TUYAUX SONORES. — PERTURBATIONS AUX EXTRÉMITÉS

Travaux d'Hopkins (*) et de Quet ('). — Hopkins et Quet améliorèrent celte théorie, et mirent en évidence Teffet des réflexions multiples aux extrémités.

Nous avons dit que la condition pour qu'un tuyau renforce un son produit à l'origine est la concordance de Tonde deux fois réfléchie avec Tonde directe. Si, en effet, cette concordance existe, toutes les ondes deux fois, quatre fois, six fois, ... réfléchies se superposent à Tonde directe et, en un temps très court, vu la rapidité avec laquelle se propage le son, amènent un renforcement énergique. Mais quel est Teffet exact de cette superposition?

Considérons un mouvement vibratoire entretenu à Torigine,

a cos 2 1Ï-.

Ce mouvement se réfléchit à l'extrémité du tuyau : nous admettrons, avec Hopkins, que toute réflexion produit à la fois un changement d'amplitude et un changement de phase. Soit ma l'amplitude du mouvement réfléchi, m étant un facteur plus petit que I. Le mouvement réfléchi se superpose au mouvement direct, et le mouvement résultant, en un point situé à la distance x de l'extrémité, a une amplitude A et une phase $ déterminées, d'après la règle de Fresnel, par les équations

A*— a^(i 4- m^H- 2m cos 271(9'— ç))

, sin 2'ïrçH-/nsin 27U©'

tsr 2:: ^ = *— y

cos 2TC<p H- m cos 27:9'

ç et 9' étant les phases des mouvements composants au point considéré

Revenu à Torigine, le mouvement s'y réfléchit : soient mm a ou jxa l'amplitude du mouvement deux fois réfléchi et Y sa phase à Torigine. Ce mouvement donnera avec le mouvement trois fois réfléchi, un mouvement résultant dont l'amplitude sera [xA et la phase $4- Y, puisque les conditions d'interférence restent les

{*) Hopkins, Cambridge PkiL Trans.^ V; 1838.

(*) Quet, Journal de Liouville, XX, 1 ; 1855.

13i ACOUSTIQUE.

mêmes que pour le premier couple, sauf que les amplitudes sont multipliées par (jl, et que la phase de chacun des mouvements composants est augmentée de T : chacune des lignes du triangle de Fresnel est multipliée par |x et a tourné de Tangle 2rV.

Le mouvement quatre fois réfléchi donnera de même, avec le mouvement cinq fois réfléchi, un mouvement résultant d'amplitude [t?A et de phase <!>-+- 2 V, et ainsi de suite indéfiniment, le nombre de ces mouvements qui se superposent pour constituer le mouvement définitif étant très grand au bout d'un temps extrêmement court. L'intensité du mouvement définitif peut donc se représenter par

[c0S27:<I>H-[xC0S27:($-hY)4-[X^C0S27:($-f-2V)4-[X^C0S27u($4-3^)H-...?

[sin 2Ti$4-[xsin27:(<I>-f-^)-+-[x'sin2i: ($-h2Y)-Mx^sin2T:($-+-3^)-h...p, ou, après des simplifications évidentes, par

[l-h [XC0S2TiY4-[JI.^C0S2(2tcT)H-[X^C0s3(2tcT)-|-...]*

-f-[iJi.sin2TCV-hiJi.^sin2(2TrY)-Mji.^sin3(2TC'î^)H-...p. Mais chacune des sommes entre parenthèses est connue (*) :