II. — VIBRATIONS TRANSVERSALES
377. Théorie. — Le problème des vibrations transversales, attaqué déjà par D. BernouUi ('), a été résolu pour la première fois par Euler (^) ; il fut ensuite repris et développé par Riccati (*), Cauchy {*), Poisson (®), et plus récemment par Strehlke (^), Lissajous (*) et Seebeck f ).
Quand une verge élastique est fléchie perpendiculairement à sa longueur, les forces élastiques longitudinales, développées dans chaque section droite de la barre, contrebalancent à Tétat d'équilibre l'effet des actions transversales (151), et déterminent avec celles-ci à Tétat dynamique le mouvement de la verge.
Prenons pour axe des x la direction du filet moyen de la verge en repos, et pour axe desjK la perpendiculaire en un point de cette droite dans le plan de flexion. Supposons toujours l'épaisseur de la verge petite par rapport à sa longueur et bornons-nous à de petites déformations : le mouvement sera alors le même pour tous tes points d'une même section droite, et il sufGra de considérer le filet moyen; chaque point x de ce filet oscillera suivant une petite droite perpendiculaire à la direction naturelle de la fibre moyenne, Y sera l'écart à l'époque t. Considérons le prisme élémentaire li-
(') Pour étudier les vibrations longitudinales d'une corde il est bon de remplacer les chevalets du sonomètre par des mâchoires garnies de plomb, afin de limiter plus exactement la longueur de la portion en mouvement.
(2) D. Bernoulli, Comment, Acad. Petrop.j XUf, J86; 1741.
(*) EuLEB, Act, Acad, Peirop, pro anno 1779 ; pars 1, 103.
(*) Riccati, Memorie di mat e fis. délia Societa Italiana, I, 484, Vérona; 1782.
(^) Cauchy, Exercices de mathématiques; 1827.
{*) Poisson, Mémoires de V Institut; 1828; et Traité de mécanique^ 2« éd., II, 368; 1833.
(•^) Strehlkk, Pogg. Ann., XX VII, 505, et XXVJII, 512; 1833.
(') LissAJOus, Ann. de chim. et dephys,, (3), XXX, 385; 1833.
(^) A. Seebeck, Ahhand. d. math, phys. Glas, d, h, Sachs. Gesellsch. d. Wissensch.f 133. Leipzig ; 1849.
mité par les deux sections droites x et x-{-dx\ le mouvement transversal de ce prisme est réglé par l'équation
/'p + ^rfa:WsDrfx
ou
P étant la force élastique tangentielle (force de glissement, effort tranchant) dans la section x, S Vaire de cette section que nous supposerons uniforme tout le long de la barre, et D la densité de la matière constitutive de celle-ci.
Pour déterminer la force P, appliquons le théorème des moments (58) par rapport à un axe perpendiculaire au plan de flexioq et passant par le centre de gravité du prisme élémentaire. La somme des moments des forces P est — Prfx. Le moment des forces élastiques
longitudinales pour la section x est -^ (*), E étant toujours le coefficient d'élasticité du corps, I le moment d'inertie de la section Ir^dS, et
R le rayon de courbure de la verge au points:, dont l'inverse peut être
d^r /d^r dW \
pris égala -T^; pour la section voisine ce sera El ( t^+ js dxU
d^r et pour les deux ensemble El -j^^dx. On a donc
-P+Mg=o,(^)
(*) Nous avons trouvé en effet pour moment de ces forces dans le cas d'une barre prismatique (151)
(2) Nous négligeons ici, au deuxième membre, le terme ID , ^ g , provenant de
l'inertie due aux petites rotations alternatives des sections transversales de la verge que Taxe en se courbant incline en des sens alternativement opposés, inertie du même ordre que les quantités négligées plus haut.
VERGES VIBRANTES. — THÉORIE. i97
OU
En portant cette valeur dans (i), et en posant
^^~n (^ vitesse des vibrations longitudinales)
et P=^ {b rayon de gyration de la section autour d'un axe mené
par son centre de gravité perpendiculairement au plan de flexion),
on obtient l'équation des verges vibrantes
Cherchons si un mouvement pendulaire d'amplitude variable u peut satisfaire à cette relation ; posons en conséquence
j^ = MCOs( j-jm^+ej» (4)
L étant la longueur de la barre et m un nombre abstrait qu'il s'agit de déterminer. En portant cette valeur de j dans (3), on a
mx
Si u = e '^ L est une solution particulière, p est une des quatre ra-
(^) C'est le théorème fondamental pour l'étude de la résistance des matériaux : la force tangentielle totale dans une direction transversale quelconque est égale à la dérivée, par rapport à la coordonnée longitudinale, du moment de flexion autour d'une droite tracée sur la section perpendiculairement à cette direction.
cines quatrièmes de Tunité, -i- 1, — i, +1, — i; la solution complète est donc
mx mx
ii = acosm-r--|-gsinm^4-Ye L -i-5e l, (6)
ou, si Ton introduit les cosinus et les sinus hyperboliques (*), et si
Ton pose pour abréger a:'= m |-
M=A(cosx'-i-cohj:')4-B(cosx— cohy)+C(sinj/-i-siha:')+D(sinx' — siho:'). (;;
L'expression de u contient donc quatre constantes, les trois rap-
ports -y, j, Y» et m, que détermineront les quatre conditions initiales (deux à chaque bout).
Nous examinerons successivement les six cas qui peuvent se présenter suivant que chaque extrémité est libre^ ou ^xe'ie (encastrée dans une paroi inébranlable, à laquelle elle reste constamment perpendiculaire), ou appuyée (butée contre un obstacle qui ne gêne point sa flexion).
1° Les deux bouts libres. — Sur une section libre le moment
El
d'élasticité -tt- est constamment nul et aussi la force de glissement P ;
on doit donc avoir à toute époque -7~=o et -7^ = 0.
Par conséquent, il faut d'abord que, pour x=o, -j-^ = o et -1—3=0,
ce qui exige que B = o et D=o, de sorte que l'équation (^ se réduit à
M=:A(cosx'+coha:')4-C(sinx'H-sihx').
(^) Ces fondions sont définies, comme Ton sait, par les équations
cohx=i(e^H-e"^)5
8iha7=-(€f* — e""^),
d*où la relation fondamentale
coh*.r — sih^jc =: i .
VERGES VIBRANTES. — TBÉORIE. 49«i
Il faut en outre que -j— j et -r-^ s'annulent encore pour x=^l ou pour x=mj ce qui donne (*)
A(--cosm-i-cohm)4-C(— sinmH-sih m) = o, A( sin m-h sih m)4-C(— cosm4-cohm) = o,
équations dont la compatibilité exige que
(coh m — cos my = sih' m — sin 'm, ou
cosmcohm=i. (8)
Telle est l'équation qui détermine les valeurs de m convenant à la question (^).
Si cette équation est satisfaite, les deux équations de condition
fournissent pour le rapport -^ une seule et même valeur qui,
substituée dans l'expression précédente de u, donne (à un facteur constant près, H)
, 1 \ / ^^ 1 nix\ . , ., X / . mx ., Tnx\
u^=[cosm — cohm) ( cos-j--hcoh-^] +(smm-i-sinm) ( sm— p-hsin -r" I;
ella solution harmonique simple cherchée est, avec celte valeur de u^
j=llu cos f -p mh + 6 j. (9)
(*) Nous rappellerons que
-r-coh.r = sihx, -r- sih 07= coh X, da: ax
-7-^ coh a: =r coh or, -t-^ sihx=sih or,
et ainsi de suite.
(2) Poisson, loc, cit.
Le nombre des vibrations de ce mouvement est
Ainsi,
i" Une verge libre aux deux bouts peut rendre une série de sons dont les nombres de vibrations sont entre eux comme les carrés m} des nombres définis par Téquation (8). Les valeurs de m satisfaisant à cette équation étant
(3,oii)^, (5,000)^, (7»ooo)^, (aw-hi)^,
les sons considérés varient à très peu près comme les carrés des nombres impairs successifs :
^T.ab [in+iY , ,
^-ip — r~^ ^ ^
cette loi étant d'autant plus approchée que Tordre n du son est plus élevé ;
2° Un son d'ordre donné est inversement proportionnel au carré L^ de la longueur de la verge, directement proportionnel au rayon de giration b et par conséquent à l'épaisseur (ou au diamètre) de la verge et indépendant de la largeur, directement proportionnel enfin à la vitesse a des vibrations longitudinales dans la substance considérée;
3° Les nœuds sont placés aux points x pour lesquels u = o (*), c'est-à-dire, sur une barre de longueur i, aux points
Son. Nœuds.
1 0,1 32 o,5oo 0,868
(*) Les points de recoupement ne coïncident pas avec les points d'inflexion, lesquels correspondent aux nœuds de la barre fixée-fixée ; mais, sauf pour les nœuds extrêmes, les deux sortes de points sont très voisins.
Dès que le son est d'ordre n un peu élevé, et quand le rang k des nœuds est supérieur à 3 et inférieur à /i — 3, c'est-à-dire pour toute la région moyenne de la verge, les nœuds sont également espacés et la distance de deux nœuds consécutifs est, la longueur L de la verge remise en évidence,
Les ventres, en dehors des extrémités o et i, sont placés aux points où u est maximum :
Son. Nœuds.
1 o,5oo (où Famplitude est o,6o8, l'excursion aux exlrémités étant i)
2 o,3o8 et 0,69a (où l'amplitude est 0,664)
3 0,220 0,780 (où Tamplitude est o,935) et o,5oo (où elle est moindre).
2° Les deux bouts fixés. — La fixité d'une extrémité est définie par
les deux conditions j = o et-t-=o. Quand l'extrémité était libre
dr" nous avions y"=o et -7 — -o, j' satisfaisant d'ailleurs à l'équation
différentielle (3). Le cas actuel se ramène donc immédiatement au précédent. La même équation
cosmcohm=i (8)
règle la succession des nombres m, dont les carrés déterminent la suite des sons que peut rendre la verge ; on a donc encore très sensiblement, sauf pour le son fondamental,
izab {in^iy
Les nœuds, en dehors des deux extrêmes coïncidant avec les bouts mêmes, sont placés comme il suit :
Son. Nœuds.
2 o,5oo
La distance de deux nœuds consécutifs vers le milieu de la verge, rendant un son d'ordre un peu élevé, est encore
3° Un bout libre, un bout fixé, — Les coefficients A et C s'annulant alors, u prend la forme
i£ = (cosm4-conm) ( cos-^ coh-y-j 4-(sinm — sihm) ( sm —:
mx ., mx"
et j peut encore être représenté par un mouvement harmonique simple (9), m étant défini par Féquation
cosmcoh m=z— i.
Les racines de celte équation étant
les différents sons que peut rendre la \erge, à l'exception des deux premiers, sont encore entre eux sensiblement comme la suite des carrés des nombres impairs,
Mais le son fondamental de la barre libre-fixée est au son fondamental de la barre libre-libre ou fixée-fixée, comme (1,194)^ : (3,oii)^==:i : 6,36, soit plus de deux octaves et demie au-dessous.
(*) Si la barre n'était pas suffisamment mince, l'inertie rotatoire pourrait amener un abaissement sensible des sons élevés ; la hauteur exacte étant en
[/ rn^\ b^l b^
I — [rn-\ — 2~) 71 p le terme en |^ ne serait plus négligeable pour
les grandes valeurs de m (Lord Rayleigh, loc. cit., I, 239).
Les nœuds, en dehors de rextrémilé fixe, se placent aux distances suivantes du bout libre :
Son. Nœuds.
3 0,1 32 o,5oo
1,322 4*982 9,001 4^ — 3 4'^ — ïo,999 ^n — 7,018
4« — 2 4^ — 2 4'* — î* 4tt — "^ ^n — 2 4^ — 3i
Quand Je son est élevé, vers le milieu de la barre les nœuds sont équidistants de
4"* Un bout libre, un bout appuyé, — Dans ces conditions, la verge se comporte comme une demi-verge libre aux deux bouts vibrant suivant un mode pair, avec un nœud au milieu.
5° Un bout fixé ^ un bout appuyé. — Les vibrations de la verge sont alors les mêmes que celles d'une demi-barre fixée aux deux bouts, vibrant avec un nœud central.
6° Les deux bouts appuyés. — Les condi tions anal y tiques qui trad ui-
sent Tappui sont j = o et -^=0, le moment d'élasticité devant
être nul sur la tranche extrême. Il en résulte d'abord A = o et B = o, puis C — D = o, et sinm=:o; de sorte que la solution, la seule qu'Euler ait établie complètement, est
TT . nr^x /n\^ab ^ \ j = Hsin-| — cos( — p— t—ç,\
n étant un nombre entier quelconque.
La verge présente alors les formes d'une corde vibrante, se partageant en n segments égaux qui vibrent à l'unisson :
Mais la loi de succession des sons est différente, les nombres de vibrations variant comme les carrés des nombres entiers consécutifs,
Loi de Lissajous. — Quelles que soient les conditions aux extrémités, si Ton compare, pour les sons d'ordre un peu élevé, le nombre N des vibrations à la distance D des nœuds intermédiaires.
on a
Chaque intemœud vibre comme une lame de même longueur dont les deux extrémités seraient appuyées; et le nombre des vibrations, toutes choses égales d^ailleurSy est inversement proportionnel au carré de la distance D entre deux nœuds consécutifs (*).
L'inQuence des extrémités ne s'exerce donc pas sensiblement sur la partie intermédiaire de la lame, qui se comporte de même dans tous les cas.
Propagation du mouvement transversal dans une verge, — Tout en négligeant des quantités sans importance, nous n'en avons pas moins rencontré dans la théorie des vibrations transversales des verges une complication plus grande que dans la théorie des vibrations transversales des cordes. La raison de l'extrême simplicité de celle-ci réside, comme le fait remarquer lord Rayleigh (^), en ce fait que les ondes du type harmonique se propagent dans la corde avec une vitesse indépendante de la longueur d'onde, de sorte qu'une onde quelconque y voyagera sans altération. Dans les verges, la constante de l'équation différentielle (3) ne représente plus une vitesse.
Soit un mouvement harmonique
j^ = C0S2Ti:
(*) LissAJOUS, Inc, cit., 408.
(2) Lord Rayleigh, loc, cit,y I, 246.
OU, la vitesse étant mise en évidence au moyen de la relation fondamentale X = Vt (*),
jr=cosY(Vf-x),
mouvement transversal entretenu à Torigine, et se propageant dans la verge sous la forme d'un train d'ondes identiques. Pour satisfaire à Téquation (3), ce train doit marcher avec la vitesse
inversement proportionnelle à X.
Une onde complexe, formée de la superposition de plusieurs mouvements simples, se déformera donc en se transmettant. Soient par exemple deux mouvements vibratoires de même amplitude et de longueurs d'ondes très peu différentes, se propageant ensemble dans un même milieu,
> =:C0S2tc( — - j-f-cos 2tc( -,——]= C0St-(V/—j:) H- cosrT(V^ — j:). Cette équation pouvant s'écrire
j^=z2C0St:
K^"?)~"fe-r')]*'''^''[K"^"^?)"""(^-^r)}
on voit que la progression simultanée de ces deux mouvements harmoniques se présente comme un train d'ondes de même période
tt' XX . .
T^=r2 7, de même longueur d'onde X, = 2- — r;, mais d'ampli-
tudes oscillant lentement entre o et 2, de sorte que le train entier est formé d'une série de groupes séparés par des intervalles relativement libres (battements). Dans une corde vibrant transversalement, comme dans un cylindre élastique vibrant longitudinalement, X varie proportionnellement à x, et les différents groupes
(^) Dans cette relation, qui est à proprement parler la définîlion de X, on doit regarder la période t comme donnée (c'est la caractéristique du son considéré), et la vitesse de propagation V comme une fonction de t et par suite deX=:VT.
avancent avec la même vitesse que le train lui-même. 11 n'en est plus de même dans une verge animée de vibrations transversales, dont la vitesse de propagation est fonction de la longueur d'onde. La position au temps t du milieu du groupe qui se trouvait initialement à Torigine est donnée par Téquation
la vitesse du groupe est donc
OU, d'après la relation fondamentale t^tt,
SidoncV=rK>-*,
(*) D'une manière générale, si la vitesse du Irain V varie comme X", la vitesse du groupe est
A la surface d'une eau profonde où V=KX2, U=-V. On a remarqué en effet
depuis longtemps que lorsqu'un groupe d'ondes avance sur l'eau, la vitesse du groupe est moindre que celles des ondes qui le constituent ; celles-ci paraissent avancer à travers le groupe, s'éteignant quand elles approchent de son front. Le tableau suivant, emprunté à lord Rayleigh, résume les cas particuliers les plus intéressants.
Vz=KX U=:o Mouvements pendulaires (Reynold, iVa^wre, 23 Aug. 1877).
VrzzKXî r=-V Ondes liquides pesantes.
V=zKX<» U=V Ondes aériennes.
V=r:KX 2 U=-V Ondes liquides capillaires(W.THOMsoN,P/ii7.Magr.Nov.l871.
V=rKX""' tJ=2V Ondes de flexion.
378. Expériences. — Les vibrations transversales des verges ont été étudiées expérimentalement dans chacun des cas distingués plus haut.
1° Les deux bouts libres. — Poisson, ayant traité spécialement ce cas, détermina le rapport des sons fondamentaux rendus par une verge libre aux deux bouts et vibrant d'abord transversalement, puis longitudinalement, et il pria Savart de mesurer expérimen* talement ce même rapport.
Voici le calcul très simple de Poisson.
Le son fondamental d'une verge vibrant transversalement est
l^(3,oi i)?:^ ab ^^~ 8 U'
Pour une verge rectangulaire d'épaisseur e et de largeur A, b^ ou^
JlG^ G^ G
est éffal à — : /ie = — ; donc b = — =. Pour une verere circulaire
e diamètre e, b^ = -Tr\ — - = — • donc o = t-
Une verge rectangulaire vibrant transversalement rend donc le son fondamental
JNt == 1,028 -j-g,
et une verge circulaire
D'ailleurs pour toute verge vibrant longitudinalement le son fondamental est
On a donc
et
Savart a mesuré le nombre des vibrations longitudinales sur des verges de près de i mètre, et en a conclu le nombre des vibrations longitudinales et par suite celui des vibrations transversales qu'effectueraient ces mêmes verges réduites au i/8 de leur longueur et il Ta comparé au nombre des vibrations transversales qu'accomplissaient effectivement ces verges réduites au i/8. Nous transcrirons seulement deux des sept résultats ainsi obtenus :
a) Verge parallélipipédique en laiton
j^^o^ e = 3T92 N, = 34i33 NxCalculé2668, observéaSÔj.
b) Verge cylindrique en laiton
er=4"','»8 Nl"34i33 N;calculé2829, observé 2844.
Antérieurement, Chladni avait observé les sons successifs rendus par une même verge (donnant comme son fondamental ut^i quand elle était fixée par un bout et libre à l'autre); et il avait trouvé les notes suivantes, dont les nombres de vibrations sont entre eux comme les nombres placés au-dessous :
sol^^ ré^ ré^ sij^ fa^-h si^ . . .
L'intervalle sol^^ : w/i = 6,25 diffère peu du rapport théorique, 6,36. Quant à la série des sons successifs observés par Chladni, elle est exacte à partir du deuxième terme; le premier terme seul est un peu faible : 3^ ou 9 au lieu de (3,oii)2 ou 9,066.
Ces déterminations ont été reprises par M. Mercadier (*) à l'aide de la méthode graphique qui lui a permis de vérifier les lois con-
tenues dans la formule N=:K-p, où K désigne une constante dont
la valeur théorique est 102,78 V. Pour l'acier K vaut environ 532 000 (le centimètre étant l'unité de longueur).
(*) Les vibrations de la lame étaient entretenues électriquement comme celles du diapason chronographique (Mercadier, Journal de physique, (2), III, 189; 1884).
Slrehlke et Ijssajous ODl mesuré avec soin la position des nœuds. Nous citerons, à titre d'exemple, les oombres relevés par Lissajous sur une lame de laiton longue de 5oo millimètres et portant à sa surface une division millimétrique très soignée. Comme on obtenait la distance D de deus nœuds moyens consécutifs en prenant l'intervalle de deux nœuds éloignés et en le divisant par le nombre des internœuds, cette distance s'est trouvée d'autant plus exactement déterminée que le nombre des nœuds était plus grand. La distance d, du nœud le plus voisin de l'extrémité à cette extrémité même était mesurée directement aux deux bouts, ainsi que la distance du nœud suivant à Textrémilé : on en a déduit par soustraction la distance d^ du premier nœud au deuxième. Dans la première colonne est inscrit le nombre des nœuds, égal à n+i, n étant toujours te rang du son.
IOi,î
ii>,6
aS,4
7ti.9
aa,o
Gi,î
Co,8
lo
la
lî,2
iî,a
Pour soutenir la verge dans ces expériences, on la fait reposer
Vis- 'ol
par deux lignes nodales sur les arêtes de deux couteaux en liège, que supportent de lourds pieds en plomb doublés de drap; et on
ViOLLE, Cours de physique. — II. 14
la maintient en appuyant du doigt au-dessus de Tun des couteaux. La verge est attaquée de champ à ce bout avec un archet, ou frappée en un ventre avec un petit marteau ; et si Ton a projeté à la surface un peu de sable, selon la méthode de Ghladni, on le voit se rassembler sur les lignes nodales et les dessiner nettement, ce qui permet d'abord de rectifier, au besoin, la position des lignes d'appui, lesquelles doivent coïncider avec des nodales pour ne pas contrarier le mouvement de la verge. Il est ensuite facile d'effectuer les mesures voulues.
2** Les deux bouts fixés, — Ghladni avait reconnu que les sons émis par une verge fixée aux deux bouts sont absolument les mêmes que si les deux bouts sont libres, malgré la grande différence des courbures. Lissajous mesura les distances des nœuds pour les dixsept premiers sons et les trouva tout à fait conformes à la théorie, quand il eut pris soin d'encastrer complètement chaque extrémité dans un bloc de métal terminé par une face plane normale à la lame (*).
3** Un bout librBy un bout fixé. — Ghladni donne pour ce cas la suite des sons :
Ut^ 1
sol^ #
re\
re.
st,b
ou
ou
Il* . . .
Théoriquement, les sons à partir du troisième se succèdent en effet comme les carrés des nombres impairs, le son fondamental étant (i,i94f et le deuxième (2,989)^
Pour déterminer les nœuds, Lissajous plaçait la verge horizontalement, l'une des extrémités fixée comme précédemment, tandis qu'un chevalet de liège soutenait la lame suivant une ligne nodale : il pouvait alors attaquer l'extrémité libre à l'arehcf, et il constatait que les nœuds intermédiaires occupent les mêmes places que dans les deux cas précédents. Les nœuds extrêmes sont l'un au bout fixé,
(*) L'archet ne peut plus alors attaquer la lame que par côté, ce qui tend à produire des vibrations tournantes. II y a là une difficulté qui arrête môme entièrement, si, par hasard, les lignes nodales du son que Ton veut produire se confondent avec les lignes nodales transversales de Tun des modes de vibrations tournantes.
