TUYAUX SONORES. -— LOIS DE BERNOULLI

Dans les internœuds successifs, les vitesses sont de signe contraire. Si les courbes tracées sur les figures représentent les vitesses à une certaine époque, ces vitesses après une demi-période auront pris partout des valeurs égales et opposées, les vitesses étant toujours de signe contraire de part et d'autre d'un nœud. De même, à un instant donné, les nœuds successifs sont alternativement condensants et dilatants, et ils changent tous de signe en même temps toutes les demi-périodes, Tair intérieur étant pendant un moment partout à la pression atmosphérique.

II. Tuyaux fermés. — La réflexion contre le fond changeant le

signe de la vitesse, et la réflexion à l'origine changeant le signe de la condensation. Tonde deux fois réfléchie sera concordante avec Tonde directe, si le chemin parcouru 2L, augmenté de -^, est égal à k\. On devra donc avoir

4L = (2A:— i) X, ou

D'où les lois suivantes :

1" Un tuyau fermé peut rendre une série de sons caractérisés par les harmoniques impairs i, 3, 5, 7,

2"" La hauteur de Tun quelconque de ces sons est en raison inverse de la longueur du tuyau.

3° Le son fondamental a pour longueur d'onde quatre fois la longueur du tuyau

X = 4L, ou pour hauteur

il est à l'octave grave du son fondamental d'un tuyau ouvert de même longueur.

4"" Les points notables sont disposés comme le montre la iigure ci-après, le fond du tuyau étant toujours un nœud.

Chaque son étant à Toctave grave du son analogue que rendrait un tuyau ouvert de même longueur, est identique à celui que

Fig. 65

donnerait un tuyau ouvert prolongé d'une longueur égale au delà du fond : dans un tel tuyau les seuls harmoniques possibles sont évidemment les harmoniques impairs.

360. Vérifications expérimentales. — L'expérience s'accorde en général d'une façon satisfaisante avec la théorie qui précède.

1° Mersenne (*) remarque que de la trompette harmonique on tire aisément la tonique, l'octave, la douzième (quinte de l'octave), la quinzième (double octave), et pas de notes intermédiaires. Sauveur (^) cite des faits semblables ; mais c'est BernouUi qui établit le premier la loi de succession des sons supérieurs tant dans les tuyaux ouverts que dans les tuyaux fermés. Pour la vérifier après lui, on prend un tuyau long et étroit, un grand tube de verre, monté sur une embouchure de flûte, et on y envoie de l'air sous pression croissante : les sons se succèdent en suivant très

(*) Mersenne, loc. cit.y p. 271.

(') Sauveur, Mémoires de V Académie des sciences, année 1701, p. 299.

sensiblement la série liarmonique. On obtient tous les termes de la série (sans peine jusqu'au vingtième) si le tuyau est ouvert ('), les termes impairs seulement si le tuyau est fermé. Le passage d'un terme à l'autre ne se fait pas d'une façon absolument brusque; le son ne prend sa nouvelle hauteur qu'après avoir débuté faiblement en dessous; puis il s'entle en montant jusqu'à ce qu'il ait atteint le ton voulu ; il a acquis alors sa pleine intensité, l'intensité maximum correspondant à l'exacte concordance de toutes les ondes superposées dans la colonne vibrante. D'ailleurs, les divers sons dont on constate ainsi la succession peuvent évidemment coexister : en fait, le son fondamental d'un tuyau cylindrique étroit est toujours accompagné d'harmoniques nettement perceptibles.

2° La loi de la raison inverse de la longueur est très anciennement connue. Elle s'applique assez bien aux tuyaux longs et étroits; mais, d'une manière générale, elle comporte certaines perturbations sur lesquelles nous reviendrons plus loin.

3* La relation entre les sons fondamentaux d'un tuyau ouvert et d'un tuyau fermé de même longueur se constate facilement au moyen d'un tuyau ouvert quelconque : en le bouchant on lui fait rendre l'octave grave du son primitif.

4* Pour étudier la disposition des points notables, on peut recourir à un grand nombre de procédés.

Si l'on introduit dans un tuyau à paroi de verre une petite membrane recouverte de sable, on reconnaît aisément que le sable est en repos aux nœuds seulement, tandis qu'il est agité dans tout le reste de la colonne et Fig. g6

particulièrement aux ventres. A la membrane recouverte de sable, employée par Savart ('), on peut substi-

(<) Quand le tuyau est très long, on obtient difScilement le son fondamental ; l'instrument a une tendance à oclavier.

{') SiYAat, Ann. de ekim. et de phys., (2), XXIV, 58 ; 1823.

tuer une lame de collodion (Gripon), ou de liquide glycérique (Mach). L'expérience peut se faire pour un son supérieur quel-

If

Fig. 67

conque, comme pour le son fondamental, et dans un tuyau fermé aussi bien que dans un tuyau ouvert (*).

La pression aux ventres étant la pression atmosphérique, un trou percé à un ventre ne change pas le son, tandis qu'ailleurs il le modifie : dans le tuyau figuré ci-contre et excité de façon

(*) Sur quelques singularités que peut présenter cette expérience, voir VON Lang, Wied. knn,^ VU, 292; i879.

à rendre le son 3, la hauteur du son ne change pas quand on ouvre les trous correspondant aux ventres v, w, mais elle monte quand on lève les opercules a ou b.

Aux nœuds, la vitesse est nulle. Si donc on immobilise la tranche

Fig. (Î8

l-'ig. «9

d'air qui s'y trouve, on n'apporte aucune modification à l'état de la colonne vibrante. Ainsi, le tuyau ouvert T rendant le son fondamental, poussons la coulisse AS placée au nœud de manière à substituer à la partie évidée S la partie pleine A : le son ne change pas. On peut encore interpréter cette expérience comme prouvant qu'un tuyau fermé donne le même son qu'un tuyau ouvert de longueur double.

Si l'air est immobile aux nœuds, la pression y est maximum. C'est donc là qu'il faudra disposer les capsules manométriques de Kœnig. La figure 70 représente un tuyau ouvert, muni de capsules manométriques au nœud a du son i, et aux nœuds f>, c du son 2. Quand le tuyau émet le son fondamental, les trois flammes s'agitent, mais celle du milieu accuse des variations de longueur beaucoup plus marquées que les deux autres : elle peut même s'éteindre si le son est sufflsamment intense. Au contraire, cette flamme a est absolument immobile, tandis que les deux autres i, c sont fortement agitées, si le tuyau donne l'octave. Dans le

tuyau bouché, représenté à côté, la flamme b placée près du fond correspond toujours à un nœud ; les autres sont disposées au ventre a et au nœud c du premier son supérieur (son 3}. Si le tuyau rend le son fondamental, les trois flammes vibrent, mais avec une intensité décroissante de £ à c. Si le tuyau donne le son 3, la flamme a est immobile, tandis que les flammes £ et c éprouvent des variations considérables d'éclat et de hauteur. On sait que la

Fig. 70

manière la plus facile de saisir ces variations est d'examiner la flamme dans un miroir tournant.

M. KœnigC) a construit encore un appareil très commode pour étudier l'état d'une colonne aérienne en vibration. Un grand tuyau d'orgue, couché horizontalement au-dessus d'une longue

[<) Kœnig, Wied. Ann., 569; 1881 ; et Quelques expériences, p. 206.

cuvelte, est fendu sur toute la longueur de sa face inférieure : dans la fente pénètre l'une des branches ca d'un tube en U, venant déboucher au centre de la section droite du tuyau ; l'autre branche db, restant en dehors, peut être reliée à l'oreille ou à une capsule manométrique. Dans la cuvelle oa verse un liquide qui forme fermeture hydraulique, tout en permettant de faire marcher le tube explorateur de façon à amener son orifice intérieur en tel point que l'on veut de l'axe de la colonne vibrante. La figure 7 1 offre une coupe transversale du tujau, fermé en haut par une glace, au-dessus de laquelle peut glisser la pince mn soutenant le

Fis- 7'

tube explorateur acdb. En promenant ce tube tout le long du tuyau, pendant que celui-ci émet une note quelconque, on constate à l'oreille que le son s'enfle puissamment aux nœuds, et s'affaiblit aux ventres. L'expérience montre que, s'il est difficile de reconnaître nettement le lieu d'un maximum d'intensité, il est au contraire aisé de fixer la place d'un minimum, le son y disparaissant brusquement, de manière qu'on détermine à l'oreille la position des ventres avec exactitude et facilité. L'observation d'une flamme assez courte peut suppléer l'oreille : la flamme devient subitement très lumineuse à chaque ventre, tandis que dans tout le reste de la colonne elle esl bleue et peu visible.

Quand un tuyau rend un son supérieur, la colonne d'air se divise spontanément en parties aliquotes, vibrant isolément et à l'unisson.

Si, par exemple, un tuyau ouvert rend le son 4, nous pouvons

ViOLLE, Cmert dt physique. — 1. 9

considérer la colonne d'air comme partagée en quatre segments de

longueur -, limités aux ventres s^, Vj v, de sorte que si Ton enlève

successivement le segment supérieur, puis le suivant, puis encore celui qui vient après, le son conserve toujours la même hauteur: il restera identique si Ton remet les uns après les autres les trois segments. L'expérience se fait avec lai flûte de Bemoulli^ étroit tuyau en palissandre, formé d'une première partie portant l'embouchure et de trois autres tronçons de même longueur, superposés.

Fig. 72

Fig. 73

Au lieu de démonter le tuyau aux ventres, limitons-le successivement aux divers nœuds à l'aide d'un piston mobile p^ ainsi que le faisait Bernoulli: nous pourrons encore ajouter ou retrancher un nombre quelconque de concamérations sans modifier le son primitif (^).

(*) Outre les tuyaux ouverts et les tuyaux fermés ou bourdons, on emploie encore en musique les tuyaux à cheminée, tuyaux bouchés dont le fond porte

Ces expériences sont susceptibles de mesures comportant une certaine précision. Aiosiy d'après Masson (*), une flûte de Bernoulli rendant un son dont la demi-longueur d'onde était o^^^iSS, se composait de segments ayant précisément cette même longueur o'^yiSS, à l'exception de celui qui portait Tembouchure et dont la longueur était seulement o^^ioS.

Pareillement, quand on opère avec un piston mobile dans un tuyau long, étroit, embouché sur tout son pourtour et rendant un son de rang un peu élevé, comme l'ont fait Desains et Lissajous (*), on constate que la longueur des internœuds est la même dans tout le tuyau et égale à la demi-longueur d'onde du son émis.

Le tube explorateur conduit aux mêmes résultats : M. Kœnig trouve par exemple pour le huitième son d'un tuyau ouvert, ayant 2", 33 de longueur sur o",i2 de côté, les distances suivantes, en millimètres, des ventres successifs, à partir de l'embouchure :

les six nombres moyens sont sensiblement égaux entre eux et à leur moyenne 3i4; le premier est inférieur à cette moyenne de i4i et le dernier, de 43 (^).

L'expérience confirme donc les indications de la théorie, sauf la relation entre la longueur du tuyau et la longueur d'onde. La longueur d'un tuyau, ouvert ou fermé, émettant le son fondamental, est moindre que la longueur théorique - ou -. Si le tuyau rend un son supérieur, les points notables sont distants de - sur toute la longueur du tuyau, à l'exception du premier

une ouverture à laquelle est adapté un petit tuyau ouvert de longueur convenable. La théorie de ces instruments a été établie par BernouUi, Poisson et Duhamel; M. Gripon en a vérifié la conséquence la plus importante, d'accord avec les faits qui précèdent, à savoir que les deux colonnes d'air de diamètres différents qui composent un tuyau à cheminée vibrent isolément à l'unisson, les nœuds et les ventres étant placés dans chacune aux distances voulues de l'extrémité libre (Gripon, Ann. de VÉc, norm.y (1), I; 1^64). (*) Masson, Ann. de chim. et de phys., (3), XL, 463; 1855.

(2) Desains et Lissajous, Expériences inédites, citées dans Desains, Leçons de physique^ II, 70. Paris, Desobry; 1860.

(3) Cf. HuMOîij Journal de physique, (2),I, 136; 1882.

nœud qui est toujours plus rapproché de l'embouchure et du dernier nœud dans un tuyau ouvert ou du dernier ventre dans un tuyau bouché (^) qui est encore à une distance de Textrémité moindre

que 7. C'est ce que Ton appelle les perturbations aux extrémités.

361. Perturbations aux extrémités. — Leur origine. — La perturbation la plus importante est celle qui se produit à Tembouchure. Elle provient de ce que, par suite même du mode d'ébranlement, la condensation n'est pas nulle dans tous les points de la tranche originelle, ainsi que l'exige la théorie.

A l'extrémité libre du tuyau ouvert, les choses ne se passent pas non plus comme nous l'avons supposé. Sous l'influence du courant d'air qui traverse le tuyau, la colonne vibrante se prolonge au delà des parois : la réflexion sur l'air extérieur n'a donc pas lieu exactement dans le plan extrême, mais un peu plus loin ; et aux points mêmes où s'opère cette réflexion, on ne saurait concevoir une condensation rigoureusement nulle : la densité de l'air intérieur est sans cesse égale non pas à la densité constante de l'air extérieur au repos, mais à la densité variable de cet air en vibration.

Dans les tuyaux fermés, nous avons admis que la vitesse de la dernière tranche était nulle, le fond étant inébranlable. De telles conditions ne peuvent être réalisées absolument; toutefois, il n'est pas difficile de donner au fond une résistance telle que la perturbation y soit très faible.

Théorie de Poisson (^). — Poisson le premier rejeta l'hypothèse d'une condensation nulle aux extrémités libres ; et, en admettant seulement qu'elle y est très petite, mais proportionnelle à la vitesse (^), il édifia une théorie qui rend bien compte des faits, dégage les lois, et fait ressortir les perturbations, sans toutefois les mesurer.

(1) Tel est du moins le résultat des expériences de M. Kœnig; Savart avait trouvé au contraire que la distance entre le fond d'un tuyau fermé et le dernier ventre était supérieure à un quart d'onde.

(8) Poisson, Mémoires de V Académie des sciences, année i817, II, 305.

(3) Cette dernière supposition est inutile, Hopkins sut s'en passer ; elle est môme inexacte : il y a une différence de phase de 1/4 entre la vitesse et la condensation à l'extrémité libre d'un tuyau ouvert.