IL
dt
Ainsi l'intensité a pour mesure, à un facteur constant près, le carré de l'amplitude.
Combinaison de deux mouvements vibratoires de même période. Si deux mouvements vibratoires parallèles et de même période se superposent en ua même poiat suivant une même direction (ou suivant des directions peu inclinées), les vitesses des mouvements composants étant à chaque instant représentées par
i'=:asin2^ et
/=a'sin2i:
la vitesse du mouvement résultant,
V=^4-f''=(acosa7rç4-a'cos2irf')sin2iu — (asina7Çf-Ha'sin2'î;^')cos2x-t
sera donnée par une expression de la même forme
V=Asin2ir
= A cos 2ir $ sin 2TC — A sin 27: $ cos 27c - ;
car on peut toujours poser
A cos 2TC$ = a cos 2TÇ(p -h a cos 2iu(p' et
A sin 2TC$=:a sin 2x9 -ha'sin 2x9'.
Si, en efifet, on élève ces deux expressions au carré et qu'on les ajoute, on a
A^ = a^ 4- a'^ -h 2aa cos 2tc (ç -— ©') ,
équation donnant toujours pour A une valeur réelle. Si Ton divise la deuxième parla première, il vient
. , asm 2x9 -H a smaxç
a cos 2x9 -h a' cos 2x9' *
et il existe toujours une valeur réelle de $ satisfaisant à cette équation.
Le carré de l'amplitude étant proportionnel à l'intensité, A^ peut être regardé comme mesurant Tintensité au point considéré ; et Ton voit que cette intensité dépend de la différence de phase que les deux mouvements composants offrent en ce point ; elle est
maximum, si cos 2^ (9 — 9') =: -m ou 9 — 9'= — ,
mmimum, =— i ....... =- ,
k étant un nombre entier quelconque 0,1,2,3,...
L'intensité est maximum ou minimum suivant que la différence de phase est un nombre pair ou impair de demi-périodes.
Les deux mouvements qui viennent se superposer en Q (fig. ^1) à répoque t sont ceux qui existaient respectivement en A et B aux époques f — çt et f — çt; (9 — 9')^ est la différence des temps que les mouvements composants ont employés pour arriver en Q. Au lieu des temps écoulés, exprimés en périodes, on peut considérer les chemins parcourus, mesurés en longueurs d'onde. Si, dans l'expression de 9,
to
nous remplaçons t par sa valeur tirée de l'équation fondamentale
X=Vt, nous aurons
en désignant par r le chemin Y^o parcouru depuis l'origine du temps, le retard; la vitesse peut donc encore s'écrire
asm 2x1 -
Les vitesses des deux mouvements interférents seront alors
a sin 2x
a sin 2TC
VioLLi, Cours de physique. — II. 8
ii4 ACOUSTIQUE.
et Ton Terrait aisément que la\itesse du mouvement résultant peut se représenter par
lintensité de ce mouvement ayant pour mesure
A*=:a*-ha'*-f-2aa'c0S2iCr->
si Ton appelle 8 la différence de marche r— r'des deux mouvements, et le retard R étant défini par Téquation
jj asin27:-4-a'sin2TC-- . n À A
tg27:T- = r
a cos 2TÇ - + a' cos iTz —
L'intensité résultante sera maximum ou minimum suivant que Ton aura
ou
c'est-à-dire* suivant que la différence de marche sera un multiple pair ou un multiple impair de la demi-longueur d'onde.
Si les intensités des deux mouvements composants sont égales, a = a\ l'intensité maximum du mouvement résultant vaut quatre fois chacune des intensités composantes, l'intensité minimum est nulle.
On retrouve les résultats connus.
Règle de FresneL — Si l'on avait à composer dans un plan deux forces a et a' passant par un même point et faisant avec une droite
donnée les angles 2719 fou 2x7-) et 27:9' (ou 2:ç--j, la résultante
serait précisément déterminée en grandeur et en direction par les
deux équations qui définissent A* et tg2T:^(ou tg27z—\. 11 y a là
une analogie remarquable, sur laquelle a beaucoup insisté Fresnel :
si Ton représente chaque mouvement vibratoire par une droite de
longueurs, menée sous Tangle 2-^9 (ouaiç-J, la règle pour
composer deux mouvements vibratoires d'amplitudes et de phases (ou de marches) données est la même que la règle pour composer deux forces de grandeurs et de directions données : c'est la règle d'addition des vecteurs.
Tout mouvement vibratoire rectiligne peut de même se décomposer en deux autres ayant des phases quelconques.
Parmi tous ces modes de décomposition, il en est un que nous
Fig. 60
devons signaler dès maintenant, parce qu'il est d'un fréquent usage c'est celui qui consiste à remplacer le mouvement proposé par deux autres,
l'un de phase o (ou de retard o) et d'amplitude a cos 27:^7
l'autre de phase - f ou de retard -j et d'amplitude a si
sm2T: —
il suffit de jeter les yeux sur la figure ci-contre, comme d'ailleurs sur l'expression {^=as\n ^'^y;;,~^)i pour voir que la vibration proposée OP équivaut en efifet à ces deux vibrations OQ, OR.
La généralisation de la règle de Fresnel est évidente, tout ce que nous avons dit de la composition de deux mouvements s'étendant de soi au cas d'un nombre quelconque de mouvements.
Interférence des ondes sonores dans un tuyau limité, — Il ne sera
pas inutile de reprendre analytiquement Tétade de la superposition du mouvement direct et du mouvement réfléchi, examinée déjà plus haut. Pour simplifier le calcul, et en vue des applications ultérieures, nous considérerons une onde plane émise à Torifice d^un tuyau de longueur L : cette onde se propage jusqu'à Textrémité du tuyau, s'y réfléchit comme nous Tavons vu (350), et revient se superposer à Tonde directe résultant du mouvement entretenu à Torig-îne.
Examinons d'abord le cas d'un tuyau fermé.
En un point quelconque de la tranche située à la distance x du fond, les vitesses des deux mouvements concourants sont, abstraction faite de la diminution de l'amplitude dans le mouvement réfléchi ,
a sin 1% et
ft L — 3: \
et la vitesse du mouvement résultant, égale à la somme des vitesses des mouvements composants, est
oc ft. T ^
(^ = aa sin aiu -r- cos 1%
Cette formule montre que :
i*^ A une époque quelconque, v est nulle aux points pour lesquels
sin 27:— =0, ou x^A"-, X 2
h étant un nombre entier quelconque. On a donc une série de nœuds fixes aux distances du fond
(*) On obtient également celte formule, soit que Ton considère le chemin géométrique L-f-^ parcouru par Tébranlemenl réfléchi et qu'on tienne compte du signe — de la vitesse de cet ébranlement, soit que Ton considère le chemin
physique L-H-a^-f-- sans s'occuper d*aucun changement de signe.
2"" Pour une valeur quelconque de t, v est maximum en valeur absolue aux points tels que
sin 2TC-r-==t I, ou x=(2A:-+- 1)7.
Ainsi il existe une série de ventres fixes, échelonnés aux points
et les vitesses sont, à un même instant, de signes contraires en deux ventres successifs, et plus généralement dans deux internœuds consécutifs, les changements de signe se faisant aux nœuds.
3* Pour une valeur donnée de x^ la vitesse est une fonction circulaire du temps dont la période est partout égale à t et dont la phase est indépendante Aqx: les vitesses sont donc nulles ou maxima en même temps sur toute la longueur L.
La condensation y au point x est
du
^ dx^
Il étant le déplacement du point considéré.
Or
du
d'où
u=iia — sin 2TT — sin 27:
Donc
