 1 6^ 4 ) •

l'.ONTHACTION [>E LA VEINE. iji

si a ce momeni l'on considère iino seconde trnnche située à l'oriDce même, elle sera à une dlsiaiice e de la première et au bout d'un temps l-\-dt cette distance sera devenue

« -H ffe = tf + gtdt.

l)eu\ iranclies déterminées devront s'écarier progressivement Tune de l'autre pendant ta chute, et la veine devra diminuer régulièrement de section, mais d'une manière qui sera peu sensible, en s'éloîgnant de l'orince.

L'expérience prouve que les choses se passent tout autrement. On remarque en elTet, à partir de l'origine jusqu'à une distaiire irês-petite de l'ouverture, une contraction extrêmement rapide, mais variable avec les charges {fig. 55) ; puis. Après avoir ofTert en ce point un minimum de section AB, la veine continue sa route avec une Torme sensiblement cylindrique, comme la loi théorique le prévoit. Il y a donc une contraction anomale (')■ Or on trouve qu'elle diminue la section de la veine dans un rapport inoyende;j; = o,6a; par conséquent, elle doîl diminuer proporlionnellenienl la dépense, ce qui est conforme a l'expérience.

On voit donc : premièrcmeni, que le théorème de ïorricelii ne rèfçle absolument que la vitesse de la veine liquide et qu'il est exact! secondement, que la veine, au lieu d'être cylindrique comme on l'avait supposé, éprouve une contraction qui a pour effet de diminuer la dépense. Il nous reste à rechercher si la cause de celle coniraciion esi bieni'adhésion du liquide pour lui-même.

On pourrait d'abord imaginer que l'adhésion du liquide pour la paroi de l'orifice d'écoulement joue le rôle principal dans la Tormalion de la veine. S'il en était ainsi, la partie extérieure de la veine, en TroUant contre cette paroi, sérail ralentie dans

I ' ) La coDlraclion île la >r NswUia ( PAÎIino/i/nie m

abieriée pour la promltr« foi*

90 PHYSIQUE MOLi .vîRE.

différence peut être négligée, r! -^vntrales continueraient

sidéré comme justifié. ^j les choses se passaient

fi moment où une tranche COimACTIOH DB LAVEIIIE. .ortir à travers rôrifice AB

cédé -de vérification beaip ^ ^ur une surface plane. Apre?

culer d'une part et à m- - j-és-court ^, elles ont parcouru

dire la quantité de li(|ii -^uces inégales et se trouvent sur

un orifice de section onace A'M'B',de même étendue

qu'à recueillir Cl ;i [m ^B^ mais concave et limitée à un

la dépense, il fitui ....uor A'B' plus étroit. Après un se-

à la sortie ég;ilr ;» *^^ intervalle d, la différence des che-

tinuaitde s'tM*)': «••te^ parcourus par les molécules cen-

tion^ dont l;i I' »m^ ^^ extérieures est devenue plus

en désifïiiaii! • jnude encore, la surface A'^M^'B*' sur

thèse exil • atfuelle elles se trouvent est encore plus

dirigés i- • -étiuur A^'B" est encore plus étroit. Les

paroi. <'•' .«•«» ^^ ^^ même manière pendant un certain

En fui' - - 1*^**- * cause de l'adhérence des molécules,

que I . ,, al mouvement commun dans une même

n ^13^ i *eîne cesse de se contracter pour prendre

\\' ^ ^LfiAitie ou qui ne varie plus que par Taccé-