DISTRIBUTION SUR UN ELLIPSOÏDE

ii3

Le volume compris entre les deux ellipsoïdes pouvant être décomposé par des cônes élémentaires en volumes ADA'D', BFB' F' dont les actions s'annulent deux à deux, Taction de la couche totale sur le point intérieur quelconque N est nulle.

Cette propriété, indépendante du rapport — de similitude des

deux ellipsoïdes homothétiques, est encore vraie quand ils sont inflniment voisins ( ^ ].

3. Cela posé, si l'on considère, à la surface d'un ellipsoïde conducteur, une couche d*électricité de densité uniforme limitée extérieurement par un ellipsoïde homothétique inflniment voisin, ou, ce qui revient au même, une distribution électrique sans épaisseur dont la densité en chaque point soit pro* portionnelle à la distance des deux ellipsoïdes, l'électricité ainsi distribuée sera en équilibre, puisque l'action exercée en un point quelconque intérieur au conducteur sera nulle.

Il en résulte que la densité électrique aux extrémités des axes de l'ellipsoïde est proportionnelle à ces axes. En général, la densité électrique en un point quelconque est en raison inverse de la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent en ce point. En efTet, l'épaisseur comprise entre les deux ellipsoïdes homothétiques infiniment voisins [c'est-à-dire la distance des plans tangents parallèles menés aux deux ellipsoïdes) est, par suite de rhomothélie, proportionnelle à la

distance OP de l'un de ces plans tangents au centre d'homothélie O [fig. a5).

La longueur de la perpendiculaire OP est, comme on sali,

Fig. 35.

Ce mode de démonstration est emprunté à M. von Lang [Einlcitnng in die theoretische Phjrsiky p. i53; Brauntchweij;, 1867).

J. et B., Electricité statitfue. — 1.3* fasc. S

ii6 ÉLECTRICITÉ STATIQUE.

Le dernier nombre donné par Coulomb ne présente absolument aucun sens, puisque la méthode du plan d'épreuve cesse d'être applicable au voisinage immédiat du bord où le rayon de courbure est extrêmement petit; si Ton fait abstraction de ce nombre, on reconnaîtra que la concordance de la théorie et de Texpérience laisse peu de chose à désirer. On doit d'ailleurs observer, pour l'appréciation exacte de tout ce qui suit, que la théorie de l'électricité, due à Poisson, est de trente ans postérieure aux recherches expérimentales de Coulomb.

DISTRIBUTION DE L'ÉLEGTBIGITÉ SUR DEUX gPHtBES EU COITACT. —

L'étude théorique de la distribution de l'électricité sur deux sphères en contact a été faite par Poisson ( ^ j et complétée par M. Plana (^) et par M. Roche (^). Nous n'indiquerons pas les méthodes qu'ils ont employées; nous nous bornerons k comparer les résultats des expériences de Coulomb à ceux que prévoit le calcul.

Coulomb a d'abord cherché suivant quel rapport la charge électrique totale se partage entre deux sphères inégales. Il a trouvé que la densité électrique moyenne, celle qu'on observe après la séparation des sphères, est toujours plus grande sur la plus petite des deux sphères. Le Tableau suivant, dressé par Coulomb d'après l'ensemble de ses expériences, donne le rapport des densités moyennes sur les deux, sphères; on y a joint le même rapport calculé théoriquement par Poisson :

Rapport des densités mofennes Kapport — — ^ — -»-— ^ —

de» ra>otis de» sphère» observé par Coulomb. calculé par Poisson.

(*) Poisson, 3Iémoires tie l'Institut, 1811, I** Ptrlic, p. i.

(*) Plana, Mémoires de l' Académie des Sciences de Turin, a* série, l. VII, p. 71.

( ■) Roche, Mémoires de l'Académie de Montpellier, Section des Sciences, i. Il, p. ii5.

DISTRIBUTION SUR DEUX SPIlfcitES. ii;

Le dernier nombre propose par Coulomb esi une limite qu'il avait trouvée par induction; mais on doit remarquer que la méthode du plan d'épreuve devient de plus en plus défectueuse pour la plus petite des deux sphères à mesure que son rayon décroll, que par suite elle doit conduire à une valeur limite inexacte.

Coulomb a cherché aussi à déterminer par l'expérience la distribution de l'électricité sur les sphères pendant le contact. Considérons d'abord deux sphères égales (^îg'. 36); on trouve que la charge est nulle au point A de contact et qu'elle reste insensible jusqu'au point C, à une distance angulaire de ^0°.

A partir de ce point, en s'éloignant encore de A, on commence à trouver une chnrge éiectriqueappréciablequi augmente rapidement jusqu'au point B, situé ù 90", et lentement depuis B jusqu'au point M opposé au conUcl. Coulomb .ivait détermiué ces charges avec beaucoup de soin ; il avait encore Tait des expériences en réunissant deux sphères inégales dont les rayons R, R' étaient dans le rapport de 1 à 1, et il avait noté les densités comparées des couches électriques sur la petite sphère, à partir du contact jusqu'à l'extrémité opposée du diamètre qui joint les centres. Tous ces nombres attendaient pour ainsi dire la théorie mathématique, afin de lui servir d'épreuve. Aussi Poisson calcula-l-il les rapports des charges en ces dilTérents points, et la comparaison des résultats de l'expérience et du calcul se trouve dans les Tableaux suivants :

Sphères égales.

]i8 ÉLECTRICITÉ STATIQUE.

Sphères inégales, R= i, R' = !î

Épaisseurs électiiqaes Distances angolalres ■■■i i»»

à partir du contact. obserrées. caicnlées.

Dans le dernier exemple, où les sphères sont inégales, Coulomb avait de plus comparé Tétat des deux globes, en portant successivement le plan d'épreuve sur l*un ei sur l'autre à go® du point de contact; il avait trouvé que la densité est plus grande sur le petit globe, dans le rapport de i ,25 à t : le calcul a donné 1,24. On voit avec quelle exactitude la théorie mathématique reproduit les conditions expérimentales dans tous les cas où la méthode du plan d'épreuve est rigoureuse.

EZPÉBmrCXS diverses de coulomb. — LAMES ALLOIi^SS. - DIsaUES.— GTLDIDBES. — POUTES. — Coulomb a encore étudié la distribution électrique dans un assez grand nombre de cas pratiques qui n'ont pas été traités analytiquement. Il a, par exemple, examiné la distribution de Télectricité sur une lame d'acier qui avait 1 1 pouces de longueur, i pouce de largeur et ^ ligne d'épaisseur; il donna au plan d'épreuve la forme d'un rectangle qui avait 3 lignes de largeur et i pouce de longueur, de façon qu'on pouvait l'appliquer sur toute la largeur de la lame à la fois et à diverses distances de ses extrémités. Les expériences furent faites d'abord au milieu, ensuite à i pouce de l'extrémité, puis à l'extrémité même, et enfin l'on fit une dernière épreuve en plaçant le plan sur le prolongement de la lame : la densité électrique s'est montrée à peu près constante depuis le milieu jusqu'à i pouce de l'extrémité; elle augmente ensuite jusqu'à devenir égale à ^,02 à cette extrémité même. Avec des lames plus longues, la densité demeure encore constante jusqu'à I pouce de l'extrémité. Quand on place le plan d'épreuve sur le prolongement de la lame, il emporte une