X=:AC0S21C
ç est Xdiphase^ c'est-à-dire le nombre de périodes (*) et la fraction (k^ « période écoulées depuis l'origine des temps jusqu'au moment où X< mobile est parti de A.
La vitesse v du point en mouvement est
2tcA . ft \
2zA
OU, si Ton pose — - — =«,
V =asm2ic
(*) On fait généralement abstraction du nombre entier de périodes, co na''^ bre ne changeant pas la valeur du cosinus, laquelle dépend seulement de ^' Traction résiduelle.
INTERFÉRRNCES DU SON. — TRADUCTION ANALYTIQUE DU PRINCIPE. Hi
Si Ton cbaogeait Torigine des temps de manière à augmenter de -le produit aie-, les sinus deviendraient des cosinus, et réciproquement. Les deux formules qui représentent, Tune le déplacement, Taulre la vitesse, sont donc tout analogues. L'usage est d'exprimer le déplacement par un cosinus et la vitesse par un sinus, mais c'est pure convention.
La vitesse variant d'un instant à l'autre pendant toute la durée de la période, Teffet mécanique du mouvement vibratoire, autrement dit l'intensité, se mesurera parla force vive moyenne pendant la période, c'est-à-dire par l'intégrale des forces vives pendant le temps T divisée par x. Comme le milieu est supposé partout le même, la masse est constante, et par conséquent l'intensité est proportionnelle à
a^ I I — cos4iç( - — 9)
=7 / yL—Ldt
Ainsi l'intensité a pour mesure, à un facteur constant près, le
^^rré de l'amplitude.
Combinaison de deux mouvements vibratoires de même période.
^i deux mouvements vibratoires parallèles et de même période superposent en un même point suivant une même direction (ou ivant des directions peu inclinées), les vitesses des mouvements mposants étant à chaque instant représentées par
sf=as\n2T:
et
i'' = a'sin2ic
la vitesse du mouyement résultant,
V = i» + ^' = (a cos aiTf -h a' cos aic^') sin 2ir — (a sin 27:9 4- a' sin aicf ') a
sera donnée par une expression de la même forme
V=Asin2ir
=Acos2Tc<^sin 27: — Asin2T:<&cos27c-;
car on peut toujours poser
A cos 27ç<I> = a cos 2i:ç H- a cos 2x9'
et
Asin2ir$ = asin27C9H-a'sin2ic9'.
Si, en eiïet, on élève ces deux expressions au carré et qu'on les ajc on a
A^ = a^ -H a^ H- 2aa cos 2z {9 — ©') ,
équation donnant toujours pour A une valeur réelle. Si Ton divise la deuxième parla première, il vient
-, a Sin 2i:ç -h a Sin 2rç ° a COS 2x9 H- a' cos 21:9' '
et il existe toujours une valeur réelle de <^ satisfaisant à celte é tion.
Le carré de Tamplitude étant proportionnel àTintensité, A' être regardé comme mesurant Tintensité au point consi( et Ton voit que cette intensité dépend de la différence de j que les deux mouvements composants offrent en ce point ; est
maximum, si cos2i:((p — 9')=+ i ou <p — <p'= — ,
2À4-1 minimum, =— i = ,
Aélant un nombre entier quelconque 0,1,2,3,...
L'intensité est maximum ou minimum suivant que la diGTérence de phase est un nombre pair ou impair de demi-périodes.
Les deux mouvements qui viennent se superposer en Q (fig. 4^) âl époque t sont ceux qui existaient respectivement en A et B aux époques f — ^ret f — ç't; (? — ?')': est la différence des temps que les jiiouvements composants ont employés pour arriver en Q. Au lieu des temps écoulés, exprimés en périodes, on peut considérer les chemins parcourus, mesurés en longueurs d'onde. Si, dans Texpression
nous remplaçons t par sa valeur tirée de Téquation fondamentale
X^Vt, nous aurons
«n désignant par r le chemin V^o parcouru depuis Torigine du **5ïnps, le retard; la vitesse peut donc encore s'écrire
«sin..(^-0
'^ vitesses des deux mouvemenls interférenls seront alors
iina.(^-y.
asm
a sin27c( — T- 1 ;
\t a/ VioLu, Coun de physique, — II. 8
iU ACOUSTIQUE.
et ToQ verrait aisément que la vitesse du mouvement résultant peu se représenter par
Asina::! — - |, rintensité de ce mouvement ayant pour mesure
A*=a*4-a'^-h2aa'c0S2Tr-,
si l'on appelle 8 la différence de marche r— /-'des deux mouvements et le retard R étant défini par Téquation
lg2ir-- =
-j asin 2ir--ha sin 21:--
a COS 27U - -h a' COS 27: —
L'intensité résultante sera maximum ou minimum suivant que To aura
ou
c'est-à-dire suivant que la différence de marche sera un muitif^ pair ou un multiple impair de la demi-longueur d'onde.
Si les intensités des deux mouvements composants sont égaler' a = a\ l'intensité maximum du mouvement résultant vaut quatfl fois chacune des intensités composantes, l'intensité minimum er nulle.
On retrouve les résultats connus.
Règle de Fresnel. — Si l'on avait à composer dans un plan deiii forces a et a passant par un même point et faisant avec une droiC
donnée les angles 21:9 (ou2i:r) et it:^' (ou ^iç— 1, la résultant
serait précisément déterminée en grandeur et en direction par les
deux équations qui définissent A^ et tg9.T:^(ou tgctr.—). 11 y a là
une analogie remarquable, sur laquelle a beaucoup insisté Fresnel :
si Ton représente chaque mouvement vibratoire par une droite de
longueur a, menée sous l'angle 2irç (ouair-j, la règle pour
composer deux mouvements vibratoires d'amplitudes et de phases (ou de marches) données est la même que la règle pour composer deux forces de grandeurs et de directions données : c'est la règle d'addition des vecteurs.
Tout mouvement vibratoire rectiligne peut de même se décomposer en deux autres ayant des phases quelconques.
Parmi tous ces modes de décomposition, il en est un que nous
Fig. 60
devons signaler dès maintenant, parce qu'il est d'un fréquent usage c'est celui qui consiste à remplacer le mouvement proposé par deux autres,
l'un de phase o (ou de retard o) et d'amplitude acosazr,
l'autre de phase 7 f ou de retard -^j et d'amplitude a si
sin2irr- :
il suffit de jeter les yeux sur la figure ci-contre, comme d'ailleurs sur l'expression i'^asin ^^l :-"r)> po"^ voir que la vibration proposée OP équivaut en efifet à ces deux vibrations OQ, OR.
La généralisation de la règle de Fresnel est évidente, tout ce <|uenous avons dit de la composition de deux mouvements s'étendantde soi au cas d'un nombre quelconque de mouvements.
Interférence des ondes sonores dans un tuyau limite'. — Il ne sera
pas inutile de reprendre analyiiquemeni Téiade de la superpo du mouvement direct et du mouvement réfléchi, examinée déji haut. Pour simplifier le calcul, et en vue des applications rieures, nous considérerons une onde plane émise à Torifiee tuyau de longueur L : cette onde se propage jusqu'à Textrémi tuyau, s'y réfléchit comme nous Tavons vu (350), et revient se s poser à Tonde directe résultant du mouvement entretenu à rori
Examinons d'abord le cas d'un tuyau fermé.
En un point quelconque de la tranche située à la distance fond, les vitesses des deux mouvements concourants sont, ab$ lion faite de la diminution de l'amplitude dans le meuve réfléchi ,
a sin 1 et
— a sin a
<--i^Yy,
et la vitesse du mouvement résultant, égale à la somme des vil des mouvements composants, est
X ft L\
f^aa sin2r — C0S2z — —1.
Cette formule montre que :
i"" A une époque quelconque, v est nulle aux points pour lesi
sin2::— =0, ou :r = A'-,
h étant un nombre entier quelconque. On a donc une série de m fixes aux distances du fond
(>) Oa obtient également cette formule, soit que Ton considère le cl géométrique L + -r parcouru par l'ébranlement réfléchi et qu*on tienne c( du signe — de la vitesse de cet ébranlement, soit que Ton considère le cli
physique L4'-r4-- sans s'occuper d'aucun changement de signe.
2* Pour une valeur quelconque de t^ v est maximum en valeur absolue aux points tels que
Sin 27: — =rd: I, ou X:={lk A- l)-,
Ainsi il existe une série de ventres fixes, échelonnés aux points
el les vitesses sont, à un même instant^ de signes contraires en deux ventres successifs, et plus généralement dans deux internœuds consécutifs, les changements de signe se faisant aux nœuds.
3* Pour une valeur donnée de a*, la vitesse est une fonction circulaire du temps dont la période est partout égale à t et dont la phase est indépendante dex : les vitesses sont donc nulles ou maxima en même temps sur toute la longueur L.
La condensation 7 au point x est
(lu
■< étant le déplacement du point considéré. Or
du
d'où
Don(
11 = 2a Sin 2TC— Sin 27:1 — — )•
