AV

: — 47rp.

FBOPBIÉTÉ DES DÉBITÉES SECOHDES DE ^' POITB DK FOUIT IHTÉBIEDB 1 m COEPS ÉLEGTBISÉ. — Nous allons démonirer que la relotion (■<)) sult^isie pour un \»>\i\l V quelconque placé à ['inlêrieur d'un corps électrisé.

A ceteffel, nous traçons à l'inlérieurde ce corps une sphère, comprenant le point P, ei de rayon assez peiit poar qu'on puisse considérer la densité électrique p comme constante dans son intérieur. Le potentiel total en P se compose du potentiel V,, provenant de la portion cMêrieure à la sphère, et du potentiel \'j fourni par la portion iniérieure. On a

AV r AV, -f AV.;

or, d'après ce qui précède, AV|=;o, AVii= — 4'ïp ■ donc

l>.ol AV = AV,r:^-,{77p.

La démonstration qui précède ne s'appli([uerait pas s'il y avait discontinuité dans la distribution électrique autour du point P; cependant lu relation (lo) est tout â Tait générale.

Il est à remarquer qu'elle comprend, comme cas particulier, la relation (i3): car il suffît de faire p— o dans Téqualion [19) pour obtenir AV 1- n.

iPFUUnON DE LA THÉORIE Dïï POTENTIEL AU CAS DE L'ATTBAGTIOI QVrrZRSEUX. ~ La loi élémentaire des actions électriques est représentée par la formule

La loi élémentaire de l'attraction des masses pesantes.

n*en diffère que par le signe. Désignons toujours sous le nom de potentiel la fonction

Les dérivées premières du potentiel seront égales en grandeur et en signe aux composantes de la force

dx

Les théorèmes qui précèdent sur le potentiel et ses dérivées premières et secondes subsistent sans modification; mais quand on veut calculer la valeur de la force, par exemple l'attraction des sphères, il ne faut pas opérer de changement de signe dans la valeur des dérivées du potentiel.

Les propriétés que nous allons étudier à la fin de ce Chapitre sont particulières à l'élude de Télectricité.

ÉLEGTBIGITÉ EH ÉaUILIBBE SUR UH G0RP8 GOHDUGTEUR. — i>our que rélectricilé soit en équilibre sur un corps où elle peut se mouvoir librement, il faut que l'action exercée en un point quelconque, intérieur au corps conducteur, soit nulle, sans quoi de rélectricilé neutre serait décomposée; on doit donc avoir

v rfV

dr

dz Il résulte de là que, dans Tintérieur d'un corps conducteur, ^20) V 1^ const.;

on a donc identiquement

dx^-""' dr^'-'"' dz^-""'

ei, puisque AV a toujours pour valeur — ^np, >a) p = o.

La densité électrique à l'intérieur d'un corps conducteur est nulle; par suite, la totalité de la charge communiquée à un corps conducteur se porte à la surface extérieure de ce corps.

Cette conclusion se présente ici comme une conséquence de la loi de Coulomb» appliquée comme loi élémentaire des actions électriques et pour des distances infiniment petites. Nous avons fait observer que la loi de Coulomb n*est pas susceptible de vériQcaUon expérimentale directe dans ces conditions; mais nous avons démontré par Texpérience que réiectrlcité^e porte à la surface des corps conducteurs, et par suite Tapplicatton de la loi de Coulomb aux très-petites distances se trouve justifiée a posteriori. Elle peut donc être appliquée désormais sans aucune restriction.

TEHSIOV tLEGTBIftUE. — Une molécule électrique, placée en un point P à la surface d*un conducteur, n*a aucune tendance à se déplacer dans le plan tangent en P; mais elle est sollicitée dans la direction de la normale par une force que nous allons chercher à évaluer.

Le potentiel V, constant dans toute retendue du conducteur,

est variable à partir de sa surface : c'est une fonction discon-

dV linue. Sa dérivée^» prise dans la direction de la normale, esl

indéterminée au point de discontinuité. Si Ton désigne respectivement par

\dn)^^^ \dnj^t

dV les valeurs de la dérivée -r- à une petite distance i à Textérleur

ou à Tintérieur du corps, on a, puisque V est consuni à rinlérieur.

Nous démontrerons un peu plus tard que Ton a, en désignant par p la densité superficielle au point P,

Quelle est la valeur de F sur la surface électrîsée elle-mémet II faut bien remarquer que nous ne savons rien de la manière dont se termine un corps conducteur, au voisinage des corps non conducteurs qui Tentourent. Nous ignorons absolument si les propriétés qui caractérisent les corps non conducteurs succèdent brusquement, ou par une gradation continue» aux propriétés des conducteurs. C'est donc grâce à une convention que nous plaçons la charge des conducteurs sur une surface absolument dénuée d'épaisseur» et il ne faut pas nous abuser sur la valeur d'une convention pareille au point de vue purement expérimental. En réalité, il est naturel de supposer

rfV que -7- varie d'une manière continue au voisinage de la surface géométrique d'un conducteur. Alors cette dérivée est partout égale et de signe contraire à la force exercée, et a pour valeur moyenne, dans l'épaisseur de la couche électrique. — 2 7rp. Nous poserons donc

(^3) F—aTTp;

nous ajouterons qu'on établit rigoureusement cette relation pour le cas d'une distribution électrique sur une surface géométrique dénuée d'épaisseur.

La force F se rapporte à l'unité d'électricité. Sur un élémeni de surface ddy la masse électrique est prfo-, et la force exercer FpJ(7 = i-KÇi^dd, L'électricité, ne pouvant se déplacer au delà de la surface du conducteur, exerce sur le milieu isolant une pression égale à la force à laquelle elle est soumise : on

convient de la rapporter à Tunité de surface» comme une pression hydrostatique ; nous la désignerons par T,

Elle est toujours positive» c'est-à-dire dirigée vers Textérieur : on rappelle la tension électrique au point considéré. Elle varie comme le carré de la densité.

9i ÉLECTRICITÉ STATIQUE.