L . ih

-, savoir -r-x^

8 A /'7 , kr^x

Aa:— yâ / xsin-j — dxj

et, en intégrant par parties,

Shr L kzx /L\^ . kT:x~\'

ou

8 h . ki:

(*) Voir Mathieu, Cours de Physique mathématique y p. lîi.

CORDES VIBRANTES. — THÉORIE. i85

Le mouvement de la corde est donc représenté par la formule

S/iT . t:jc Tz\t I . 3x0: 3xVf i . StzJC 'jr,Wt 1

Cette série est rapidement convergente. Le son fondamental prédominera donc, les harmoniques pairs manquant complètement suivant la loi de Young^ et les harmoniques impairs s'affaiblissant rapidement.

On traiterait sans plus de peine le cas où la corde est pincée en un point / quelconque (*), et l'on trouverait, h désignant toujours la hauteur à laquelle ce point est soulevé,

2/iL^ . kizl

Ak=^ ... ..... sin-T-

krJ Le coefficient d'ordre k s'annule quand sin -j^ = o, ou quand

/ égale y, ou -T-, ou -1-,..., c'est-à-dire quand la corde est atta- /c le k,

quée à l'un des nœuds du k" son partiel.

b et c) Vitesses initiales sans ou avec déplacements.

Si les vitesses initiales ne sont pas nulles, on doit prendre pour chaque terme l'expression complète

X = AA.sm-7— cosi —5 hsit ,

ou l'expression équivalente

. . kr^x kr^it ^ . kr^x . krMt, y - A/f sm -j— cos — , h B^ sin —7— sm —y — ^

(*) HELiiaoui, Théorie physiologique de la musique j p. 489.

et, 9' {x) étant la vitesse de chaque point au temps t=: o, on aura

{^) = — Y^2^ ABA-sin-j-, d'où Ton tirera par le même procédé que tout àTheure

B/.=:— 7— T7 / o* (x)s,\n-^dx'

Cas d'une corde frappée. — Si une corde est frappée brusquement par un marteau dur et tranchant, et si le marteau se relève assez vite ' pour qu'au début le point touché (dont nous désignerons toujours l'abscisse par /) possède seul une certaine vitesse, sans avoir d'ailleurs éprouvé de déplacement sensible, les coefficients A seront tous nuls; et l'on aura

^ — -rr sini-sm-r-sin-ï — 1 — sin— ,- sin-r— sin—^ i-rrsin