Soient
les équations des deux ellipsoïdes. Pour exprimer qu'ils sont homothétiqueSy il suffît de joindre aux équations (i) la suivante :
^ ' abc
Soit N {fig. 24] un point quelconque intérieur aux deux ellipsoïdes et dont les coordonnées sont/?, g, r. Par ce point on mène arbitrairement une droite qui coupe l'ellipsoïde intérieur en N et B, l'extérieur en A' et B\ Nous démontrerons d'abord que Ton a
Ar=BF.
Désignons en effet par a, (^, y les cosinus des angles de la
DISTRIBUTION SUR UN ELLIPSOÏDE. m
droite NA avec les axes; les coordonnées des points A et B sont
/>-t-a.NA, /?— a.NB, </-+-(3.NÂ, </ — ?.NB, r -t- y.NA, r — y.NB.
Ces coordonnées doivent satisfaire à la première équation (i],
ce qui donne deux équations que nous retrancherons membre à membre. Nous obtenons
(NA -NB )^J.
+ 2(n + NB
ou
,3 (xB-N-x)(«4.|-:.g)=,('iî.|2.a
On a de même
(^-sï)(.4-l^-^)=»(^-*f^-?-')
OU, en tenant compte de la relation (2),
lia ÉLECTRICITÉ STÀTIQUB.
Les éqaatioDS ( 3 } et ( 4 ) donnent immédiatement
NA' - NA = NF - NB»
(5) AT = BBS
ce que nous voulions démontrer.
2. Du point N comme sommet décrivons un cône élémeDtaire d'angle solide du ( ^ ] . Il intercepte dans la couche comprise entre les ellipsoïdes deux éléments de volume ACA'C, BEB'E'. Du point N comme centre, avec des rayons successivement égaux à NA et à NA% NB et NF, décrivons des sphères : elles intercepteront sur le même cône élémentaire des éléments de volume ADA'DSBFB'Fqui nediffèrentdeACA'C, BEVV que par des quantités inflniment petites par rapport à ces éléments. Nous pouvons donc indifféremment prendre les uns pour les autres.
Les éléments ADA'D% BFB'F exercent sur le pomt N des actions directement opposées : je dis qu'elles sont égales. En effet, les éléments homogènes et de même épaisseur AA' = tW peuvent être décomposés en un même nombre d'éléments inQniment minces. Proposons-nous de trouver Faction de l'un de ces éléments, de rayon r et d'épaisseur ir, sur l'unité d'électricité placée en N. Le volume de Télément est r^rfudr, et, en désignant par p la densité électrique uniforme de la couche, il contient une quantité d'électricité p r^ don dr àoni l'action sur le point N est
—fTi — =pd(ùdr;
elle est donc indépendante de r, et, par suite, chacun des éléments en même nombre et de même épaisseur dr dans lesquels nous avons décomposé les volumes ADA'D', BFB'F exerce des actions égales. Il en est de même des volumes ADA'D', BFB'F'.
(*] C*est-à-dlre qui intercepte la surface </m sur une aphère de rajon i décrite du sommet du cùnt comme centre.
