CORDES VIBRANTES. — VITESSE DU SON ET NOMBRE DES VIBRATIONS

touchait avec une barbe de plume à la jnoilié, au tiers, au quart,... : on entendait alors l'octave, la douzième, la double octave,... (*); et en même temps ou constatait la subdivision de la corde au moyen de cavaliers blancs et noirs placés respectivement aux nœuds et aux ventres (ces deux appellations sont de Sauveur).

Expérience d'Young. — Young (*) montra que si la corde est pincée, frappée ou, pouvons-nous ajouter, attaquée à l'archet (') en son milieu, les sons pairs ne se forment pas : car il suffit de toucher ensuite la corde en ce même milieu avec une barbe de plume, pour éteindre complètement le son. De même, quand la corde est attaquée au tiers, les sons 3, 6, 9,... font défaut. En général, dans le cortège des sons supérieurs manquent tous ceux qui auraient un nœud au point d'attaque.

Analogie des lois des cordes avec celles des tuyaux sonores, — Les principales circonstances du mouvement transversal (*) des cordes offrent avec les lois des vibrations longitudinales des tuyaux ou des verges une analogie frappante. C'est qu'en effet, dans les deux cas, un même mode de combinaison de mouvement entraîne une même relation entre la vitesse de propagation du son et le nombre des vibrations.

370. Relation entre la vitesse de propagation du son et le nombre des vibrations. — Reprenons le long tube de caoutchouc fortement tendu, fixé à un bout et saisi à l'autre, dont nous nous sommes déjà servis (343) : par une brusque secousse produisons un ébranlement transversal à l'origine, et nous consta-

(<) Les Yiolonistes mettent à profit ce fait pour obtenir des sons très élevés et très purs : ils touchent légèrement avec le doigt la corde vibrante au point convenable.

(^) YouNG, ^kil. Trans,\ i880 ; et Miscellaneous Works (éd. Peacock. London; i855), I, 64.

(^) Delezenne, ayant observé qu'une corde attaquée à Tarchet juste en son milieu restait muette, pensait que la présence de l'octave était nécessaire à la production du son fondamental. Mais, bien que la largeur de Tarcbet rende l'expérience difficile, on peut, en le passant au milieu de la carde, tirer de celle-ci un grand nombre de sons impairs, (Delezenne, Recueil des travaiix de la Société des sciences de Lille; 1827; Duhamel, C. R., X, 855; 1840; Antoine, Ann. de c/iim. et de phys., (3), XXVII, 191 ; 1841).)

(^) Les cordes vibrantes sont aussi susceptibles de vibrer longitudinalcment. Nous étudierons ces vibrations longitudinales en môme temps que celles des verges dont elles ne dilTèrent pas.

terons aisément que cet ébranlement, propagé jusqu'à Texirémité fixe, s'y réfléchit avec changement de signe de la vitesse (la protubérance se transformant en dépression), pour revenir éprouver contre la main un nouveau changement de signe (*). Par suite, un mouvement périodique entretenu à Torigine se trouve rapidement amplifié, Tonde deux fois réfléchie étant identique à Tonde directe si là durée du. double voyage de Tonde est un nombre entier k de périodes. Ainsi, V étant la vitesse de propagation du mouvement transversal dans la corde de longueur L soumise à Texpérience, la condition du renforcement sera

ou

ce qui est la formule même établie pour les tuyaux sonores (359). Un changement de période amène aisément la division du tube en un nombre quelconque de parties vibrant à Tunisson. Mais il est possible de donner à Texpérience une forme plus précise, due à M. Melde, de Marbourg.

371. Expériences de Melde (^). — Un long cordonnet de soie blanche est tendu horizontalement entre une cheville ou une poulie tixe et un diapason vertical. Le plan des branches du diapason contenant le cordonnet, Textrémité de celui-ci se déplacera longitudinalement quand le diapason vibrera. Le cordonnet, successivement relâché puis retendu, s'abaissera, redeviendra horizontal, s'élèvera, retournera à la position horizontale et ainsi de suite, le mouvement longitudinal du point d^attache provoquant un mouvement transversal du système avec une période double; la corde entière oscillera donc àToctave grave du diapason (^). Mais pour que la corde puisse

(*) Les frères Weber ont suivi avec beaucoup de soin la propagation d'un ébranlement dans une grande ficelle de coton, très flexible et très peu élastique : ils ont trouvé que la vitesse de la propagation était indépendante de la nature de l'ébranlement (chiquenaude, choc d'un marteau), indépendante aussi du chemin déjà parcouru (E. H. et W. Weber, /oc. d^, 460.).

(2) Melde, Voqg, A.nn,, GIX, 193 et CXI, 513 ; 1860-64.

(3) Si les vibrations du diapason s'effectuaient perpendiculairement à la di-

COUDES VIBRANTES. — EXPÉRIENCES DE MELDE. ni

vibrer ainsi, une tension convenable es( nécessaire : nii débiil il

ne se produira en général qu'un frémissement irrégulier ; en modi-

fiant graduellement la tension, nous arriverons à la valeur voureclion de la corde, l'accord s'établirail à l'unisson. Par conséquent, la corde

étant d'abord à l'octave grave du diapason (Qg. go], si l'on fait lourner celui-ci de 90* BUr lui-mAine, on verra se former doux TiLseaux égaux séparés par un nœud.

lue, et la corde s'épanouira en un fuseau d'un blanc perlé admirable et d'une fixité parfaite. Diminuons la tension de la corde, tout se déforme et se brouille pour rentrer dans Tordre quand la tension sera devenue égale exactement au quart de ce qu'elle était d'abord : la corde se partagera alors en deux segments oscillants, séparés par un nœud absolument immobile. Une tension égale au neuvième de la valeur originelle amènera la division en trois segments; et ainsi de suite, chaque forme se présentant avec une netteté saisissante (^].

Gomme, d'ailleurs, dans tous les cas, chacun des segments vibre à Tunisson de l'octave grave du diapason, il en résulte que si pour la tension 1/9, par exemple, la corde se divise en trois segments, c'est que pour cette tension 1/9 le son fondamental est i/3, ou la douzième basse du son de la corde tendue par le poids i. La loi des tensions est donc vérifiée.

L'influence de la longueur se mettra facilement en évidence avec deux diapasons de hauteur différente : pour s'étaler semblablement, les longueurs d'une même corde également tendue, excitée successivement par ces deux diapasons, devront être en raison inverse des nombres de vibrations des deux diapasons.

Si l'on veut reconnaître l'influence du poids de la corde, on prendra d'une part un cordonnet de longueur L qui sous la tension T donne avec le diapason a un fuseau unique, et d'autre part quatre cordonnets identiques, disposés parallèlement en une seule corde de même longueur L, à laquelle on appliquera la même tension T et que l'on attachera à un diapason A (oclave grave du précédent); cette corde s'étalera de même en un seul fuseau ; donc, le poids de la corde ayant quadruplé, le son fondamental est descendu à l'octave grave: On peut aussi, comme l'indique M. Tyndall, prendre une corde formée sur le tiers de sa longueur de quatre brins parallèles et pour les deux tiers restants d'un seul brin du même cordonnet; amenée à se partager en deux fuseaux, cette corde présentera un nœud précisément au point d'attache de ses

(*) En substituant au cordonnet de soie un fil de platine chauffé au rouge par un courant électrique, M. Tyndall rend l'expérience visible à un nombreux auditoire : les ventres, refroidis par leur passage rapide à travers Tair, sont obscurs, tandis que les nœuds brillent avec éclat, rmcandescence diminuant rapidement de part et d'aulre de chaque nœud.

CORDES VLDHANTES. — EXPÉRIENCES DE MELDE. 173

Jeun portions d'inégal diamètre, le segment de longueur simple et de diamètr'> double battant syncbroniquement avec le segment de longueur double et de diamètre simple.

Enfin, avec des fils de substances dilTéreDtes, également longs et également gros, attachés à un même diapason, on vérifiera aisément que les poids tenseurs nécessaires pour les fairo vibrer à l'unisson de l'octave grave du diapason sont proportionnels aux poids spécifiques des substances employées : ce qui donnerait à la rigueur un moyen de déterminer au diapason les poids spécifiques relatifs des métaux susceptibles d'être étirés en fils minces et flexibles.

En superposantsur une même cordâtes actions de deux diapasons h l'octave l'un de l'autre, on obtient imc série de Tormcs dont la

figure ci-contre représente les principales, et dans lesquelles se distinguent les deux mouvements vibratoires.

La figure yJ montre l'un des aspects qui résultent de l'escitution simultanée par deuK dinpasons sonnant îi la douzième.

Le procédé de Melde, étant particulièrement commode pour entretenir la vibration, permet d'étudier aisément les formes successives de la corde au moyen d'une lumière à éclipses intermittentes. A cet effet, M. Neumann dirige sur une corde filée (recouverte de fil métallique) la lumière vive sortanfd'une fente parallèle. Devant celte fente il dispose une lame de verre portant un trait noir à l'encre de Chine et fixée à un diapason de telle sorte qu'au repos le Irait noir occulte la lumière. Mais quand le diapason vibre, la lumière éclaire en généralla corde qui offriraencorel'apparence d'un fuseau brillant sur lequel on verra se mouvoir lentement une ligne sombre affectant les formes successives de la corde, si celle-ci esta peu près à l'octave du diapason. La ligne serait immobile si l'accord était exact.

373. Théorie des cordes vibrantes. — Équation des cordes vibrantes, — La théorie des cordes vibrantes, commencée par Tavlor, a fait l'objet des recherches de Jean et de Daniel BernouUi, de d'Alembert, d'Euler, de Lagrange, et a su intéresser encore de nos jours plus d'un mathématicien.

Pour établir cette théorie, on suppose la corde parfaitement flexible et dénuée d'élasticité, ce qui pratiquement revient à admettre :

l'Que les dimensions transversales de la corde sont assez petites pour que celle-ci puisse être regardée comme un simple fil absolument flexible;

2* Que la corde est suffisamment tendue et n'éprouve que des déformations assez faibles pour que les forces élastiques variables résultant de ces déformations soient complètement négligeables relativement à la tension pcrmanenle T.

En se bornant à de telles déformations, on pourra considérer Tangle qu^un élément quelconque de la corde fait à tout instant avec sa position initiale comme infiniment petit et en négliger les puissances supérieures à la première.

Soit donc, à un instant quelconque du mouvement, a'b' un élément ds qui était en ab à Tétat d'équilibre. Aux deux extrémités de cet élément agissent deux forces égales à T, mais non directement opposées et qui par conséquent ne se font pas équilibre : soient a

Fig. q6

l'angle que la tangente en a' fait avec la position première AB de la corde prise pour axe des x, et p Tangle que fait avec le même axe la tangente en b\ Télément ab' est sollicité dans une direction oj perpendiculaire à ox par une force

F=T(sing--sina)=Trfsina,

ou, si, d'après notre hypothèse sur la petitesse de a, nous identifions le sinus avec la tangente.

L'équation du mouvement dans le sens des j^ est donc, {j. désignant la masse de la corde par unité de longueur,

ou, comme ds ne difl'ère pas de dx au degré d'approximation où nous nous sommes placés,

dt^ ikdx^^

ou enfin, si l'on pose — =^V^

dt'^^ dx^

C'est la fameuse équation des cordes vibrantes que nous avons déjà vue présider à la propagation d'un ébranlement longitudinal dans un cylindre élastique (344).

A. — Intégration par des fonctions arbitraires, — On se rappelle que Finlégrale générale de cette équation peut se représenter par la somme de deux fonctions arbitraires,

indiquant la superposition de deux déformations qui se propagent en sens contraire avec la môme vitesse V.

Cette solution s'applique immédiatement au cas d'une corde indofinie, et on peut l'étendre au problème d'une corde finie par l'artifice qui nous a déjà servi pour un tuyau limité.

Si nous supposons d'abord la corde terminée d'une part à l'origine et s'étendant indéfiniment dans le sens des x positifs, nous pourrons la regarder comme faisant partie d'une corde indéfinie dans les deux sens, pourvu que les déplacements et les vitesses initiales dans la partie négative soient réglés de manière que, la corde étant abandonnée à elle-même, l'origine reste perpétuellement au repos: en d'autres termes, l'onde positive du côté négatif doit être telle qu'en se superposant à l'onde négative donnée du côté positif elle laisse l'origine en repos ; ou encore, l'onde positive émanant de l'origine doit être précisément celle que produit la réflexion de Tonde réelle à l'extrémité fixe.

Do là, on passe aisément au cas de la corde attachée aux deux bouts: la perturbation initiale se partage d'elle-même en ondes positives et en ondes négatives qui sont réfléchies aux extrémités, changent de signe à chaque réflexion, pour reprendre leur état primitif après un nombre pair quelconque de réflexions, de sorte que la période du mouvement est le temps requis pour parcourir deux fois

la longueur de la corde, T = -rT, ou un sous-multiple de ce temps.

Corde fixée à ses deux bouts. — Le cas d'une corde attachée aux deux bouts étant celui qui intéresse réellement la pratique, nous exposerons avec quelque détail la méthode par laquelle on le ramène au cas général en supposant la corde prolongée indéfini-

ment dans les deux sens et en disposant des conditions initiales de façon à assurer l'immobilité constante des extrémités de la portion considérée.

a) Déplacements initiaux sans vitesses.

Examinons d'abord le cas où la corde, dérangée de sa position d'équilibre, est ensuite abandonnée librement à elle-même, sans vitesse initiale ; et, comme les deux ondes se partageront également le déplacement, soit 7 — ^/(jr), .r étant compris entre o et L, Téquation de la courbe que dessine la corde déformée. Construisons la courbe j^=y (.r), pour les valeurs de .r comprises entre o et L. Soit acb cette courbe; traçons la courbe bc'b' symétrique de nch par rapport au point i, puis la symétrique de celle-ci par rapport à b\ et ainsi de suite indéfiniment; opérons de même à gauche. Le mouvement de la corde donnée sera celui de la portion ab d'une corde indéfinie dont l'état initial serait figuré par tous les arcs de courbe que nous venons de tracer et dans laquelle la déformation se propagerait dans les deux sens avec la vitesse V, c'est-à-dire qu'il sera représenté à un instant quelconque par l'équation

En effet, on a

dr

dt '~^'

à l'époque ^-o, pour toute la corde, 7=:2/(.r), ~--o et à toute époque, aux points x:=^iy et .r— L, > :— o.

Le mouvement d'un point quelconque est périodique, car

y(.r±..L)-/-(.r), et par conséquent

c'est-à-dire qu'après un temps t ~ -^ la courbe reprend la même

forme.

Soit par exemple une corde pincée, yu mieux écartée de sa pï)si-

VioLLB» Cours de physique. — II. i2

lion d'équilibre avec une pointe fine (telle que le pleclnim du joueur de lyre), et ayant reçu à Tépoque t^o la forme ACB

Fi?:. 97

constituée par deux portions rectilignes. Réduisant les ordonnées à

Fig. 98

moitié, elTeetuons le tracé marqué par la figure '98, où la courbe supérieure représente les ondes positives et la courbe inférieure les

Gx-

ondes négatives dans leur position initiale. Il suffit de combiner les deux courbes déplacées en sens inverse chacune de V/ pour avoir

la forme de la courbe à Tépoque t. On obtient ainsi les figures ci-contre, qui correspondent à des époques distantes d'un douzième de période. Au bout d'une demi-période la corde a pris la forme G, d'où elle revient à la forme primitive en passant par les mêmes figures, composées exclusivement de portions rectilignes.

h) Vitesses initiales sans déplacements.

Si la corde dans sa position d'équilibre reçoit en chacun de ses points une vitesse initiale 29' (x) (nécessairement nulle aux extrémités), on verra de même que Téquation

y — 9' (.r +\t)-\-o{x— yt) .

donnera les vitesses, et

les déplacements à un instant quelconque, les deux fonctions j)' et j étant encore périodiques et de même période -z-——,

r) Vitesses et déplacements initiaux.

Si enfin les deux conditions, déplacements et vitesses, se superposent primitivement aux divers points de la corde, on pourra toujours, en ajoutant les deux solutions précédentes, déterminer à un instant quelconque Télat de la corde en chacun de ses points.

La question doit donc être regardée comme complètement résolue.

Formule de Taylor, — Dans tous les cas, le son fondamental aura

pour période t^-tt-, ou pour hauteur

Or nous avons posé V- — — , Tétant le poids tenseur, et u. étant

i8p ACOUSTIQUE.

la masse par unilé de longueur, ou —r- , si nous appelons P le poids de la corde entière; on a donc

ce qui est bien la formule de Taylor.

A l'aide des équations aux dimensions (72) des diverses quantités entrant dans cette formule

T=mLt-'\ g=[Lr'l P = [MLr*], L=[L],

nous vérifierons aisément que N — [/—»], et que par conséquent la formule est homogène (*). Si nous tenions pour évident a priori que la période ne dépend que de L, T et \l, Téquation atix

dimensions de [l étant ja— [ML""'], comme la seule combinaison de

t I ces quantités capable de représenter un temps est T "" ^ j^â L, la condition d'homogénéité nous donnerait la formule de Taylor, le facteur numérique restant seul indéterminé.

B, — Intégration par des séries tri ffonomé triques, — Si la méthode de Lagrange résout complètement le problème de mécanique, il reste à savoir au point de vue physique quelle sera la nature du son produit par le mouvement de la corde. La réponse à celte question se trouve dans une deuxième manière de satisfaire à Téquation

différentielle dont Tintégrale générale peut être mise sous la forme

d'une série trigonométrique, ainsi que Ta montré D. Bernoulli (^).

Suivant l'exemple de Taylor, nous chercherons d'abord une

solution particulière. Et, à cet effet, prenant pour guide l'obser-

(*) Plus simplement, on peut remarquer que, T et P étant des forces, par con-

séquent le rapport =; un nombre abstrait, et -étant le carré d*un temps (la moitié

du carré du temps que met un corps pesant à tomber de la hauteur L), la formule représente bien l'inverse d'un temps.

(2) D. Bernoulli, Mémoires de V Académie deBeWm, 1753.

CORDES VIBRANTES. — THÉORIE. i81

vation, nous nous demanderons s'il est possible de résoudre le problème par un mouvement pendulaire

d'amplitude a variable avec le point x considéré.

Pour que cette valeur dej convienne, il faut que Ton ait

ou, puisque Vt=X,

d OÙ, en intégrant.

a = A sîn 2TC~ + B C05 2Tîr-.

Le mouvement proposé sera donc possible, si Tamplitude en chaque point obéit à cette équation. Mais, les deux extrémités de la

corde étant fixes, jet par suite a doit être nul pour j: = o etjc = L,

ce qui exige que \i=o et que sin 27:-- = o, ou \= —r , out^^t -y-,

k étant un nombre entier quelconque. Ainsi la corde peut exécuter toutmouvement pendulaire dont la période est égale à unsous-mul*

tiple de -rr- (ou à cette quantité même), et elle ne peut pas en exécuter d autres, le mouvement d'indice k étant exprimé par

r = A*sin-j— cos(— I £*!,

si Ton pose

Le son fondamental correspond ii k = i, et par conséquent il a pour hauteur, comme nous l'avons déjà trouvé autrement,

A une valeur quelconque de k correspond un harmonique naturel du son fondamental.

Pour cet harmonique, j est nul à toute époque au\ points

tous ces points sont des nœuds. D'ailleurs la forme de la courbe à un instant quelconque est une sinussoïde.

Mais, d'après le principe de la superposition des pelils mouvements, la corde peut exécuter à la fois tous ces mouvements pendulaires.

Analytiquement, Téquation des cordes vibrantes étant linéaire, la somme d'un nombre quelconque de solutions particulières est encore une solution. Si donc on fait la somme d'un nombre infini de solutions telles que

j— AA-stn-j— cosi — j £/,

on aura la solution générale

w-,* . . kzx /kz\t jr = 2,^ Aa SI n -J- cos ( -J-- -

le signe 2,o indiquant la sommation de tous les termes en nombre infini que Ton obtient en donnant à k successivement toutes les valeurs entières depuis zéro jusqu'à l'infini dans l'expression placée sous le signe 2,«

Physiquement, cela signide que tout mouvement vibratoire d'une corde peut être considéré comme la superposition de mouvements

pendulaires de périodes sous-multiples de -^, et d'amplitudes et de

phases convenables (*) (déterminées par les conditions initiales) (^).

(*) Dans chaque mouvement l'amplitude est variable avec l'abscisse du point de la corde considéré, la phase est la môme en tous points.

(-) La proposition est vraie pour un système vibrant quelconque, ainsi que nous le verrons plus loin (Ihéorcme de Fouricr).

CORDKS VIBRANTES. — THÉORIE. 183

a) Déplacements initiaux sans vitesses.

Si nous supposons d'abord qu'au début on déplace la corde sans lui

dy imprimer de vitesse initiale, on doit avoir -j-=:o pourf =o, ce qui

exige que tons les e^^ soient nuls. L'expression générale se réduit alors à

r— X A)fcSin~T— cos — s — .

^^*» Là Li

La condition qu'au (emps f = o la corde aOTecte la forme

se traduit donc par la relation J{JC)~A^s\n-. — i-AoSin-j--f- -hA;tSin-j — h.

Pour déterminer Tun des coefficients, A/c, il suffit de multiplier les deux membres de cette équation par sin -^ dx, et d'intégrer suivant toute la longueur de la corde. Tous les termes du deuxième membre de l'intégrale sont nuls, excepté celui qui a pour coefficient Afc et qui devient -(*). On en conclut

(') On a en effet pour un terme quelconque d'ordre k'

I sin— ; — sin-r— ci. jczrz" I ces C03-i ; — - — \ctx

ir I. . {k—k')r..r ], . i k -h k' y.V]^ =-|-ï TT^sin : rrr-sin ; — ■ — I

quantité identiquement nulle si k' est différent de A*; et pour le terme en A;^,

/ï' . « kr,.v . i C^ [ iknrX ,

\. {L . ik-xY' L

= (--sm~| ) r=-.

•2 \ An l^ / o '■*

Cas (Tune corde pincée, — Considérons, par exemple, le cas d'une corde pincée en son milieu de façon à former au début les deux côtés d'un triangle isocèle de hauteur A et de base L(^). Multiplions les ordonnées du triangle par celles de la sinussoïde d'ordre k pour avoir celles de la courbe

Si k est pair, la sinussoïde ayant un nombre pair de festons, l'aire de la courbe comprise entre o et — est égale et de signe contraire

à l'aire comprise entre o et — \ par conséquent l'aire totale est

nulle ; tous les coefficients A^ d'ordre pair sont donc nuls.

Si k est impair, les deux aires s'ajoutent et Taire totale est égale à leur somme, de sorte que l'on a

kizx

pour k impair, Aa = j- / /(a:)sin

ou, en remplaçanty(a:) par son expression analytique entre o et