RÉFRACTION. — ABERRATIONS
ir suite, en se bornant toujours aux termes en j^*,
même degré d^approximation, on peut remplacer dans la paèse 7, par la valeur qui convient aux rayons centraux,
i donne
i:j = (i— v)x — vZjH — v(i— v)(x-hr^)*[vx-i-(i+v)7:,]7^. (i)
ém
Qous posons, pour abréger,
A = (i — v)x — vr^,
B=-v(i --v)(x-hrj*[vx-+-(i -+-v)rj,
aurons r conséquent
n est plus grand que i, les rayons marginaux rencontrent plus près de la surface que les rayons centraux (pour lesquels
, (^,)^=— j(*); raberration longitudinale est
iberration transversale est
î8 valeurs s'annulent pour ;? = — R et ;?=—(«+ i)R : Taberraest alors nulle, non seulement aux termes en j^ près, mais
Oq le voit très bien avec une grande lentille plan-convexe, dont la face ! est recouverte par un diaphragme percé de quatre trous, deux centraux ox marginaux.
Ces valeurs sont immédiatement applicables aux miroirs sphériques, la lion n*étant pour Talgèbre qu'un cas particulier de la réfraction (/i = — i).
4Se «PTtOUE gEomëtrique.
d'une façon absolue, comme on le reconnaitra sans peioe ('). i vérifiera aussi aisément que dans ces deui cas particuliers se troi remplie la condition à laquelle une surface doit satisfaire pourft aplanétique par réfraction.
Condition de Caplanétisme. — Si une surface fait converger un seul point P, tous les rayons émanés d'un point P,, elle est i demment de révolution autour de P,P, : il suffit donc de dé| miner ta courbe méridienne AB. Tous les rayons, qui vont de en Pt par AB, efl'ectuent cette roule dans le temps mininii
d'après la règle de Fermât (4S2), et par conséquent dans le m temps, quel que soit le point M où ils pénètrent dans le deu~: milieu. Lu condition de l'aplanélisme est doac
v^ ctvj élanl les vitesses de propagation de la lumière dans le^ milieux, vitesses dont le rapport est égal à l'indice de réfrs du deuxième milieu par rapport au premier,
Si donc nous posons
P,M=p„ P,M=p„ nous aurons pour l'équation de la méridienne AB
(') DaDS le premier cas (le point lumineux est au centre), /j'=R; i*^^ deuiième, p' ■= H.
HÉFRACTIOS. — ABERRATIONS. 457
fl représente un nombre inlini de courbes qui sont toutes lies de Descaries ('), les rayoas p, et p, étant de même signe vyen soQt de même nature (tousles deux réels ou tous les deux i), et de signe contraire si les foyers sont de nature diSél'on réel, l'autre virtuel).
id les rayons incidents sont parallèles, les dislances p, doire comptées h partir d'un plan quelconque perpendiculaire direction. Appelant u les dislances ainsi comptées, nous
■M l'origine des distances u est arbitraire, nous pouvons COD^nte égale à zéro, ce qui donne
lo^joars supposé plus grand que i, cette équation repré- M ellipse rapportée au point F et à une droite DE telle que
Kig. 3oj
, ou plutôt une infinité d'ellipses, ayant toutes même esccn-
% égale k n.
in adjoignait à l'une de ces ellipses une sphère ayant son
fpoLbèse n = — i redonne tes coniques trouvées pour les miroirs
lote).
Mit que le rapport des distances d'un point d'une ellipse au foyer et à
iee est égal à l'eicentrïcilë -•
ceaire eo F, on Tormerait une leoUUe ABC qui serait rigoureus^^
ment aplanétique pour un Taisceau de rayons paraJlèles. Il suffira. "^ . donc d'augmenler convenablement la courbure de la face coDTea^^ d'un ménisque convergent à surfaces sphériques, pour avoir tz^ ^ système qui, recevant sur sa face rendue elliptique ud plein fa ^s. ceau de ravons parallèles, ferait conve^er tous ces rayons en '^hji, point unique.
En combinant de même les deux cas où la sphère est aplattiné- J tique, on formera une lentille aplanétique, mais à image virtae''^f. Toutefois, cette combinaison ayant pour effet de diminuer l'ai
t'ig. 3i>3
du faisceau permettra de présenter finalement à une dernière kotille un faisceau assez étroit pour que l'aberration soit très fa ^bh. La figure 3o3 montre comment avec trois ménisques conver^M/s aplanétiques 00 peut réduire à 3o° une ouverture qui était de iio' au début {').
Cas de deux surfaces sphtriques. — Revenons au cas généra/, ei supposons le deuxième milieu séparé d'un troisième par mt
(<) Les lentilles sont supposées loules les irois en verre d'indice -. La hai,
ayant un rayon <le m"", le point lumineux est placé en P à une ditUut
AiP=-:j.iu, et les rayons entrent dans le verre parla surface sphérique M,*,
ayant son centre en P : l'image se forme en P, à la dislance A,P, = -.10; tt
si l'angle M,PM', = iio», M,PiM', = 7o'>.De mOme, le ménisque AjM^',abaii!
l'angle du faisceau à ji", et le ménisque AjMjM'j à 3o".
RËFRACTION. — ABERRATIONS. 430
nxième surface spfaérïqae, de façoo à constituer une leolille; la avelle réfraction est représentée par l'équation
{kaisseur de verre traversée par le rayon marginal étant supposée gligeable, de sorte que'7'=^. Dans cette équation, st est l'in-
Fig. 3ui
•■MM de la longueur p[ comptée à partir du pôle de la deuxième vfaea. Si donc nous représentons par e l'épaisseur de la lentille, aantité de l'ordre de^* et exprimée, au degré d'approximation L nous nous sommes placé, par
>os avons par suite
p'i=Pi-e
^v::, + jlv(i-v)(x+^,)'[«+{.+.K] + ^[(.-v)x-v;=.]'(x + x')j^,». (.)'
Les équations (i)' et (3) permettront, dans tous les cas, de déterioer la positioD du foyer des rayons marginaux, et, par suite, de dculer les aberrations, le foyer des rayons centraux étant donné irles termes indépendants de^* des équations (i) et (a).
Considérons le cas d'une lentille ordinaire pour laquelle ï'=-, cherchoDS les aberrations principales.
Alors
Par suite,
X2=( I — v)x-+- - ( I — vy[v^xH- (i — v)(x-hx')]7^.
Soil / la valeur correspondante de p^. Nous avons, en remplaçant xj par (i — v)x dans le coefficient de j* et après quelques réductions évidentes,
^.— (x4-x)H-^ ^ x*<?H — [x'4-(2— 2v — v'jxx'H-ll — av^-2v*)x*^»^■
Mais si *T.=:a + ie, en négligeant les puissances supéneares de e,
on a :/= je. Donc
•'art*
V I x' /=: ;— Vr rr^e —
I— vx-hx' (xH-x)^ v(i — v)(x-+-x')
7^5 [x'* -h (a — 2v — v*)xx' -+- ( I — 2V -4- 2Y*)(*V
Les deux premiers termes de cette expression représentent la valeur de/ pour les rayons centraux (*)
.Ma
1 — V x-Hx' (x4-x )
(*) Le foyer des rayons centraux dans une lentille épaisse est déterminé immédiatement par les deux équations
avec
la notation d'Herschell,
et
ou,
Pi ^
Si les rayons incidents sont parallèles, ;:i=o, î72 = (i — v)x, et l'on a
TL^e.
Celte équation donne la valeur de (/)^ indiquée dans le texte
du plus grand rayon, et que 1 aberration est X=i,o8e.
Si Ton retourne cette lentille de manière à exposer moins courbe aux rayons incidents, Taberration dévie trois fois plus considérable (X=3,5ej.
Dans la lentille à rayons égaux, X=: 1,67 e.
Une lentille plan-sphérique, dont la face courbe est d la lumière incidente, a une aberration à peine supérieur mum (X= 1,17 e) : aussi, comme elle est d'une construci les opticiens Temploient-ils fréquemment (*). Mais il faud der de présenter la face plane aux rayons incidents, ce tien deviendrait énorme {\=4,5e).
L'aberration latérale p est très sensiblement égale à ¥
longitudinale X niultipliée par la raison d'ouverture ji;
Mais il faut remarquer que le centre du cercie d*abei çoit beaucoup plus de lumière que les bords (^). La caast autour de Taxe une véritable pointe ayant son sommel Plus la pointe s'effile, plus se marque la pénétration du n'est autre chose pour une lentille que la propriété de d< des plans différents des images suffisamment nettes d point : par suite, les images de points situés à des pi différentes dans Tobjet pourront se voir avec une égale
