LOIS DE KEPLER

egré de simplicité, il n*y a plus qu*à étudier par Tobservation e mouvement de chaque planète autour du Soleil considéré omme fixe; c'est ce qu'avait fait Kepler (<), et le résultat ;énéral de ses observations se résume en trois lois que nous tllons énoncer :

!• Les planètes décriçeni des courbes planes, et les rayons secteurs p€artant du centre du Soleil décrivent des aires profXMrtionnelles aux temps,

1* Les orbites des planètes sont des ellipses dont le Soleil tKeape un desfoy^ers,

3* Les carrés des temps de réi^olution des diverses planètes sont proportionnels aux cubes des grands axes de leurs orbites.

Acceptons ces lois et voyons comment Newton ( > ] s en est s€nri pour démontrer l'existence d'une force atiracllve exercée ptr le Soleil et trouver la loi des variations de cette force avec la distance.

Ftg. 1.

l'iTTRÂCnOI EST DIBIftÉE ¥EBS LE SOLEO.. — Soient 0 [fig. i ] le centre du Soleil et A celui dune planète à un moment déterminé. Pendant un temps infiniment petit, elle parcourra Félément AB de sa trajectoire, et son rayon vecteur décrira Taire AOB.

^i aucune cause n^agissait sur elle, <^lle parcourrait, dans le temps inliniment petit suivant et égal au premier, un élément fiC égal à AB ^l situé sur son prolongement, et ï'On rayon vecteur décrirait l'aire

M)Cqui serait égale à AOB; mais il n'en est pas ainsi : La pla> »èie décrit un élément BI) incliné sur le premier, d'où Ton peut déjà conclure qu'elle est soumise à une force qui agit à '"'ïïque instant sur elle. Pour avoir la direction de cette force.

V , Kepler, Astronomia nova, oitioXoyTjToç, .*/«•<? Pfijsica ca'lestis trntiita Com~ '*^'*fftriis de motn stcllie Martis. PraQS, 1O09. Epitome Asfionoitittv coperni- '""^. Uncii, 1618.

.' Newtdx, Philosophiœ naUtralis principia mathematica, Londoii , 1687.

8 GRAVITATION UNIVERSELLE

remarquons que, d'après la première loi de Kepler, on doit avoir

ABO ^ BDO ^ BCO.

Les deux triangles OBD^ OBC, étant équivalents, doivent avoir leurs sommets sur une ligne DC parallèle à OB, et, si nous achevons le parallélogramme EBCD, nous voyons que pour parcourir l'espace BD la planète a dû être soumise à sa vitesso initiale, qui Taurait transportée de B en C, et à une force qui lui aurait fait franchir la ligne BE; cette force est donc dirigée vers le point 0. Il est, par conséquent, démontré que les planètes, en se mouvant en ligne courbe, sont soumises à une force, et que, les aires étant proportionnelles aux temps, la force est dirigée vers le centre du Soleil. Cela justifie déjà une partie de Thypothèse de Newton.

LOI DE L'ATTRAGTIOH. — La deuxième loi de Kepler détermine la forme de la courbe parcourue; elle s'applique 'à des planètes dont l'excentricité est inégale, et nous sommes autorisés à penser qu'elle comprend, comme cas particulier, celui où l'ellipse dégénérerait en un cercle, bien qu'il n'y ait aucun** planète qui réalise ce cas. En remarquant d'ailleurs quo lexcentricilé des orbites planétaires est toujours très petite, nous pouvons, dans une première approximation, admettre qu'elle est nulle et raisonner dans cetle hypothèse : c'est ainsi que fit Newton.

Dans le cas où la planète parcourrait un cercle dont le Soleil occuperait le centre, désignons par II le rayon du cercle parcouru ou la distance de la planète au Soleil, par T le temps d'une révolution; la force à laquelle la planète est soumis' produit l'accélération centripète de son mouvement; en désignant par m la masse de la planète, cette force est donc

OU, pour chaque unité de masse de la planète,

LOI DE LATTRACTION. 9

Comme il ^ a plusieurs planètes à des distances différentes li,

R', R", ..., faisant leurs révolutions dans des temps T, J\

T"^ ..., nous obtenons pour la valeur de Tatlraclion du Soleil

sur Tunité de masse des diverses planètes aux distances

R, R', R ", ... les quantités

Ma posé, rappelons-nous qu'en vertu de la troisième loi de Keplerlescarrésdes tempsdes révolutions T2,T'2/P^, !.. sont proportionnels aux cubes des dislances des planètes au Soleil ou à R3, R'3, 1;"% . . . , ce qui donne la suite des rapports égaux

,, R3 , R'^ , R"3 ei, en divisant les équations précédentes par ces dernières, on a

ce qui montre que l\ittraction exerciie sur lUuiite de masse à diverses distances est en raison imerse du carre de ces dislances.

Si nous voulons avoir 1rs foicos motrices F, F', F", il suflil, 'lîïpres réqualion (1), de multiplier par les acccltMalions les niasses niy ///', //?",. . . de chaque planète, ce qui donne

4*-K représente l'attraction exercée par la masse entiiue du Soleil sur Tunité de masse de la planète à l'unilé de distance, ^*^ oomme elle est la somuie des attractions de tous les élé- 'nenijj du Soleil, elle est proporlionnelle à la masse tout en- '«ero M de cet astre, et l'on peut poser \ r- R - Mo, ce qui donnt»

A - M9 |-, A — Mo j--i A = M —, . . .

"^^1 l'attraction est proportionneile au produit des masses " ' A^resenc-e et en raison inrerse du carre des distances,-

lo GRAVITATION UNIVERSELLE.

Dans tout ce que nous venons de dire, nous avons supfMsé que les planètes décrivent des cercles et non pas des ellipses, comme cela est réellement : nous n'avions pour but que de faire comprendre par une méthode approchée comment Newton est arrivé à la loi de Tattraction. £n Mécanique» on traite k problème sans y apporter cette restriction, et l'on arrive an mêmes conséquences par une démonstration irréprochable. Quelle que soit la marche que Ton suive, on démontre toujours : i**que les planètes sont sollicitées par une force dirigée vers le Soleil; a« que cette force est en raison inverse du carrée des distances; mais il n*en résulte pas que cette force soll. réellement le résultat d'une attraction de la matière. Il se peuv. même que la matière soit absolument passive et que Tétherdont Tespace est rempli et au milieu duquel les astres soau. plongés soit la cause unique des actions apparentes qui sepro— duisent entre eux. En résumé, nous reconnaissons qu'une force s'exerce entre les planètes et le Soleil, mais nous ne savons à quoi Tattribuer, et, quand nous disons qu'elle est due à une attraction de la matière, nous faisons purement et simplement une hypothèse pour expliquer une grande loi de la nature. Newton ne s'y était point trompé, car il n'a dit qu'une seule chose : c'est que tout se passe comme si cette attraction clail réelle. Il convient de signaler et d'imiter cette réserve de Newton,

Une fois que l'on a montré l'existence et trouvé les lois de la variation de cette force, on peut se demander comment les planètes en sont venues à décrire autour du Soleil les courbeî^ que Kepler a étudiées : c'est alors un problème de Mathématique» dont on va comprendre la possibilité. Si, à l'origine de^ temps, la Terre, par exemple, avait été placée sans vitesse initiale en présence du Soleil^également immobile, les deux astres^ en s'attirant, auraient marché l'un vers l'autre jusqu'à se ren^ — contrer. Mais, si la Terre avait reçu une impulsion initiale dan^ une autre direction que la ligne des centres, elle aurait décri* une courbe sous la double influence de sa vitesse première de Taitraclion solaire. Le calcul montre que cette courbe toujours une section conique et le Soleil un des foyers de cet courbe, et, suivant les valeurs de la vitesse initiale, la sectic^

PESANTEUR ET ATTRACTION UNIVERSELLE. ii

conique peut être un cercle, une ellipse, une hyperbole ou une parabole. Une fois placé sur cette courbe, Faslre la suit jndéfinimenty revenant sans cesse dans le même chemin si la courbe est fermée, comme c'est le cas des planètes, et s'éloignant pour ne jamais revenir si c'est une parabole ou une hyperbole: il y a des comètes qui paraissent être dans ce cas. \Iaiis ce n'est point là la solution complète du problème de TAstronomie; on ne peut pas se contenter de considérer les planètes comme indépendantes les unes des autres, car évidemment l'une d'elles est soumise à l'action de toutes les autres en même temps qu'à celle du Soleil, ce qui fait que les lois de Kepler ne sont pas absolument réalisées et que toutes les planètes connues, au lieu de parcourir une ellipse rigoureuse, décrivent des courbes complexes. Alors le problème général de l'attraction des astres devient extrêmement compliqué, et il ^^ige à la fois, pour être traité, le concours des Mathématiques, ce qui constitue la Mécanique céleste, et celui des observations précises, qui sont du domaine de l'Astronomie physique.

IDERRÉ DE LA PESAHTEUR ET BE L'ATTRACTIOH UHIYERSELLE. —

Essayons maintenant de démontrer (jue la cause qui fuit tomber les corps sur le globe est la même que celle qui produit ce que nous venons d'appeler l'attraction : c'est encore à Newton que l'on doit cette démonstration. La Terre possède un satellite, qui est la Lune, et les centres de ces deux astres sont à «ne distance moyenne égale à environ soixante fois le rayon ïnoyen de la Terre. Astronomiquement parlant, cette distance est fort petite, ce qui fait que l'attraction de la Terre sur la Lune ^st beaucoup plus grande que celle du Soleil, et que l'on pc^t la considérer comme l'action unique à laquelle la Lune ^^^l soumise. Cela n'est point vrai à la rigueur, mais c'est une approximation dont nous pouvons d'abord nous contenter. " en résulte que la Lune doit décrire et décrit en effet une ^'"pse autour de la Terre considérée comme immobile. Admettons encore que celte ellipse soit un cercle, que la Terre soit ^Pnérique aussi bien que la Lune, ce qui est sensiblement ^''^aci : après toutes ces restrictions nous sommes ramenés à

la GRAVITATION UNIVERSELLE.

un problème Ihéoriquemenl plus simple, mais qui, numériquement, s'écarte peu de celui que nous offre la nature.

A la surface de la Terre, l'accélération est g = 9", 8; ellcesl le résultat de Tattraclion de toute la masse terrestre, qui agit comme si elle était condensée à son centre, c'est-à-dire à une distance de la surface égale au rayon terrestre moyen r(M.Le centre de la Lune est à une distance de la Terre représentée par soixante fois r; par suite, Taccéléralion de la pesanteur

doit y être égale à 77^^ -> si la loi de Taltraction est vraie.

D'un autre côté, cette accélération doit être représentée^ • comme pour toutes les planètes, par

et, en remplaçant R par 60 r et T par le temps de la révoluiio 1» de la Lune, qui est de (39343 X 60) secondes,

ÎTT^R 4 7:^ /- X e^o ^^.'^r

T2 '' {\i)Z^iY <^^' ~ ;"^9-^P'' x3o'

2 7:r représente la circonférence terrestre, qui est de 4^ n* ■ •" lions de m(*tres, et Ton a

rr

Celte expression de raccéléralion doit être é^ale à 7^-» el 1

vient

"ioogogoot: ;< 1*20

En faisant le calcul, on a g ~- c)"",;").

On retrouve donc, avec autant d'exactitude qu'on pouvi^>* fespérer, la valeur de raccéléralion produite par la pesantes ï** et l'on démontre, par conséquent, rideniiié de la cause quiff»** tomber les corps el qui retient la Lune dans son orbite : c'^^^ la première vérification que NcAvlon (il de son système.

(') Ciî ihéorènie sora (léinonlrô uIlêriouriMinMit, à propos des phénooifr" *^*l'icctriqiios.

EXPÉRIENCES DE CAVENDISH. i3

EXPÉBIEIICES BE GAYEHDISH { * ) . — On ne s'est pas contenté d*admettre latlraction d'après l'observation des phénomènes astronomiques : on a constaté encore qu'elle s'exerce réellement à la surface de la Terre et qu'une grosse masse de plomb y attire sensiblement une petite sphère de métal ; on a mesuré cette action, et, la comparant à l'attraction terrestre, on a. pu déterminer le poids du globe. Ces expériences ont été faites il'abord par Cavendish; mais l'idée ne lui en appartenait pas : tHle est due à Mitchell, aussi bien que l'appareil dont Cavendish fit usage et qui lui fut légué. Ces expériences sont très délicates et comportent des détails très minutieux.

Tn levier en sapin AB [fig, 2), léger et bien homogène, est

soutenu par son milieu à un fil métallique (in, i\\é par le haut ;ui plafond d'une chambre fermée. Aux deux extrémités du levier sont suspendues des balles identiques A et B, et deux lames d'ivoire Cl), CD' qui portent des divisions équidislantes. r,e fléau suspendu est entouré d'une boite en acajou qui le préserve des agitations de l'air, et dont les extrémités, fermées par des glaces, laissent voir les divisions de CD et de CIV; on les obs'îrve au moyen de lunettes à réticules, enchâssées dans le mur de la chambre, et Ton suit de l'extérieur tous les mouvements du levier.

'} Cave?idi8ii, Transactions philosophiques; 1798. Reproduit dans lo X Vn« Caliiordii Journal de l* École Polrtcc/inif/ue, p. 3i3.

i4 GRAVITATION UNIVERSELLE.

Avant d'achever la description de Tappareil qui nous occupe, il faut commencer par étudier les conditions d'équilibre de ce levier AB. Appelons/ la force qu'il faut appliquer à rextrémité d'un levier de longueur i , suspendu au même fil, pour le dévier d'un arc égal à l'unité; nous savons qu'il faudra une force /à pour le maintenir à une déviation a : cela veut dire que, dans l'appareil de Cavendish, la réaction de torsion du fil suspenseur équivaut à une force /a qui serait appliquée à un levier de

■fn

longueur i, ou à une force ^ = -j agissant au centre de la

balle A, si la demi-longueur AB est égale à /. On voit qu'elle est proportionnelle à un facteur constant et à la déviation a, c'est-à-dire au nombre de divisions n dont les mires CD, CD' auront été déplacées. On peut donc écrire

Y = kn.

k est déterminé par l'expérience •

('} Pour mesurer cette force, nous supposerons qu'après aroir tordu le fil nous le laissions revenir à sa position d'équilibre : il décrira une série d'oscillations successives, isochrones, et dont le temps sera donné par une formule analogue à celle du pendule:

f m exprime la masse de chacune des balles A cl B. et ; est la force accéléra-

trice des oscillations. On peut remplacer m par sa valeur^ et tirer de la for-

g mule la valeur de y, ce qui donne

Comme />, / et g sont des quantités connues, on n'aura qu'à faire oadller le levier et à mesurer le temps t d'une oscillation pour pouvoir cmlealer / : jf •oppose donc que l'on ait fait préalablement cette mesure de r, qu'ensuite oa dévie le bras de levier, et qu'on mesure le nombre n de divisions dont h

CD, CD' se sont déplacées; si les longueurs de ces divisions sont «e, -y

la Taleur de l'arc a en unités de rayon, et la réaction du fil équivent à une

fa fn 9L

forée "^ ou à -^ appliquée à la sphère A. En remplaçant f pnr se^Taleer,

EXPÉRIENCES DE CAVENDISII.

iS

Cela posé, revenons à l'appareil pour en compléter la description. Il }- a deux grosses sphères de plomb M el N, qui pèsent chacune i38^' et qui sont soutenues par une règle tournante que l'on fait mouvoir de l'extérieur sans entrer dans la chambre; on peut les placer dans trois positions : la première perpendiculaire a AB, les deux autres MN et M'M' qui sont fixes et symétriques par rapport à la position d'équilibre AB du levier. Quand ces sphères sont mises dans la première direction, elles agissent également sur les balles A et B sans les déplacer, et l'observateur, en visant sur les deux mires, détermine el note leur position d'équilibre ; après quoi il dirige les sphères en MN. A ce moment, M attire A, N attire B, le fil se tord, le levier se déplace et alteinl une deuxième position d'équilibre quand l'attraction de M sur A et celle de N sur B sont devenues égales aux deux forces F qui expriment la réaction du fil; on mesure alors au moven de deux lunettes le nombre n des divisions parcourues par les mires, et les deux forces F ou les attractions auquelles elles font équilibre se calculent par la formule précédente

F = kn.

«nSa l'on peut rampUccr celle Turce par dcui aulros ippliquée* ch*cun« k A PI à K, cl ègaltt k la ntailic Je ta précédcnlB. 5oil F rhacuoe de cet farcm; Ou

Dam l'appareil dont Csii^nili

11 réaulttri dooe de la que, ttî le leiier rjenl ■ le déptitccr, et q CD. CD' seaoicnl éearléea de n diiisioai, le fil réagira pour reven tion d'eqiiililire. connue t'îl était sollicite par deui force* appliquée

l'on toanallf, li i'un a meauré au moyen dei lunrllo* le déplacement net n l'oii ■ deterinÎDé le (einpa ( d'une oicillatian du leiier. On peut leieipriiner par hi.

i6 GRAVITATION UNIVERSELLE.

Au moment de Téquilibre, la distance des deux spbères M et A était connue. Désignons-la par d. On faisait ensuite me seconde observation en retournant les grosses splières en M'N', et Ton prenait les moyennes. Cela suffit pour pouvoir calculer, comme nous allons le montrer, la constante de Fattraction, le poids total P' et la densité moyenne de la Terre.

1 . Puisque, les sphères étant à une distance d, ratirtcUon sur A est F, elle serait ¥d^ si cette distance devenait égalée ruollé de longueur. Soient f eip les poids de la sphère If et de h balle A; on a, en désignantpar K la constante de l'attraction,

Frf* = - ^K ,

2. Proposons-nous maintenant de déterminer le poids Fdeb Terre. La force Frf* est proportionnelle à l'attraction f = ^éb

r unité de poids sur la balle A et au poids P de la sphère M;

donc on a

D'un autre côté, rallraclion de la Terre sur la balle A esl

égale au poidsy^ de celle balle pour une distance égale au rayon

lerrestre R. A une dislance égale à Tunilé, elle serait /^R' : elle

ost aussi proportionnelle à cp et au poids P' de la Terre, ce qui

donne

/?Rï^ = P>.

De ces deux équalions on déduit