BC AC AB
ou, en remplaçant — j — , — au moyen des équations (17)
^ JL JL
et supprimant le facteur S,
(18) Pk=pTryr-\-qTy -4-rTzr.
1 VI ^pTrz-hqTyz-^rTz,
Les équations (18) expriment les conditions d^équilibre.
ÉanniBBE D'UH GOBPS ÉLASIiaUB de FOBKE aUCLCOHaUB. — Nous admettrons qu'un corps élastique n'est soumis, outre les actions extérieures, qu'à des forces proportionnelles aux masses et variant d'une manière continue en grandeur et en direction avec les coordonnées du point auquel elles s'appliquent. Cela posé, nous décomposerons le corps en éléments de volume par trois systèmes de plans parallèles aux plans coordonnés et infiniment voisins; ces éléments seront des parallélépipèdes ayant pour arêtes dx, rfj> dz, sauf au voisinage immédiat de la surface où l'on rencontrera des tétraèdres ayant pour arêtes dx, dy, dz et dont la base sera située sur la surface du corps.
Les faces de chaque parallélépipède sont soumises à des
i54 PHYSIQUE MOLÉCULAIRE.
forces T^, Tr, T„ Txy^ T^«,T«x normales el tangentielles.inais qui varient d'une manière continue avec les coordonnées, de telle sorte que sur une face de Tun de ces parallélépipèdes agissent par unité de surface les forces
IjTt T.r/, Ij:«>
et sur la face opposée aussi par unité de surface les forces
Soient X, Y, Z les composantes, rapportées à Tunité de volume, de la force appliquée au point (.r, j, z), et supposons, pour plus de simplicité, que le corps est homogène. Sur le parallélépipède considéré agissent parallèlement à Taxe des x
les forces
\dxdxdz,
'^'^^'^^'dâ^^' -rf^^-^^r» -dxdr-^dz.
dont la somme doit être nulle.
Les conditions de l'équilibre sont donc
' ~ cte dy^ ùz
, . ■ ^r d^rr . dTy . dTzr
dx dx dz
Z = ^ -;- ^En H ^ dx dx dz '
en chaque point de l'intérieur du corps. Il reste à exprimer que les tétraèdres limités à la surface sont aussi en équilibre, ce qui fournit les conditions
( P/ =pTxz'^qTyr,-^rTz
en chaque point de la surface; /i, k, /, p, q, r sont les cosinus des angles que la traction extérieure P et la normale à la sur-
THÊORIB DE L'ÉLASTICITÉ, bce font ayec les axes. Si Féquation de la surface est
ont
dl d£ A± dx dy dz
Quand le corps n'est soumis qu'à des actions extérieures» il fiut faire X = Y = Z = o dans les équations (19]. Dans cette hypothèse particulière^ il y a plusieurs cas intéressants à examiner:
L* Imaginons que Ton ait en chaque point
(aï) Tx7=Tj« = T,x=o.
Les équations (19) se réduisent à
iTïr (Tir (TXz
iU) dy dz
La traction exercée parallèlement à Tun des axes demeure constante tout le longd^une droite quelconque parallèle à cet axe. De plus, les équations (20) donnent
Pfr = ^T>., P/=rTz, et, comme A« h- A-» -+-/=«= i.
En chaque point de la surface du corps, celte pression fait avec les axes des angles dont les cosinus sont
fri=
v//>»Ti-l-«7•■'Tj^-^-^»Ti|
q'ix
v'/?»Ti+7*Tj'+r»TÎ
rTx
i56 PHYSIQUE MOLÉCULAIRE.
En particulier» si
(26) Tx=Tjr=T,= consl.
on a
et, par suite, la force P = T^= T^= T, est constante engpiDdeur en tous les points de la surface. L*équation (27) montre d'ailleurs qu'elle est partout normale. Dans le cas où les tnc tions sont négatives, c'est-à-dire se changent en compressIoiiSy les équations (t^6) et (27) expriment que la compression est uniforme, telle qu'on peut l'exercer, par exemple, en iminer-* géant le corps au milieu d'un liquide que l'on comprime. La diminution proportionnelle de volume, rapportée à l'unité de pression, est donnée par la formule (g)
C'est la valeur trouvée précédemment pour le coefScient de compressibilité cubique.
1? Supposons
d'Où
X=2a(l -f-fl)ïc.r.
Il n'y a ni allongement ni changement de volume, et la déformation produite ne modifie pas la direction des droites parallèles à Ox et à Ojr.
Les équations (19) donnent immédiatement
dz
dïzx dx
c'est-à-dire que T^^ conserve une valeur constante en tous les points d'un même plan perpendiculaire à Oy. D'autre paf^
DÉFORMATION D'UNE SPHÈRE CREUSE. i5;
les équations (20) deviennent
PA = rTxx, Pfr = o, ,
P/ =A»Tr^; on en tire
IA- = 0, '■ '* p — '* T pi à
La force P est donc partout perpendiculaire à 0^.
Supposons en particulier que le corps soit un parallélépipède ABCDEF [Jig. 76) ayant ses arêtes parallèles aux axes. Sur les faces perpendiculaires à Ox, on a /? = i, z = o; il en résulte A = o, /= i, la force P est égale à T^j- et parallèle à Oz; sur les faces perpendiculaires à Oz on a de même P = T«j, et cette force est dirigée parallèlement à Ox : elle est nulle sur les faces perpendiculaires à Oj^.
DtrOBMâTIOH D'UHE SPHÈBE CREUSE SOUKSE A UHE GOMPBES- 8I01I unFOBME. — Comme exemple de l'application des formules générales de Télasticité, nous allons étudier la déformation d'une sphère creuse, de rayons intérieur R© et extérieur R, soumise à des compressions uniformes, mais affectant des valeurs différentes Po et P à ses deux surfaces externe et interne. Dans ce cas, les six coefficients Tjr, Ty, T^, T^j, ïxz, T^z sont, en général, différents de zéro. Dirigeons Taxe des x suivant un rayon OR de la sphère, et prenons la direction OR comme positive. Les compressions devront être considérées comme des tractions négatives; nous aurons alors aux deux surfaces
Tj:— — Po, Tj:= — P, et, par suite, -^n'est pas nul à Tintérieur de la couche sphérique. D'autre part, la somme
dx dz dx
d'après la première équation (19), et par suite T^^, Ixz varient avec les coordonnées du point considéré, etc. Nous nous proposons de trouver l'expression générale des six coefficients.
i58 PHYSIQÛB MOLÉCULAIRE.
GALCSUL DS8 TEmoiS. — A cet efTet» nous éYalueroiuid*abQil
les déplacements linéaires et angulaires a, (, c, f » x» 4^ ^ 1* variation proportionnelle du yolume a» (formules 798 eli(). Pour y parvenir, remarquons que, par raison de syméirie» toute surface sphérique de rayon r ayant son centre ao centre 0 de la sphère creuse conserve sa forme, et que mrayon éprouve seul une variation proportionnelle p, que nous prendrons comme inconnue, auxiliaire.
En un point 0' de la sphère ( fig. 83), dont les coordoonées
Fig. 83.
sontj;,^, z, formons un parallélépipède élémentaire ayant pour arêtes dx, dy, dz. Par suite de la déformation, la droiie 00'= r devient r(n- p), et les coordonnées du point 0' respectivement
celles du sommet A deviennent
(.^p + ^ete);
mais l'on a identiquement
dp dp dr
^^■^■^ ^i^^ ^«^B^ ^mmmm^ (
dx dr dx
plus
