CONSÉQUENCES DE LA LOI DE COULOMB
unes de ses conséquences analytique^. Nous prouverons notamment que, si la loi de Coulomb est exacte, il ne peut y avoir d*électricité à l'intérieur d'un corps conducteur. C'est la réciproque de la proposition que nous venons de démontrer.
C0MP08AITE8 DE U FORCB EXEECËB SUR UH POm ÊLEGTBI8É. — Considérons un point P {Jig, 16) possédant une charge électrique fJL et soumis à l'action d*une série de points électrisés Ay K\ ... possédant des charges m, m\ ... et situés d'une manière quelconque.
Prenons trois axes de coordonnées rectangulaires et désignons par X, y y z les coordonnées du point P; par S, y), C; W
Fig. 16.
/;',$',..■ celles des points A, A', ...; enfin parr, r,' ... leurs distances au point P.
La force / qui s'exerce entre A et P est, d'après la loi de
Coulomb; — ^-Y-\ elle est dirigée suivant AP cl ses composantes sont
pi P
—Jim {'n — r) fj.m
Celles-ci doivent être considérées comme positives ou négalives, suivant qu'elles agissent pour accroître ou diminuer les coordonnées du point P.
Les forces fy /^,. . . provenantdespoints A', A', ... donnent des composantes analogues, et la résultante F appliquée en P a pour composantes X, Y, Z.
La somme 2 comprend un nombre de termes égal i celui des points agissants. On remarquera que la résultante
devient infinie quand l'une quelconque des distances rs*annule, et qu*elle se réduit à zéro quand tous les points A sont à une distance infinie.
On peut de même calculer Faction exercée sur le point P par un corps ou un système de corps électrisés, conducteurs ou non. A cet effet, on supposera chacun des corps agissants décomposé, par trois systèmes de plans parallèles aux plans coordonnés, en éléments de volume infiniment petits, et Ton exprimera X, Y, Z comme la somme des composantes provenant de chacun de ces éléments. On rema^ quera : i"* que, quand le volume de Tun des éléments considérés tend vers zéro, on peut, sans modifier Taction lointaine qu'il exerce, supposer la charge électrique qu'il possède concentrée en son centre de gravité; 2*» que, si Ton considère la distribution électrique comme continue dans toute la masse de Tun quelconque des corps agissants, la charge individuelle de chaque élément de volume de ce corps esi infiniment petite, puisque la charge totale est finie ; que de plus elle est proportionnelle au volume dxdjrdz de Télémeiit, et à une fonction continue p des coordonnées de son centre de gravité. On appelle p la densité électrique au point considéré.
On aura donc
LMntégration devra être étendue à chacun des corps électrisés et limitée à leur surface.
S*il arrive, comme c*est le cas pour les corps conducteurs, que rélectricité se trouve répandue sur une surface sans épaisseur^ on décomposera celle-ci en éléments de surface efc. Un raisonnement analogue à celui qui précède établira quela charge de chaque élément peut être représentée par pefc, p étant une fonction continue des coordonnées qu'on appellera densité superficielle. On trouvera pour X, Y, Z les expressions
pd7(K — z)
ri
FOTEHTIEL. — Attribuons au point P une charge positive égale à l'unité; les équations (i) deviennent
on a d'ailleurs
'6) r=-L 'Ir ^^-x
^ ' dx r^ dx r"
D*après la relation (6) on peut écrire la première équatioD (4)
et de même
Posons
on a
Z"ïr-"^''
Ainsi les trois composâmes X, Y, Z de la force sont les dérivées partielles d'une même fonction — V des coordonnées des points agissants et de celles du point P. Il sufHra de calculer la fonction V pour déterminer, en grandeur et en direction, la force électrique en P.
Dans le cas des équations (2) et (3) on trouve de même
^^ pdxdjrdz
X, Y et Z sont toujours les dérivées partielles de — V.
I.a fonction V, considérée d'abord par Laplace (*) dans les calculs relatifs à l'attraction universelle, a été appliquée par
(') Laplack, TraUé de Mécanique céleste, Paris, 1799-1825.
Poisson (*] à Tétude analytique des phénomènes électriques. Green (>), qui en a fait un très-bel usage. Ta désignée sous le nom de fonction potentielle ^ et Gauss (') sous celui de potentiel^ qui est généralement adopté.
Le potentiel V d*un système électrisé demeure fini pour tout point P dont la distance r à chacun des points agissants est différente de o; il s'annule pour un point à Tinfini. 11 en est de même des composantes X, Y, Z, qui sont les dérivées partielles du potentiel prises en signes contraires (* ). ,
(*) Poitso!!, Mémoires de VjnstUut, p. i et iGI; 1811.
(') Gbek?i, An essajr on the application of mathematical analysis to the théories of electricity and magnetism, Nottingham, i8a8, et Journal de Crelle, t. XLIV et XLVU.
(*) Gaoss, AUgemeine Lehrsàtze in Beziehung auf die in 'verkehrten Verhàltnisse des Quadrats der Entfernungwirkenden Anziehungs- und Abstossungskràfte (Resultate aus den Beohachtungen des magnetischen Fereins), 1839.
(*) Soit R la distance de P à Tori^jinc et supposons que R tende yen l'inftui; le «ystéme électriiié qui agit sur le point P étant tout entier à une distance finie de l'origine, la dislancc r de l'un quelconque de ses poiuts au point P se confond à la limite avec R, et par suite on a
1) limVR -=IimV^ =y!"»-
fjC produit du potentiel en P par le raron -vectrur -le P tend vers une limite rgale à la charge du système qui produit le potentiel.
De môme lei produits XR', \ R', ZR' X.r', Yj'. Zz' tendent vers des limitOH finies et déterminées. Soient oc, ^3, */ les angles du rayon vecteur tic P avec len trois axes; à la limiie les droites qui joignent chacun des points agissant au point P sont parallèles entre elles et font a\ec les axes les mêmes angles X, /3, -/. On a donc
r lim ^= co8,3,
lim - — — ct)s /, r
linir = R ; limXR'.-^lim^— 'i.^. — ^H'=-(2;'")ros«.
{l) ■ lim YR« -^ — ( > /«) co»^3,
f limZR'^ - (y '")«'>«/';
8o ÉLECTRICITÉ STATIQUE.
PB0PBIÉTÉ8 DES DÉRIVÉES SEGOHDES DE LA FOVGTIOV V. — Oo a
dz
En ajoutant ces équations membre à membre, il vient ; </»V </*V d^y
,3. ^ dx'^ dy^ dz^
On représente habituellement la somme des trois dérivées
rf2V d^\ rf2V secondes -T-|^ 1 ^TT' "TT P^"* '® symbole AV. La propriété
exprimée parTéquation (i3) s'écrit alors [iZbis) AV = o.
Bien entendu, elle n'est démontrée que pour le cas où aucune des distances r ne devient égale à zéro.
ACnOH D'UH CORPS ÉLEGTRISÉ SUR UH POUT IHTÉRIEÏÏB. — Jusqu'ici nous avons écarté avec soin le cas où l'un des éléments qui entrent dans les intégrales X, Y, Z, V devient infini. C'est cependant ce qui arrive quand on cherche l'action exercée par un corps électrisé sur un point intérieur à ce corps : on sait que, même dans ce cas, les actions électriques demeurent en
on a, enfin,
I limXjr' — UmXR' — =— ( ^wjcosa, cos'a = — ( ^ m ) cot^a.
(4) ' lim\>*= — f Vwjco8«y3,
I limZr*-— — ( ^ w ) cos'y. Ces propriétés du potci.ticl sont tout à fuit caractéristiques.
DU POTENTIEL. 8i
général finies ; et par suite les composantes X, Y, Z ne sont plus représentées par les intégrales (2), lesquelles n^offrent aucun sens dès qu*un de leurs éléments devient infini.
La difficulté provient de Taction exercée sur le point P, que Ton considère, par les portions du corps électrisé infiniment voisines. En effet, décrivons une sphère du point P comme centre, avec un rayon fini, mais aussi petit qu*on voudra. La surface de cette sphère divise le corps en deux régions. Tune extérieure, à laquelle la loi de Coulomb est certainement applicable et dont le potentiel en P a une valeur Vi parfaitement déterminée; Tautre, intérieure à la sphère, dont le potentiel V^, exprimé par Téquation (10), contiendrait un élément infini, et pour laquelle il n'est d'ailleurs nullement évident que Ton ait le droit d'appliquer la loi de Coulomb, qui n'est démontrée expérimentalement que pour des dislances finies.
Écartons pour le moment cette dernière difficulté, d'ordre purement physique, et admettons que la loi de Coulomb est toujours applicable. La difficulté analytique provenant de ce que Tun des éléments des intégrales (2) et (10) devient infini lient uniquement à la manière dont nous avons formé les éléments de volume et disparait quand on opère de la manière suivante.
Nous prendrons la sphère, décrite du point P comme centre, assez petite pour que la densité électrique dans son intérieur puisse être considérée comme constante ( ' 1.
Transportons l'origine 0 des coordonnées au point P et prenons comme coordonnées nouvelles des coordonnées polaires r, 0 et ^, Un élément de volume ahcda\ déterminé par les accroissements dr, dô, </•>[> attribués aux coordonnées fig. i"/, a pour expression
rdO . rs\nOd']f .dr.
^') Anulvliqnement parlant, cela n'est possible (|iie >i la distribution éleclri(]iie est partout continue; nous nous bornerons à cousiilérer ce seul cas, renTuyaiit aux traités spéciaux pour lo (léveloppeniont complet de la question.
Au rchte, on voudra bien remarquer que les distributions électriques discon-linues sont plutôt des fictions analyti<|ucs que des réalités physiques. J. et B., Electricité statique. — I. 3» fasc. (>
Le potentiel V2 de la sphère sur le point P est donc
-^fir
' rdr \ d^ 1 s\n9d0 — ijtpr^,
L*intégrale exprimée de cette manière ne contient plus d'élément infini^ et le potentiel V2 a une valeur finie et déterminée, qui tend vers zérp avec r. Il suit de là que le potentiel total
V= V| -h V2 au point O est fini i^»e- »7' et déterminé, et par suite que
l'expression générale à laquelle se rapporte l'équation (10) ne devient infinie qu'en apparence, quand on l'applique à un point intérieur.
En remplaçant x, y^ z par
x-= rsinôcosvL, y ^^.^ r-- rsin6'sinv{;,
y J=:rcos0,
trouve pour les dérivées partielles ^- » -j-, -—^ les ex-
on pressions
<A ^ d\ idr d\iX d\ ^ , . , =^ —j — 7- = -7- = -j— smôcosd; dx dr ax dr r dr ^
i::rp
Cl de même
j dr I cos^rf^ / sin^ 9 dO
'i = pïdrl sin^d<\> f sïn'BdO, ^=zp drl d^ sinôcosôrfe.
Ces intégrales sont nulles, quel que soit r; par suite : i*" L^action exercée par une sphère électrique homogène $ur un point 0 placé en son centre est nulle.
a* Pour étudier l'action exercée par un corps électrisé sur un point intérieur 0, on peut faire abstraction des éléments d'intégrale fournis par une sphère extrêmement petite, entourant immédiatement ce point; il en résulte que Faction d*UD corps électrisé sur un point intérieur demeure flnie» quelle que soit la distribution électrique à la surface ou dans l'intérieur de ce corps. Les composantes X, Y, Z de cette action sont toujours égales aux dérivées premières du potentiel prises eft signe contraire.
mUTIUi D1JR COUCHE SFHÉUftUE HOlDCtin, El UH POm IHTÉmoi ou EITtBIEUl. — I. Considérons une couche sphérique homogène» infiniment mince, de rayon R et d'épaisseur e, et un point P intérieur {jUg, i8). Soient p la densité électrique en tous les points de cette couche, ABA'B' une zone élémentaire dont l'arc générateur sous-tend au centre de la sphère l'angle ^9, les angles 9 sont comptés à partir de la droite PO qui joint le point P au centre de la sphère. Cherchons à déterminer l'élément de potentiel dV fourni par la portion de couche sphérique comprise dans cette zone. La surface ABA'B' est
•îTrR» sin^rf^; le volume correspondant 7.izR^e sinf r/<p; enfin réiément de potentiel dV est
sin 9 f/9
Fig. 18.
d\=2TzK^ep
PA
Posons PO r= a; le triangle AOP donne
PO z= vV-+-R=^4-2rtRc0S(p .
Le potentiel en P de la couche sphérique tout entière est
Rsin9
R:* -f- 2aRcos9
Quand a < R, ce qui est le cas de la^îg^. i8, celle dernière inlégrale a pour valeurs; on a donc
V=:47rRep.
Cette valeur est indépendante de la position du point P à Tintérieur de la couche sphérique. En désignant par m la masse électrique de la couche
m -4^R*^p, on voit que Ton peut écrire la valeur de V
c'est la valeur du potentiel au centre 0 de la sphère.
Puisque V est constant à Tintérieur de la couche sphérique,
les dérivées partielles t~' ^» 77" sont nulles, et, par conséquent. Faction de la couche sur un point électrisé, placé à son intérieur, est identiquement nulle. Nous avons déjà vu -p. 7! que la loi de Coulomb est seule compatible avec celte proprlêié. II. Revenons au cas d'une couche infiniment mince, mai< supposons le point P à Texlérieur de la couche (yîg*. 19], nous
Fig. 19.
[ onserverons aux lettres la même signification; on a toujours
J„ v'a* + R' + a a R cos Œ»
ou POTENTIEL. It>
uinis celle iiilégralc a pour valeur i quand on suppose a>> K, ei la valeur de V se réduit à
Le poienliel est variable avec la position du point P, mnis conserve la même valeur que si toute la masse électrique était condensée au centre de la sphère.
L'expressiondeV étant indépendante du rayon H de la couche, la même conclusion est applicable à une couche spbérique d'épaisseur finie ou à une sphère pleine. On a donc, en général,
et cette propriété subsiste même quand le point attiré est situé à la surface de la sphère.
La force exercée sur le point P est dirigée suivant OP, par raison de svmétrie, et sa valeur est
' " fia a'
Celle force est du signe de M, c'est-à-dire qu'elle agit pour écarter ou pour rapprocher le point P du centre de la sphère suivant que la charge de la sphère est positive ou négative; elle est la nu^me que si toute la masse agissante était placée au centre. C'est un thi'orème dont nous avons déjà fait et dont nous ferons ultérieurement un fréquent usage [ ' ).
ATTRAGIIOR DVHi: SPHtEE SUB HV POOIT DITÉBIEim. — Nous nous proposons acluelienient de former li? polt-niiel d'une sphère homogène de raj-on R en un point P intérieur, dont la distance au centre 0 de la sphère est a. A cet eiïet, nous décrirons du point 0 comme centre une surface sphérique
[ ■ ) Notammaat pour npliiguer la nrlilioa de la peunleur k l'intérieur •'■
passant paf le point P. Le potentiel V| de la couche sphérique
extérieure est
V, = 1 /inprdr — iTzplf^^ — a^).
Le potentiel V2 du noyau intérieur est
Va = J-7rpa'-.
Par suite, le potentiel total est (18) Vi:^V, -+-V2 = '27TpR2-^7:pa'-'.
Le potentiel va en décroissant du centre, où il a pour valeur 2GjpR^, à la surface où il est^7rpR2( « ).
La force à laquelle le point P est soumis est dirigée suivant le rayon et a pour valeur
elle est nulle au centre de la sphère.
Prenons trois axes de coordonnées passant par le centre de la sphère; on aura a^ = ic* -i-^'' -t- 3*,
«t de même
Enfin
rfV rfV fja 4 dx da dx J ''''
d^\ d^d^ 4 dxi ~ dx' ~ dz'" 3 "P"
(') L'expression (i8) doit être remplacée à Textérieur de la sphère par U suivante :
(i8 bis) V = 4~c — >
dont la valeur à la surface de la sphère est jT/»R^ et qui devient nulle pour
DU POTENTIEL. fir
Par suite, on a pour un point placé ii l'inlcricur d'une spht'ie homogène
rf'V f/'V <f'V
(/^= tly^ dz'^
