IMAGES ÉLECTRIQUES

conjugués par rapport à la sphère. Sir W. Thomson ( * ) appelle le point B Yimage électrique du point A, et inversement.

La considération des images électriques permet de transformer un certain nombre de problèmes d'électricité ; un corps électrisé quelconque extérieur à une sphère peut, en effet, être remplacé, au point de vue de Tinfluence, par un autre, intérieur à la sphère, et qui sera Timage du premier. Sir W. Thomson a fait les applications les plus élégantes de cette méthode; c*est ainsi qu'il est parvenu à résoudre, d'une manière relativement simple, la question de l'influence réciproque entre deux sphères, qui n'avait été traitée par Poisson (^j qu'à l'aide d'une analyse extrêmement laborieuse.

OninaiGB BÉOFIOttUB DB deux 8FH£BE8 iLECTBIStaS. — Coulomb avait compris toute l'importance de l'étude expérimentale de l'influence entre corps électrisés et s'était précisément arrêté au cas des conducteurs sphériques; il se trouve ainsi que l'on peut comparer les résultats de ses expériences à ceux des calculs de Poisson et de Sir W. Thomson, et vérifiée une fois de plus l'exactitude des principes qui servent de base à la théorie de l'électricilé.

Coulomb plaçait les conducteurs sphériques à étudier sur un appareil représenté fig. 3o, qui permet d'écarter, en le faisant glisser sur une rainure, le pied de l'isoloir qui supporte l'une des sphères; on mesurait les dislances sur une règle graduée, et l'on constatait la nature de l'électricité répandue sur les sphères en touchant leurs différents points avec un plan d'épreuve que l'on présentait ensuite à un électro-

scope chargé.

{•) w. TiiOMSo?!, Reprint of papers on etectricUy and magnetism (G^ometriciU investigations with référence to the distribution of electricitj on spherical eonductors), p. 5'i et suiv. ; London, 1872.

(*) Poisson, Mémoires de C Institut, 1811, p. i et i63. L'équation do Poisson a été résolue par M. Cayley d'une manière simple (Toir Journal de Physique, t. VII, p. 20a; 1878).

Riemaon, à son tour, a développe une méthode mixte, dans laquelle Tanalyie de Poisson se trouve extrêmement simplifiée par la considération des images électriques (Riemanx, Schwere, Elektricitàt und Sfagnetismus, bearbeitet von Hattendorff', p. 189 et suiv ; Hannovcr, 187G).

i38 ÉLECTRICITÉ STATIQUE.

Le premier et le plus simple des cas examinés par Coulomb est celui où les deux sphères de dimensions inégales soni d'abord mises au contact et chargées en commun. On sait déjà

Fip. 3o.

qu'à ce moment il n'y a pas de fluide libre aux points qui se touchent. On éloigne ensuite la petite sphère B, et alors, Finfluence réciproque changeant d'intensité, on voit se produire en B' [fig. 3 1 ) ( * ) de l'électricité négative sur la partie qui regarde

Fiç. 3i.

A et de la positive au point opposé. La distance continuant à augmenter, la petite sphère arrive à une position déterminée B* où elle n'a plus que de l'électricité positive et se retrouve à l'état naturel aux parties les plus voisines de A, comme au

(') CcUo figure, ainsi que les deux suivantes, offre un exemple de diajjraiBVKP des épaisseurs électriques. Les lignes en traits pleins représentent la surCace des conducteurs; celles en pointillé les surfaces limitant les couches imaginaires d'électricité de densité uniforme, positive ou négative dont ils tont revêtus.

INFLUENCE DE DEUX SPHÈRES. iSg

moment où le contact avait lieu. Quand, enfln, elle est en B" et au delà, elle est chargée positivement dans tous ses points, mais inégalement. Il faut donc admettre que Tinfluence a d*abord augmenté jusqu'à une distance AB', puis qu'elle a diminué, et que, arrivée en B^, la sphère B contient la même quantité de fluide libre, distribué à peu près de la même manière qu'au moment où elle touchait A. Coulomb a mesuré la distance de A à B', et il a vu qu'elle diminuait jusqu'à devenir nulle quand la sphère B augmentait jusqu'à devenir égale à A : les mesures qu'il a obtenues pourront servir d'épreuves à la théorie mathématique.

Dans le deuxième cas, qui est beaucoup plus général, les deux sphères ont reçu séparément, sans être mises au contact, des quantités quelconques de fluide de même nom; dès lors. Tune d'elles en possède moins qu'elle n'en prendrait si on les faisait toucher : supposons que ce soit B. Il y a toujours une position B [fig. 82] pour laquelle tout le fluide est concentré

Fig. 3a.

vers C et a abandonné la partie D qui est en regard de A. Quand la distance diminue jusqu'en B\ Tinfluence augmente en énergie, et il se fait une décomposition de fluide neutre qui amène de l'électricité négative en D' et ajoute du fluide positif en C à celui que la sphère avait primitivement reçu. Alors il y a une ligne moyenne comme dans nos premières expériences : elle est entre B' et D'.

Il y a enfin à examiner le troisième cas où les deux sphères seraient chargées d'électricités contraires en quantité quelconque. Ici il y a toujours attraction entre les électricités qui tendent à s'accumuler sur les faces en regard, et il y a une position B [fig- 33) pour laquelle l'électricité a abandonné le point opposé C. En rapprochant la sphère B, une décomposi*

i4o ÉLECTRICITÉ STATIQUE.

tion secondaire aura Heu et Ton trouvera de l'électricité positive en C'y négative en D'; celle-ci sera plus abondante que

Fig. 33.

celle-là, et la ligne moyenne se placera généralement entre le centre et le point C.

Coulomb s'est contenté de constater ces faits généraux, tous en parfait accord avec la théorie, sans tenter de mesures numériques.

CAS fitRÉRAL DE L'mFLUEHGB. — GOEmCIERTS D'IHDUCnOl. — Quand n corps électrisés séparément dans le même sens ou en sens contraires sont mis en présence, la distribution de Téleclricilé sur chacun d'eux est modifiée par Taction des n — I autres. Le nouvel état d'équilibre est caractérisé par la condition que la résultante des actions électriques des n distributions soit nulle en tout point intérieur à l'un quelconque des conducteurs : le problème à résoudre consiste à déterminer la densité électrique en tout point de leur surface.

On ne possède pas de méthode pour résoudre le cas général de l'influence ; mais on peut démontrer quelques théorèmes intéressants et d'une application fréquente. Nous nous bornerons aux suivants.

Théorème I. — Quand on considère le système formé par n conducteurs, le potentiel de l'un quelconque d^entre eux est une fonction linéaire des charges de tous les corps du système.

Soient pt, p2> • • • les densités sur chacun des n corps, Mi» M2, . . . leurs charges totales, V|, V2, - . • leurs potentiels, ri, r2, . . . les distances d'un point quelconque de la surface de l'un des corps à un point intérieur au corps i. M|» M^,..., Vi, Vsy . . . sont des constantes données, pi , pa» . • . des va-

AS GÉNËnAL DE L'INFLUENCE. i{i

I calcul convenable fixerait la valeur. Le poten-

ique les charges deriennent respectivement ., Bans que les distributions soient modifiées, fcfsiera et les n termes dont se compose le po- "indronl respeclivemenl/j|Ai,piAï, .... c'est- Itiquc terme variera proportionnellement & la ^Dndanle. V| est donc une fonction linéaire de t corps i\a système, ei il en est de même de

I V, = KnM.-4-K,iHi-t-..., = K,,M, + K„MiH-...,

î préciser le sens des coefficients des équa- Ibn y fait iS, = i, H3=Hj = ... = o, elles se rameoià

Vï=K,,, V,=:K,,, ...

tefQcit!nts km k;i> ■■■ représenleni donc les poten- H prennent les n corps quand le premier possède une 1 égtie à l'unité, tous les autres une cbarge nulle, c'estguand les n — ■ derniers corps étaient à l'état neutre rinfluence; en faisant Mi=:i, Mi = M3 = ... = o, ou iHde même les coefUcienls Ki3, Kis,

iBln II. — Le coefficient Kpf de la charge M, dans «Uton du potentiel Yp est égal au coefficient K^p de tu l'expression de Vç.

létermlnation des n potentiels V|, Va parait, d'après les BDB (t), dépendre de n> coefncients. Uais nous allons que l'on a en général

réduit le nombre des coefllcients distincts à -

i4î ÉLECTRICITÉ STATIQUE.

Nous emprunterons à M. Berlrand ( * ) la démonstration de cet important théorème. Elle s*appuie sur le iemme suivant.

1 . Considérons deux systèmes formés de corps conducteurs électrisés, et désignons par

m la charge d'un point quelconque du premier, w! celle d'un point quelconque du second» r la distance de ces deux points,

V le potentiel du premier système en m',

V celui du second système en m,

V^ m V^ fît*

On a» par définition, V=> — » V'=:> — • Proposons-

^ri ntfnf nous de former la quantité > A cet effet, nous pouvons

d'abord réunir tous les termes qui se rapportent à un point du premier système et mettre m en facteur : on obtient ainsi

une somme partielle m y — = mV; il faut alors réunir en une somme unique les sommes partielles produites par chacun des points, et Ton a la somme générale \ m\'. Mais, en formant cette somme, nous avons pris chaque élément» tel que

> deux fois, une fois avec //i, une fois avec m\ en facteur. Il

faut donc diviser par % le résultat obtenu,

mais on peut aussi procéder dans un ordre inverse, réunissant d'abord tous les termes qui se rapportent à un point du second système, ce qui donne une somme partielle m'V, puis ajoutinl les sommes elles-mêmes :

(') Beatrakd, Journal de Physique^ t. Ul, p. 78; 18741

CAS GÉNÉRAL DE L'INFLUENCE. ij]

De la comparaison de [2] et [3] il résulte

(4) 2mV'=2m'V,

el cette équation n'exprime qu'une ïdeniilé.

Rien n'empêche que les deux systèmes considérés ne soient formés des mêmes conducteurs dans deux états d'électrisation différents. Nous supposerons que dans le premier système les

corps I, a,. . . possèdent respectivement les charges Mi, H

et les potentiels V|, Vi, . . ., qui sont constants à l'intérieur de chacun des conducteurs; que dans Je second les corps i, », ... possèdent les charges M',, M'^, . . ., et les potentiels V*,, V,, .... En. formant les sommes 2mV', on peut mettre en facteur le potentiel V dans tous les termes qui se rapportent à un même conducteur, et l'on obtient une somme partielle MV : M est la charge que possède dans le premier système le corps dont le potentiel est V dans le second. Le nombre des sommes partielles est égal à celui des corps du système. On a donc

2;mV'=M,V', + M,Vj+ .... jC et de même ÎKW^ISa ^'-^

EnQn l'équation (4) prend la forme particulière X/^nâ

5) M, V, + MaV'a + . . . = M', V, + M', V, + . . . .

L'équation [5) exprime une propriété purement analytique» puisque les deux systèmes considérés, formés des mêmes conducteurs à des états d'étecirisalion difTérenls, ne peuvent coexister.

â. Nous sommes maintenant en mesure de démontrer le théorème énoncé ci-dessus. A cet effel, nous supposerons que dtns le premier système les charges de tous les corps soient nulles, â l'exception de Mp, et que dans le second les charges soient nulles, à l'exception de M'^; les potentiels des n corps dans le premier et dans le second système sont respective-

i44 ÉLECTRICITÉ STATIQUE,

menty d'après les équations (i),

V,=:K|;,M;„ V,=K,ç»f Vo = Ko/jMyj, V., = K2^M^«

V^ = Kqp mp, \p = Kpq M^, ••>

Formons mainienant Téquation (5); loutes les charges étant nulles dans le premier système à l'exception de M/>, et dans le second à l'exception de M^, chacun des membres de l'équation (5) se réduit à un seul terme

ou, en remplaçant V^ et V^ par leurs valeurs,

(7) Kpq =Z Kqp.

C'est la proposition que nous voulions démontrer.

Théorème III. — Quand on considère un système de n conducteurs, la charge de l'un quelconque d'entre eux est une fonction linéaire des potentiels de tous les corps du système.

Pour s'en convaincre, il suffit de résoudre les équations [1 par rapport aux charges ; on voit alors que celles-ci sont des fonctions linéaires des potentiels

I M« =ChV| -hC|2V2-+-. . ., (^) M2=C2,V|-+-C22Vo-f-...,

Théorème IV. — Le coefficient Cpq du potentiel V^ dans rexpression de M;, est égal au coefficient Cqp de \p dam l'expression de M^.

Pour démontrer cette proposition, on emploiera la méthode qui nous a servi pour les coefficients K, en faisant dans le premier système tous les potentiels nuls, à l'exception de V,, et dans le second tous les potentiels nuls, à l'exception de \\

Le coefficient Cpq représente la charge que prend le corps^

ÉCRANS ÉLECTRIQUES. i45

quand les poieniiels de lous les corps du système sont nuls, à l'exception de celui du corps q, qui est supposé égal à i; de même Cqp est la charge du corps q quand les potentiels de lous les corps sont nuls, à Texception de celui du corps/;, qui est égal à i. Rappelons que, pour amener un corps au potentiel zéro, il suffit de le mettre en communication avec le sol. Les coefficients G s'appellent coefficients d'induction. Chacun d'eux joue un rôle analogue à la capacité électrique d*un conducteur unique.

oninaiGE sue un gobps pbéseitait des cavités irébibuees.—

AOUUIS tLEGTEiaUES. — 1. Soit un conducteur fermé en relation avec le sol et présentant à son intérieur une ou plusieurs cavités. La surface interne de l'une quelconque d'entre elles est au potentiel zéro comme le conducteur lui-même, et la force électrique qui s'exerce en tout point de la masse conductrice est nulle. Il en résulte que, s'il y a des masses électriques dans l'une des cavités, leur action en un point du conducteur est exactement contre-balancée par la distribution électrique appelée par inlluence sur la surface de la cavité.

Il est aise de voir que celte distribution a une quantité Mi égale et un signe contraire à la somme algébrique M des masses contenues dans la cavité.

Considérons, en effet, une surface fermée enveloppant la

cavité et tout entière contenue dans le corps conducteur. En

rfV lous les points de cette surface la force électrique — -r— est

nulle. Or on, peut remplacer toutes les masses électriques contenues dans la cavité par une distribution de quantité égale et dont la densité en chaque point est, d'après le théorème de

Green, — t"* ^ » c'est-à-dire nulle, puisque -j- est nul. Donc

la somme M -h Mi des masses intérieures à la cavité et de la distribution à la surface de la cavité est nulle,

2. Passons maintenant au cas d'un conducteur isolé. Un raisonnement analogue au précédent établit que la paroi interne

J. et R., Électricité statique, — I. 3* fasc. lo

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