NN':=HH
la distance des deux points nodaux est égale à la distance des de^ ai points principaux : c'est Vinlerstice £.
Fig. i85
La ligure -j-Sj montre comment ù l'aide des points no<iaii\ peut construire de deux manières le conjugue d'un rayon inciieu/ , quelconque, en appliquant l'une ou l'autre des deux rèeles suivantes :
Tout rat/on issu du point E appartenant au premier plan focd 1 émerge parallèlempnt à la premirre directrice NE;
Tout raijon parallèle à la deuxième directrice N'E' renconltt^ J deuxième plan en E' ; soit que l'on trace parK' une parallèle it NE, soit que ton joigne K'
(1) Pi IIH'=o, N el N' !
infondent dans le point nodal double IrouiéplM I
BFRACnON. — RÉFRACTION A TRAVERS UN SYSTÈME DE SURrACES. 43&
■ point E'où la droite N'E', menée par îs' parallèle à PK, perce le nxième plan focal.
De même, dans la construction de l'image Q' d'un point Q, il flira de joindre à l'un des rayons K'F' ou LL' la directrice N'Q', Bonple QN, N'U* formant le rayon sans déviation.
Fig. î86
VeiUUies ipaisset, — Appliquons ces considérations h. quelques I particuliers.
Sût d'abord une lentille coustituée par un milieu d'indice n^, ut une épaisseur A,A,'=: e, et dont les faces A, et A^, de rayons R Bf, sont respectivement en conctact avec deux milieux d'indices I et n^. Nous désignerons par F, et F{ les foyers de la première iriwe réfringente et par Fj cl Ftccu\ de la deuxième, en point (430)
In rayon SI,, parallèle à l'axe et rencontrant en I, la surface de >^aration des deux milieux i et -i, irait passer en FI si le deuxième Biilieo s'étendait jusque-là. Mais nous supposerons l'épaisseur <? plus petite que l'un et l'autre des rayons R et R'. Le rayon l,Fi perce en un point Rj, situé entre I, et F|, la surface séparant les Wilieux 2 et 3, et il est rabattu en RjP, de sorte que F' est le deaiième foyer de la lentille. Si HK et ll'K' sont les deux plans principaux de la lentille, le rayon R^F' rencontre le deuxième plan
43ft OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE.
priacipal en un poiot K' situé à la même hauteur que le point K o« le rayon incident traverse le premier plan principal. De mfime le rayon S'It, réfracté d'abord suivant 1,F„ puis suivant R,F, vieaS
Bl
aboutir au premier foyer F de la lentille, en suivant la dirco^ «on KR, (').
Les triangles semblables K'Il'F' et RtAjP donnent
de même les triangles liA,FJ et RjAiFJ
liA.A.F'.
H.Ai~A,Fr
d'où, I,Ai étant égal à K'H',
{') Soit B le point de renconlre des rayons intérieurs 1,F' et I^K,; les d* v^ rayons Bl, et BK, vont, après réfraction à travers la première surface, passer tous les deux en K:K est donc l'image de B vu à travers la face A,; de même K' est l'image de B vu à travers la face A,. Si donc l'on mène par le point B k rayon T,T, parallèle à l'aie, les deux rayons T,Fi et l,t\, qui vont abonlit .' respectivement aut foyers i\ el FJ, passeront par les points K et K'. Par suiu aussi, les deui droites KH el K'H' sont respectivement les images de ladroiteBC I k travers les deux faces de la lentille.
B^FHACnON. — REFRACTION A TRAVERS UN SYSTÈME DE SURFACES. 437
S'ailleun, les points FJ et F' étant conjugués par rapport à la raceAi.OQ a
rp=y
fj;
JF=/=
AU
le rapport des dislances focales de la lenlille est égal au rapport ^fes indices des milieux eitrémes, quelle que soit la matière de la
Jentille.
Cherchons la distance de chaque point principal à la surface
*^orre5poDdantc. Nous avons
****> si nous désignons par h' la distance H'Aj comptée positivement '** lï' à A, vers l'extérieur, suivant la convention générale, ou de A, '^ H' vers l'intérieur,
-yr
^ir
De même
i8 OPTIQUE 6É0MÉTRIQDB.
L'interstice H H' est
Si les deux milieux extrêmes sont Tair, /i,=/i| = i, n^sn^ deux distaaces focales deyieunent égales,/' =/*, et la formole étA.1 plus haut donne
,. f^ wRn
•^"-^ ■"(//- i)[//(K + R')~('*-0^]' ou
Les distances A et h* des plans principaux aux faces corre: dantes ont alors pour valeurs respectives
//;U-4-R')-(/i-ije' R'
elles sont proportionnelles aux rayons
et rintcrstice l = c — h — h* devient
0 r^ C II — \)
//J(-f-lV)-(/i- i;/?*
Quand c est peu considérable par rapport à R et R\ on a blement
cme
Ainsi, dans une lentille ordinaire, en verre d'indice -,
fèrc peu de -6*.
D'ailleurs, la relation /^y entraîne lLN = H'N' = o; d( une lentille placée dans l'air les points nodaux N et N' si
CnOH. — RËFRACTEON A TRAVERS UN SYSTËME DE SURFACES. i39 .▼ec les points principaux H et H', et le centre optique est en trois points H, H' et 0 étant toujours conjugués deux h deux.
Fig. î8«
' constructions à effectuer pour obtenir le conjugué d'un
donné ou l'image d'une petite droite perpendiculaire k l'axe
rpliiîent alors, comme le montrent les figures a88, 390 (lenonvei^entes], et 389, agi (lentilles divergentes).
UA - OPTIQUE GtoHËTRIQUE.
Passons en revue les diverses formes de lentilles citées précé demment.
Fig. 391
Relativement à la lentille biconvexe, les raisonnements et 9 figures établis plus haut se rapportant à cette forme (sauf indic tion contraire), nous n'avons rien à ajouter.
Dans une lentille plan-conve\e, R' — » ; par suite J'=—^fi=o : le premier plan principal est langent au sommet de la fa oourbe; h' = -; et par conséquent 3= e.
La lentille biconcave a ses deux rayons négatifs;^ est ni'pttif'-
«Sr'
— H et — R' étant les rayons des deux faces; ft, h' et 5 sont positifs : les points II et II' sont donc ù l'intérieur de la lenlilltf' dans l'ordre normal.
PBACTION. — KtFRACTlOll A TRAVERS UN SYSTÈME DE SURt-ACES. UI
a la lentille est nlan-concave, H' = » ,/= , /i = o, h' = -,
Dads uq ménisque convergent, on a mRR'
•^ («-i)[«(R'-R) + {n-iH
'pression qui sera positive si
n(K'-R) + («-i)6'>o, **t-à-dire si
Or le premier membre de cette dernière ioégalitti représente la
ce d des centres 0 et 0' des deux faces ./=R'-lï + t..
inc à distinguer lus trots cas suivants :
la leotiltc est convergente.
uffit pas, on le voit, pour qu'une lentille soit convergente, lit plus mince sur les bords, ce «jui a Heu (]uand fl est > o.
e rfsoit > -■
443 OPTIQUE GËOHÉTaïQUE.
Supposons la conditioo satisfailc. Les distances des poïals H « H' uux faces A et A' sont respectivement
A est négatif, k' positif etS positif aussi: les poids H etH'sootdin l'ordre normal, H, H'; mais H est à l'exlériear de la lentille (').
d=~, on a un verre neutre.
d<-, le ménisque est diverçent. Alors, A esl positif et h' négatif : les points principaus sont ù droite des surfaces dantes. 8 est positif si d est <o, c'est-à-dire si la lentille b'i
fie- ■>9i .
sur les bords : dans ce cas, les points principaux sont dispesés aof maternent, et la marche des rayons s'effectue comme daos uDt lentille biconcave ou plan-concave. Au contraire avec (f>o.
(') D'ailleurs, les deux fbyers tombent en dehors de la lenlille suppo»é« lotjours d'une épaisseur moindre que l'un et l'autre rayons; en effel, /esl>''i
puisque, » 6lanl> c, hR esl > tir, et ù plus forle raison — — esl > f.
ACTION. — RfcFRACTlON A TRAVEBS UN SYSTËHE DE SURFACES. M
<o, la dispositioD ordinaire des plans principaux est ren-
^e : H' précède H ; un rajon suit alors la marche indiquée
la ligure 294.
nsi, quand l'épaisseur est Taiblc, les deux plans principaux à l'intérieur d'une lentille biconvexe ou biconcave, l'un de ces s élaot tangent à la face courbe si la deuxième Tace devient le; dans un ménisque, un plan principal au moins est h l'extétr,du côté delà face la plus courbe.
'nmbinaison de deux systèmes optiques. — Soit maintenant le ème résultant de l'associa^on de deux lentilles, ou plus généimeot de deux systèmes i et s, représentés par leurs plans prinmxAi.Aî, A„A; et leurs foyers F„ FJ, F„F;, les interstices des x systèmes étant respectivement 3i et 3,, et l'écartement entre leuxième plan principal du premier système et le premier plan leipal du deuxième étant A!A, = e. Le premier système est en iact par sa face d'entrée avec un milieu d'indice », et par sa face ortie avec un milieu d'indice »«; le deuxième est en contact M face d'entrée avec le même milieu d'indice iim et par sa face ortie avec un milieu d'indice n^. Les éléments du système réinl, compris eplre les mêmesmilieux extrêmes, se détermineront
lement comme dans le cas d'unelentille unique, avec cette seule reoce que les plans A,, A, sont en quelque sorte dédoublé?. es triangles semblables K'II'F' et RÎAtP d'une part, 1!A!F| et ,F! d'autre part, donnent encore
II'F' /-, W''~r,-c'
414 OPTIQUE GSOHÉTRIQUE.
D'ailleurs, les points F[ et P étant conjugués par rapport m système 2,
Oq a donc
Ji*/.-"
f Al.
Ainsi se maintient dans tous les cas la loi déjà formulée : le ra[iport des distances focales du système résultant est égal au rapport des indices des milieux extrêmes.
D'autre part, les relations
où A' = AÎH' et A = A,H, définissent la position des points prinupaus du système, dont les points cardinaux sont ainsi conntH, L'interstice est
Si les deux systèmes composants sont deux lentilles placées ibn' l'air, f\=J[tf\=Ji'i ot les formules précédentes deviennent
jj.
L4CnON. — REFRACTION A TRAVERS UN SÏSTËHE DE SURFACES. 44S uand le dénominateur de toutes ces expressions devient nul, points cardinaux sont rejetés à l'infîni; les constructions préiQtes sont en défaut. Le système est dit afocal. Un faisceau in- !nt parallèle reste parallèle à rémergence ; mais, en général, sn ion change (*). Supposons, pour simplifier, les deux lentilles nimeat minces. Soit e leur écartement. Le rappoK de l'image à ijel est
0 p e—p,' si l'oD élimine /? et /?, à l'aide des deux équations
i/i+/t — e=o, on a
tion évidente sur les figures ci-jointes.
Sauf dans le cas ou il esl parallèle à t'.izc, le faisceau chani^e en oulro recUon.
44» OPTIQUE GÉOHfiTRIQUE.
La grandeur de l'image est invariable, quelle que soit la distaQ^ de l'objet.
Lentille équivaleale. — Géométriquement, quelque complcH que soit un système optique, il peut être remplacé par une lentille uaique, ayant mêmes points cardinaux; car la marche d'n rayon dans les milieux extrêmes ne sera pas alTectée par ztVi substitution.
Supposons le système placé dans l'air. La déterminalion de II leolille équivalente revient à la résolution des quatre éia
J■=(«-■)^K+if — irm}'
