PENDULE SIMPLE

io3

c hoisis parmi ceux dont les poids, sous le même volume, diffèrent le plus. La première, par exemple, sera un globe de verre plein d'eau, la deuxième sera en fer, la troisième en platine. On écartera ces trois pendules, on les abandonnera au même instant, et Ton verra que les mouvements commencés ensemble seront indéflniment concordants : la durée d*une oscillation est donc Indépendante de la nature du corps oscillant («).

Fig. 53.

— Le plus simple de tous les pendules se réduit à une seule molécule matérielle B, mobile autour d'un point O ( fig, 53). On approche autant que possible de ces conditions théoriques , dans la construction d'un pendule matériel , en • le formant d'une sphère très-petite et de matière très-dense, comme le platine, suspendue ù rextrémité d'un fil de soie.

Quand plusieurs pendules ainsi constitués ont des longueurs différentes, on vérifie expérimcnlalemenl

que leurs durées doscillation sont proportionnelles aux racines carrées des longueurs OB (^).

La Mécanique rationnelle fournit l'expression exacte de la durée d'oscillation d'un pendule simple. Nous nous bornerons à démontrer une formule approchée.

Le pendule part du point C (/îg*. 53), arrive en E, et a acquis

une vitesse égale à ^/ag-DF. Admettons queTnngle d'écart soit assez petit pour que les arcs CB, que nous désignerons par a, etEB^que nous appellerons j:, puissent se confondre avec leurs cordes. On aura

nn ^'" «'

•2 OB 'X l

(*} CeUe obserTation ett duc à Galilée. \ ' ; Celte loi ett due à Galilée.

aOB xl fr . , : ' 1

io4 MESURE DES QUANTITÉS PHYSIQUES,

fl2 >.2

DF r= BD - BF r^r - — -^ •

par conséquent, la vitesse au point E sera

Fîg.

Développons CBC (yîg-. 54) en une ligne droite, el imaginons un mobile oscillant sur elle avec les mêmes vitesses que le

pendule sur Tare qu'il décrit : le temps que mettra ce mobile pour aller de C en C sera celui d'une oscillation du pendule.

Pour trouver ce temps, décrivons la demi-circonférence CMC et supposons un second mobile la parcourant avec une vitesse

constante a i/j ; le temps qu'il mettra à passer de C en C

sera - - — = ou r, i /

Vf ^

Mais la vitesse horizontale de ce mobile sera toujours égale à la vitesse du premier, comme il est facile de s'en convaincre, en projetant sur l'horizon la vitesse en M ; cette projection ou composante horizontale est

Vmh'

Les deux mobiles, ayant toujours la même vitesse horizontale, resteront donc constamment sur la même verticale s'ils partent on même temps du point C, el ils arriveront ensemble en C

après un temps / ^V/;;* ^^ temps est donc celui d'une oscillation du pendule.

VÉRIFICATION DE LA FORMULE DU PENDULE. io5

Ce résultat t été obtenu en supposant que les arcs décrits par le pendule sont assez petits pour se confondre avec leur corde ; il s'applique donc exclusivement aux amplitudes très-petites, et il est jusUQé par les expériences que nous avons faites, car il montre : i* que le temps des oscillations est indépendant de ramplitude» pourvu qu'elle soit très-petite; 'x** qu*il reste constanty quels que soient la nature et le poids de la sphère oscillante, puisque ces quantités n'entrent pas dans la formule ; V qu'il est proportionnel à la racine carrée des longueurs. La formule nous montre de plus que t est en raison inverse de la racine carrée de g^ et, par conséquent, si nous avons mesuré la longueur / du pendule et la durée t d'une oscillation, nous pourrons calculer l'accélération de la pesanteur en résolvant par rapport à g" ( * ) l'équation du pendule simple

Mais, avant d'en venir là, essayons de monirer par l'expérience que le temps t est en raison inverse de la racine carrée de raccélération.

TÉRiriGATIOI DE LA FORMULE. - A cet eiTet, nous allons cherrher à constituer un pendule qui soit sollicité, non plus par son poids, qui produit une accélération g, mais par une force différente qui donnerait une accélération g' , et nous aurons ù vérifier la relation

Fixons aux extrémités d*une règle de sapin [fig. v^^), dont le poids soit assez petit pour être négligé, deux fortes masses de plomb. Tune en A, pesant P, Tautre en B et pesant P ^-y;. Supportons cette règle sur un plan par un couteau d'acier fixé

^* ; La détermination dc^, au moyen du pendule, a été proposée et essayée pour la première fols par Huyghens. II trouva pour Paris environ 3o pieds et .' pouces, toit en mètres 9", 789.3. Cette valeur ne diflere que de 9"**, 6 du nombre actuellement adopté.

Fîg. i}^^.

en 0, au milieu de AB, et nous aurons un pendule complexe

dont il est facile de calculer le mouvement.

Les deux poids P» ayant une résultante unique qui passe par le centre 0» se détruisent^ et le système n'est sollicité que par le poids /? qui agit sur la masse inférieure B, mais qui est employé à imprimer le même mouvement à deux pendules égaux en longueur OA et OB formés par deux poids P et P +/?. C'est comme si une force unique p était appliquée à un pendule unique de même longueur et de poids a P -4-/7. Par conséquent, l'accélération sera

diminuée, comme dans la machine d'Atwood» dans le rapport

de /? à a P H- /?, et Ton aura

et pour la durée des oscillations

-wi

Supposons P constant et égal à i^*, et donnons successivement à y? les valeurs

^ sera

ff > ,. ff > ". ii ff

et le temps des oscillations devra être égal à

Wr "Vr 'Vl

c*est-à-dire que ces lemps devront olre a, 3, 4 fois celui qui correspond au pendule simple de même longueur. Les expériences réussissent très-facilement avec des appareils que chacun peut construire soi-même; elles démontrent donc que» si

FORMULE GÉNÉRALE DU PENDULE SIMPLE. lo;

raccélération change, les temps varient en raison inverse de la raeine carrée de cette accélération.

fUBDU tfartiâLIB W Fnmms SDDU. — Nous arrivons maintenant a Tapplication que nous avons annoncée, celle qui a pour objet la mesure exacte de g-. C'est là une opération d*une grande précision, et qui exige des soins fort minutieux. Il Caut aTant tout remarquer que la formule

=wi

n*est rigoureusement vraie que si les oscillations sont inflniment petites. Hais la Mécanique rationnelle fournit la valeur suivante du temps d'une oscillation, d'amplitude quelconque:

/f représente la hauteur 1)B à laquelle s'élève le pendule dans chaque oscillalion (fig, 53). On voit que le temps /s'exprime au moyen d'une série qui est d'autant plus convergente que h est plus petit, et qui se réduit à Tunitc quand il est ncglifjeable; dans ce cas, la formule générale reproduit celle que nous avons démontrée. Nous admettrons que, dans les expériences que nous allons faire, les amplitudes soient assez petites pour qu'on puisse négliger tous les termes de la série, à lexceplion des deux premiers, et nous écrirons

Nous pouvons remarquer que

/i- /- OD^--//i - cosA^ni:2/sin2-,

l'i alors nous avons

-...y/I(..-lsin^-^)

io8 MESURE DES QUANTITÉS PHYSIQUES.

PEHDULE COMPOSÉ (* ]. — Telle est la formule qui permettrait de calculer la durée des oscillations d'un pendule simple ; mais il est évident d'une part qu'un tel pendule ne peut être réalisé et de l'autre que la formule ne peut être appliquée à des corps oscillants constitués comme ceux que nous avons employés jusqu'ici. On les nomme pendules composés^ composés en effet de points matériels distribués à des distances inégales du point de suspension, qui oscilleraient très-inégalement s'ils étaient libres, et qui, étant Ués solidairement entre eux^ prennent un mouvement commun complexe et dépendant de la forme du pendule. On est donc encore une fois obligé de recourir au calcul, et Ton démontre que tout corps oscille, quelle que soit sa forme, suivant les mêmes lois qu'un pendule simple d'une longueur déterminée. Il n'y a plus qu'une difficulté : c'est de trouver cette longueur.

Voici comment on peut démontrer ce théorème. Soit un corps de forme quelconque pouvant tourner autour d'un axe AD qu'on 2i\iii^\\^V axe de suspension (fig, 56). Considérons dans le corps un point quelconque M Fip. 56. jjg masse m et situé à la distance r de l'axe;

soit cù la vitesse angulaire de rotation du système à l'instant considéré : la force vive du point M est mcù^r^. Si nous transportons le ^ j. point M à Tunité de distance de Taxe, il faudra \.^ lui supposer la masse mr^ pour que sa force ^ vive ne soit pas changée. En répétant le même raisonnement pour tous les points tels que M, *i on pourra remplacer le corps tout entier par

un seul point matériel placé à l'unité de dislance et dont la masse serait Inir-, Cette expression Imr^ est appeirc en Mécanique le moment d* inertie du corps considéré; désignons-le par il.

D'un autre coté, toutes les forces appliquées aux divers points du système se composent en une résultante unique F

(') I.a tliéorio dos oscillations ilii pendule composé, ainsi que la considération des moments d'inertie, est due à Iluyjjens {Horologium oscUlatorium ; Paris, }(}']3),

PENDULE COMPOSÉ. loij

appliquée au point G, qui» dans le cas de la pesanteur, est le centre de gravité, et qui est à une distance d de Taxe AD. En vertu du théorème des moments, on peut la remplacer par FJ appliquée à l*unité de distance. De sorte que le pendule composé est remplacé par un pendule simple ; sa longueur est égale à Funité ; le point matériel oscillant a pour masse O, ei la force qui lui est appliquée est Fd. L*accélération du mou-

¥d vement est alors -^^ ex, en appliquant la formule du pendule

simple, on trouve pour la durée de Toscillatlon

On voit que la durée des oscillations est la même que celle d*un pendule simple qui aurait une longueur / donnée par la relation

On appelle centre d'oscillation le point du pendule composé qui oscille comme le ferait le pendule simple équivulenl, et Ton démontre en Mécanique que, si le pendule composr olait suspendu par ce centre d'oscillation, son point de suspension primitif deviendrait le centre d'usciilation dans cette nouvelle position ( ' ) : de là la construction de pendules m'e'r.sv^/é'A* qui ont deux couteaux, Fun en haut qui est fixe, lautre en bas qui est mobile, et qu'on place par tâtonnement dans une positif m telle que les durées d'oscillation soient invariables quand l'appareil est soutenu par Fun ou par Tautre. On obtient ainsi la quantité /, et il suffit d'observer / avec précision pour en déduire g.

Celle solution, proposée par Bohnenberger (^), a été appliquée pour la première fois par le capitaine Kater (') à l'occa-

^ ' ) Cette loi a été démontrée par lluygens ( I!orologium oscillatorium ).

(') BoB!iEXBEiiciR, LtfAr^ucA </rr ^ifro/iojniV, 1811.

(') Philotophical Transactions, 1818. U ett à noter que ridée d'employer

sion de la révision du système anglais des poids et mesures. Voici maintenant la solution adoptée par Borda en 179^, lors des opérations géodésiques entreprises pour la fixation de l'unité de longueur.

PEIDULE DE BORDA (*). — Borda construisit son appareil de manière à réaliser autant que possible le pendule simple. Il le composa d'une sphère de rayon connu et égal à a. Pour la rendre très-lourde, on la fait en platine, et on la suspend par un fil très-fin, long de 1"* environ, dont le poids n'est qu'une fraction négligeable de celui de la sphère, et que Ton peut considérer comme nul. Tout se réduit donc à une sphère de rayon a, suspendue par un fil sans poids, et dont le centre est à une distance / du point de suspension ; le calcul donne, pour exprimer la longueur A du pendule simple synchrone, la formule

On voit doncque, pour ramener Tappareil de Borda au pendule

aa-

simple, il suffit d'ajouter à sa longueur la quantité -^> qui est

fort petite, et qui ne dépasse pas f^ de millimètre quand a et / sont égaux à o"\oi^} et i'"; la correction qu'il faut faire est donc faible et facile à exécuter. En résumé, la durée des oscillations sera donnée par la formule

(14- 7sm-— • g- \ 4 ^/

Quand on veut dans ces mesures atteindre la dernière limite de la précision, il faut encore tenir compte de la résistance opposée par Tnir au mouvement du pendule. La Mécanique permet d'apprécier cette cause de variation, que nous nous contentons d'indiquer ( -

comme unité ilc lonijucur celle du pendule simple qui b.it la seconde eit due à Hiiy{;cus.

(') Base du système métrique, t. III.

(') Voir F.-W. BESsr.L, Untersuchungen Filer die Lange des einfacken Sekutidenpendels {^Abhandt. der Derliner Akademle, 1836).

FIf 17

PBNDULS DE BORDA. m

Borda installait son pendule sur un appareil que nous allons maintenant décrire M qui se compose : 1' d*une horloge astro- Domlque bien réglée ^ [ /!g'. 5^ ] ; 3° d'un support de Ter EGF; 3" du pendule GH, qui est placé en avant et en face

del-faorioge; 4-d'une cage HW^^'

de verre qui enveloppe le tout et le met i l'abri des ■noaveiDaus de Tair extérieur.

Il fout avant tout que le support du pendule soit invariable et ne reçoive ni l'effet des trépidations extérieures ni celui dé la réaction provenant des oscillations du pendule. On fait choix à cet effet d'un mur solide de pierre, couliiruit loin des rues agitées, ei l'on y scelle un urc de Ter forgé EGF que l'un soutient par des Jiunhes de force également scellées dan^ la pierre.

Sur le milieu de l'arc se voit un plan d'acier (rempé cl poli a, sur lequel se place l'axe de suspension et qui est percé d'un trou pour laisser passer le AI SQspenseur,

Pour soutenir le pendule, on emploie un couteau d'acier G dont l'arête pose sur le plan et auquel tist attaché le fll. Ce couteau devant osciller lui-mémc ul n'ayant pas un poids négligeable, on pourrait craindre qu'il

n'aliérât la durée (les oscillations; mais cette cause d*erreur^ toute petite qu'elle est, s*éiimine par une précaution bien simple. On fixe au-dessous du couteau une tige qui abaisse son centre de gravité au-dessous de l'arête, et on le surmonte d'une vis sur laquelle un écrou monte ou descend, pour relever ou abaisser le centre de gravité. On commence par placer le couteau sur le support et le faire osciller seul, puis on fixe le petit écrou dans une position telle, que le temps d*une oscillation soit sensiblement le même que celui du pendule complet. On est sûr alors que le couteau n'altérera pas le mouvement du pendule quand il sera réuni avec lui, puisqu'il oscille isolément dans le même temps que lui. Quant à la -sphère qui termine le pendule, elle était le plus souvent de platine; mais Borda, qui voulait reconnaître si la valeur de g est rigoureusement la même pour tous les corps, avait besoin de l'enlever aisément sans changer la longueur du pendule et de la remplacer par des sphères égales de substances diiTérentes. 11 avait imaginé dans ce but de terminer le fil par une calotte mince, concave, où les sphères s'emboîtaient exactement et dans laquelle on les faisait adhérer en interposant une couche mince de suif.

H y a maintenant plusieurs mesures préliminaires à faire : il faut trouver d*abord le rayon a de la sphère suspendue. On peut y parvenir au moyen d'un petit sphéromètre, en faisant poser les pieds sur un petit cercle de la sphère et la pointe de la vis sur le pôle de ce cercle, ce qui permet de calculer le rayon de la sphère quand on connaît celui du cercle qui passe par les trois pieds. Cette méthode suffit ; mais, comme elle laisse à désirer^ il vaut mieux mesurer le volume, et par suite le rayon de la sphère, par des procédés dont il sera parlé au Chapitre des densités. Ce rayon a étant connu, il faudra en* suite trouver la longueur / du pendule depuis le centre de* la sphère jusqu'au point de suspension, mesure qui était difficile au temps de Borda, mais qui est devenue très-simple avec le cathétomètre : il suffit de viser avec cet instrument Taréte du couteau d'une part, le contour inférieur de la sphère ensuite» et cela donne la longueur cherchée / augmentée du rayon a.

Il ne faut pas se contenter de faire cette mesure une fois

MÉTHODE DES COÏNCIDENCES. ii3

et de considérer le résultat comme invariable, car la longueur du pendule change avec la température; on est donc obligé d*observer cette température toutes les fois que Ton opère et de calculer les valeurs exactes qu*ont les quantités a et / au moment de l'observation : ce calcul se fait au moyen des formules dont nous parlerons à l'article de la Dilatation,

JM GOUODEIGES ( ' )• ~ Nous connaissons maintenant la relation générale qui lie l'accélération à la durée d'une oscillation ; nous avons mesuré les constantes a et /; l'appareil est décrit dans tous ses détails; il n'y a plus qu'à le faire marcher pour trouver le temps t. A cet effet, on ouvre la botte pour donner Timpulsion au pendule ; on la referme ensuite, et l'on observe les mouvements avec une lunette flxée en face de l'appareil dans la direction DD', à une distance de 8"^ à lo™. On voit passer séparément, dans le champ de vision, le balancier sur lequel on a tracé d'avance un trait vertical D et le fil de suspension du pendule. Comme Tun des deux appareils, le pendule par exemple, va toujours un peu plus vile que Taulre, il V a toujours un moment où tous les deux se voient superposés et marchant dans le m(}me sens ( * ). Pour saisir ce moment avec toute la précision possible, on commence à observer utlentivement avant que la superposition ait lieu exactement. On voit les deux lignes se rapprocher, se confondre et se séparer; Tinstant où elles se confondent est celui d'une coiiicidence; on le lit sur le cadran de Thorloge et on le note comme temps initial. Après cela, le pendule reprend l'avance et arrive peu à peu à repasser dans la verticale en môme temps que le balancier, mais avec une vitesse inverse, et à ce moment il a

(*) La première idée de cette méthode est due à dcMairnn (Ge/t/cr's Phjrsikaiisches fVôrteràuch, article Pe.ndil).

(') Cette circonstance ne lo présente pas nccetsairement sur la verticale; elle peut avoir lieu lontque les deux pendules font un même angle a quelconque avec leur position d'équilibre; mais, si les durées d'oscillation diffèrent extrêmement peu, les pendules continuant leur oscillation passent par la verticale â des époques fort rapprochées, et la coïncidence qui n'existe pas parfois Bathcmatiqucment est réalisée d'une manière physique à cet instant. l\ arrive que les deux pendules paraissent coïncider pendant toute la durée de pluiMurt oscillations.

y elB.— I. i-fa«î. 8

i\x MESURE DES QUANTITÉS l

ii'ulléial la durée des oscillations; ni;»' loiilo petite qu'elle est, sïdimine | simple. On (i\e au-dessous i\u (•<•■ son centre de gravité au-desson? ' d'une vis sur laquelle un écror»

lever ou abaisser le centre dcî ^■ le couteau sur le support el I le petit écrou dans une posi»' lation soit sensiblement If' plel. On est sûr alors qmment du pendule quun«* isolément dans le nir.'i:

termine le pendule,

-, la ditîérence

MtidiMure dont

!■• {'t'iMiule a fait

' . • 'inrlo^f» e\écu-

î! ;iul;Mit (Mitre deux

iiih's sur le cadran:

•ujées./i - - 1 exprime

- par le pendule, cl le

', il serait ecal a

5 vite (jue riiorloge. En

Borda, qui voulait sèment la m«>me \ aisément sans f^ placer par de> imaginé dan< • concave, ini ..

quelle on • de suif.

il fait'

peu;

.: ivements, on en mesure les .. est joint à rappareil, et. Ai ::iale de Técai t au moment des

* .>. .iJiout ri(;ourciix. Soit i -+■ - le rajipoit

' .l'tf lo plus lent il eellc du plus rapide et

. Tvducliblo. lînlrc deux coïncide nées iu;i-

> •. r\ culé chacun un nombre pair d'o.-^cin.i- ^ . * Jm plu» lent, le plus raj»ide en a execnlé

.< ^.: entier pair. Puisque/; est premier a\ ce

.. r«..-x:r.ce »« - du nombre d'oscillations des deiiv

: -'.T: Jeux loiucidenccs succ«*s>i\es», elle est 7.1*.

.. •:»>>epn»dui5ant sur la veilirale, il y a eu, dans

. !•• > vraies successives, p i fausses coîncidence>

. <» : :ul.iir^'s variables de la verticale et un moment

. •* .:\»?iillalions de» deux peudulis dillcridcnl

.> Vl 'rs les pendules iu\ ctnUcidiMit plus nialhcuia-

JI..9J 'C .1 la verticale, mais ils paraissent euïruiiKr

^. :'.a: .'U soient Irès-vuisiuis; l'erreur que Ion eoni-

■ . -V '.. » deux coïncidences upp'uentvi le pendule le plu>

,x ^c.iîJtions de plus que l'autre cnfruine une erreur

'a Jurée d'une oscillation; mais celle-ci Cbi né-

.(. :-v d OM'illations du pendule le plus lent, séparant

..^ » ' a-e:tîc#, c>î extiùmement considérable. C'est préri»é-

• V i .'j*î* K** expcriences de Borda, comme dans celles qui

.'^ .j ".i : »r Biv»l. Bi« ii\t, Discmaion de la mvthode des cvin-

VALEUR DE g. iiS

'Il prend pour A la moyenne de A| et de A',.

! Mi.' diic dos coïncidences ; il est clair qu'elle

;\ :)\;niiafies. Premièrement, elle observe un

• 1 "srillaiions pour obtenir la durée d'une seule,

* i-ic jiju (0 nombre Terreur commise dans la mesure

-: ilrii\i(Mnenicnl, elle permet, grâce au grossissement

■•■{i.- «'i a la UMinilé des lignes que Ton vise, d'obtenir

i.MMl.' «wriMir le moment des coïncidences; troisième-

■. 'I « 't'>i là son principal avantage, elle dispense de

= . |M't !<'> oscillations, puisque Thorloge marque les siennes

. t (Il «iM en déduit celles du pendule. C'est sans contredit une

• Ir- nieilltnires méthodes que l'on possède.

VALETTE DE LA CONSTANTE g. — Puisque l'on a pu donner tant de précision à la mesure des diverses quantités qui entrent dans la formule, on en déduit la valeur de g avec plus d'approximation que par toute autre méthode. Mais cette valeur de g n'est pas celle (jue l'on trouverait si l'on faisait osciller le pendule dans le vide. On verra en eiïet dans la suite que les corps perdent dans l'air un poids égal à celui du gaz qu'ils déplacent. Par conséquent, si le poids de la sphère dans le vide est P, il diminuera dans l'air du poids /^ du gaz qu'elle déplace, et il deviendra P — p.

Si le principe d'Archimède était applicable aux corps enmouvement comme il l'est aux corps en repos, on pourrait donc raisonner de la manière suivante. Soient g' l'accélération dans le vide, g l'accélération observée; on aurait, d'après le principe de la proportionnalité des forces aux accélérations,

Mais Bessel a fait voir que la perte apparente de poids est plus

grande dans le cas du mouvement que de l'équilibre, dans un

rapport qui, d'après Poisson ( * ), serait égal à -î indépendam-

(') PoissO!«, Mémoire sur les mouvements simultanés d'un pendule et de l'air tmnrottnant {3fém. de VAcad. des Sciences, t. XI). ,

ii8 MESURE DES QUANTITÉS PHYSIQUeS.

\aleur de g, car,' comme on a