II. — VIBRATIONS TRANSVERSALES
377. Théorie. — Le problème des vibrations transversales, attaqué déjà par D. Bernoulli ('), a été résolu pour la première fois par Euler (') ; il fut ensuite repris et développé par Riccati (*), Cauchy(^), Poisson (®), et plus récemment par Slrehlke ('), Lissajous (•) et Seebeck (*).
Quand une verge élastique est fléchie perpendiculairement à sa longueur, les forces élastiques longitudinales^ développées dans chaque section droite de la barre, contrebalancent à Tétat d'équilibre Teffet des actions transversales (loi), et déterminent avec celles-ci à l'état dynamique le mouvement de la verge.
Prenons pour axe des x la direction du filet moyen de la verge en repos, et pour axe desj^ la perpendiculaire en un point de cette droite dans le plan de flexion. Supposons toujours l'épaisseur de la verge petite par rapport à sa longueur et bornons-nous à de petites déformations : le mouvement sera alors le même pour tous les points d'une même section droite, et il suffira de considérer le filet moyen; chaque point x de ce filet oscillera suivant une petite droite perpendiculaire à la direction naturelle de la fibre moyenne, r sera l'écart à l'époque /. Considérons le. prisme élémentaire li-
('; Pour étudier les vibrations longitudinales d'une corde il est bon de remplacer les chevalets du sonomètre par des mâchoires garnies de plomb, afin de limiter plus exactement la longueur de la portion en mouvement.
;*) D. BcRNOULLi, Comment, Acad, Petrop.y XIII, 186; 1741.
(*; EcLEB, Act. Aead. Peirop, pro anno 1779 ; pars 1, 103.
{^) Riccati, Memorie di mat. e fis. délia Socicta Itnliana, I, 484, Vérona; 1782.
(•; Cacchy, Exercices de mathématiques; 1827.
*, Poisson, Mémoires de l'Institut; 1828; et Traité de mécanique ^ 2« éd., Il, 368; 1833.
(\, Streblke. Pogg, Ann., XXVH, 505, et XXVIII, 512; 1833.
(•) Liss\Jous, Aitn. de chim. et dephys.y (3), XXX, 385; 1833.
(»; A. Srkbrck, Abkand. d. math, phys, Clas. d, k. Sachs. Gesellsch. d. \Vt»gensch., 133. Leipzig; 1849.
mité par les deux sections droites x et x-¥dx\ le mouvemeal transversal de ce prisme est réglé par l'équation
/p+^rfx) = SDrfx
ou
P étant la force élastique tangentielle (force de glissement, eGTort tranchant) dans la section x, S Taire de cette section que nous supposerons uniforme tout le long de la barre, et D la densité de la matière constitutive de celle-ci.
Pour déterminer la force P, appliquons le théorème des moments (58) par rapport à un axe perpendiculaire au plan de fleiion et passant par le centre de gravité du prisme élémentaire. La somme des moments des forces P est —Vdx. Le moment des forces élastiques
E\ longitudinales pour la section x est -rr- (*), E étant toujours le coefB-
cient d'élasticité du corps, I le moment d'inertie de la section fr^dS^ et R le rayon de courbure de la verge au points, dont l'inverse peut être
pris égala T^; pour la section voisine ce sera E\ (t^-+--7-^ dx\^
dW et pour les deux ensemble El -r^^ dx. On a donc
(*) Nous avons trouvé en effet pour moment de ces forces dans le cas d'une barre prismatique (i51)
(-) Nous négligeons ici, au deuxième membre, le terme ID , ^ ^, provenant de ,
rinertie due aux petites rotations alternatives des sections transversales de k veige que Taxe en se courbant incline en des sens alternativement oppoiéi. inertie du même ordre que les quantités négligées plus haut.
OU
P=^lgc)- N
Ed portant cette valeur dans (i), et en posant
«'— TT {a vitesse des vibrations longitudinales)
et **=^ô (* rayon de gyration de la section autour d'un axe mené
par son centre de gravité perpendiculairement au plan de flexion),
on obtient Téquation des verges vibrantes
Cherchons si un mouvement pendulaire d'amplitude variable u peut satisfaire à cette relation ; posons en conséquence
= MCOsf -p/wV+ej, (4)
L étant la longueur de la barre et m un nombre abstrait qu'il s'agit de déterminer. En portant cette valeur de j dans (3), on a
l = T-iu. (5)
dx'^h
Si u-=:e^ L est une solution particulière, p est une des quatre ra-
[^) C'est le théorème fondamental pour l'étude de la résistance des matériaux :
\ U force tangentielle totale dans une direction transversale quelconque est
égale à la dérivée, par rapport à la coordonnée longitudinale, du moment de
flexion autour d'une droite tracée sur la section perpendiculairement à cette
direction.
cines quatrièmes de Tunité, 4- 1, — i, 4-1, — i; la solution complète est donc
mx mx
i£=zacosm|- 4-psin my-i-Y^ L -Hîe i. , (6)
ou, si Ton introduit les cosinus et les sinus hyperboliques ('), et si Ton pose pour abréger j:'=: m -p,
i£=iA(cosa'4-cohjr')4-B(cosx — cohx')4-C(sina/-hsihj::')4-D(sinj:' — sîhx'>
L'expression de u contient donc quatre constantes, les trois rap-
ports -j-, j, -j-, et m, que détermineront les quatre conditions initiales (deux à chaque bout).
Nous examinerons successivement les six cas qui peuvent se présenter suivant que chaque extrémité est libre^ ou ^j:ee (encastrée dans une paroi inébranlable, à laquelle elle reste constamment perpendiculaire), ou appuyée (butée contre un obstacle qui ne gène point sa flexion).
1** Les deux bouts libres, — Sur une section libre le moment
d'élasticité -rr- est constamment nul et aussi la force de glissement P:
on doit donc avoir à toute époque -y— — o et -^ — o.
Par conséquent, il faut d'abord que, pour j:=:o, -j—^—o et -7— j— o,
ce qui exige que B — o et D = o, de sorte que l'équation (8) se réduit à
u = A (cos X 4- coh x) 4- C (sin x' 4- sih x ) .
(*) Ces fonctions sont définies, comme Ton sait, par les équations
C0hx=z:-(c'^4-tf""^),
sihx=z:-(^ — <?■"•*),
d*où la relation fondamentale
Coh'.r — 8ih'a^:=i.
Il faut en outre que -j-j et -7-3 s'annulent encore pour x=il ou pour x' = 7n, ce qui donne (*)
A(— cos7n4-cohm)4-C(— sinm-i-sih m) = o, A( sin TH-H sih m)4-C(— cosm-hcoh m) — o,
équations dont la compatibilité exige que
(coh m — cos my = sih* m - sin *m , ou
cos m coh m— I. (8)
Telle est l*équation qui détermine les valeurs de m convenant à
la question (^).
Si cette équation est satisfaite, les deux équations de condition
fournissent pour le rapport . une seule et même valeur qui,
substituée dans l'expression précédente de u, donne (à un facteur constant près. H)
, , / mx , mx\ . . ., . / . mx ., mx\
= 'cosm — cohm) ( cos-y-4-coh-y- 1 -+-(sinm4-sih m) Isin-T-rhSin -7" I;
et la solution harmonique simple cherchée est, avec celte valeur de i^,
j^HMCOs^pm^f + ej. (9)
> Nous rappellerons que
-7-coh.r = 8ih j:, -r-sihxzireoh.r, iix dx
-3-5 coh x= coh X, -T-jsihxr^sihx,
et ainsi de suite.
(*; Poisson, \qc, cit.
Le nombre des vibrations de ce mouvement esl
N= — nrn\ (lo)
Ainsi,
I** Une verge libre aux deux bouts peut rendre une série de s< dont les nombres de vibrations sont entre eux comme les carrés des nombres définis par Féquation (8). Les valeurs de m satisf"^ sant à cette équation étant
(3,01 1)^, (5,ooo)^, (7^000)^' (^"-+-0;^
les sons considérés varient à très peu près comme les carrés des nombres impairs successifs :
cette loi étant d'autant plus approchée que Tordre n du son est plus élevé ;
2** Un son d'ordre donné est inversement proportionnel au carré L*de la longueur de la verge, directement proportionnel au rayon de giration b et par conséquent à l'épaisseur (ou au diamètre) de la verge et indépendant de la largeur, directement proportionnel enfin à la vitesse a des vibrations longitudinales dans la substance considérée;
3** Les nœuds sont placés aux points x pour lesquels m=zo (*), c'est-à-dire, sur une barre de longueur i, aux points
Son. Nœuds.
1 0,1 32 o,5oo o,8G8
(*) Les points de recoupement ne coïncident pas avec les points d*inflexion, lesquels correspondent aux nœuds de la barre fixée-fixée; mais, sauf pour les nœuds extrômes, les deux sortes de points sont très voisins.
Dès que le son est d'ordre n un peu élevé, et quand le rang k des nœuds est supérieur à 3 et inférieur à w — 3, c'est-à-dire pour toute la région moyenne de la verge, les nœuds sont également espacés et la distance de deux nœuds consécutifs est, la longueur L de la verge remise en évidence,
Les ventres, en dehors des extrémités o et i, sont placés aux points où u est maximum :
S«io Nœuds.
[ » o,5oo (où l'amplitude est 0,608, rexcursion aux extrémités étant i)
f 2 o,3o8 et 0,692 (où Tamplilude est 0,664)
'^ 0,220 0,780 (où Tamplitude est 0,935) et o,5oo (où elle est moindre).
2' Lps deux bouts fixés. — La fixité d'une extrémité est définie par
(Iy les deux conditions j>' — o ety-~o. Quand l'extrémité était libre
nous avions j" — o et-r — -o, 7' satisfaisant d'ailleurs à l'équation
diflërenticUe (3). Le cas actuel se ramène donc immédiatement au précédent. La même équation
cosmcoh/;i=r I (8)
règle la succession des nombres m^ dont les carrés déterminent la suite des sons que peut rendre la verge; on a donc encore très sensiblement, sauf pour le son fondamental,
Les nœuds, en dehors des deux extrêmes coïncidant avec les bouts mêmes, sont placés comme il suit :
Soa. Nœuds.
'A o,5oo
4/1 H- 2 4'ï-f-a 4«-Ha 4/H-a 4/1
La distance de deux nœuds consécutifs vers le milieu de la verg rendant un son d'ordre un peu élevé, est encore
3° U?i bout libre, tin bout fixé, — Les coefficienls A et C s'ai nulant alors, ti prend la forme
(fïtJC JH3C\ . / . TttJC
co%—, coh-^ j -h(?in m — sih m) ( sin -y- — sît
et j peut encore être représenté par un mouvement harmoniqi simple (9), m étant défini par Téquation
cosmcoh m=i— i.
Les racines de cette équation étant
-^ J^ "S Aé
les différents sons que peut rendre la verge, à l'exception des dŒ premiers, sont encore entre eux sensiblement comme la suite c: carrés des nombres impairs,
Mais le son fondamental de la barre libre-fixée est au sfondamental de la barre libre-libre ou fixée-fixée, comr (1,194)' : (3,oii)^— I : 6,36, soit plus de deux octaves et denï au-dessous.
(1) Si la barre n'était pas suffi sam ment mince, Tinertic rotatoire pourr amener un abaissement sensible des sons élevés ; la hauteur exacte étant
I — ( /7i-| — j- ) "n » ^® terme en r-^ ne serait plus négligeable po
les grandes valeurs de m (Lorc
Rayleigh, \oc, cit., I, 239).
Les nœuds, en dehors de rexlrémité fixe, se placent aux distances suivantes du bout libre :
Son.
3 0,1 32 o,5oo
Nœud*.
Quand le son est élevé, vers le milieu do la barre les nœuds sont ^qiiidistants de
i* Vn bout libre, un bout appuyé. — Dans ces conditions, la verge ^^ comporte comme une demi-verge libre aux deux bouts vibrant '^'^«tvanl un mode pair, avec un nœud au milieu.
'^'^ Un bout fixé., un bout appuyé. — Les vibrations de la verge * ^'^l alors les mêmes que celles d'une demi-barre fixée aux deux ^^Uts, vibrant avec un nœud central.
^^^ Les deux bouts appuyés. — Les conditions analytiques qui tradui-
■"^nt Tappui sont j = o et y^— o, le moment d'élasticité devant
nul sur la tranche extrême. Il en résulte d'abord A — o et ■^ o, puis C — D = o, et sin m — o\ de sorte que la solution, la ^^^ile qu'Euler ait établie complètement, est
,, . ni:x j n^Trab \ y =Hsin-î — cos( — p— ^— e]
't étant un nombre entier quelconque.
La verge présente alors les formes d'une corde vibrante, se par- Ugeant en n segments égaux qui vibrent à l'unisson:
Mais la loi de succession des sons est différente, les nombres d vibrations variant comme les carrés des nombres entiers cons4 cutifs,
Loi de Lissajoiis. — Quelles que soient les conditions aux exln mités, si Ton compare, pour les sons d'ordre un peu élevé, \ nombre N des vibrations à la dislance D des nœuds intermédiaire
on a
Chaque intemœud vibre comme ime lame de même longueur dot les deux extrémités seraient appuyées; et le îiombre des vibration toutes choses égales d'ailleurs, est inversement proportionnel au car\ de la distance D entre deux nœuds consécutifs {^),
L'influence des extrémités ne s'exerce donc pas sensiblement si la partie inlermédiaire de la lame, qui se comporte de même dai tous les cas.
Propagatioîi du mouvement transversal dans une verge. — Toi en négligeant des quantités sans importance, nous n'en avons pj moins rencontré dans la théorie des vibrations transversales d( verges une complication plus grande que dans la théorie dt vibrations transversales des cordes. La raison de Textrême simpl cité de celle-ci réside, comme le fait remarquer lord Rayleigh (* en ce fait que les ondes du type harmonique se propagent dai la corde avec une vitesse indépendante de la longueur d'ond< de sorte qu'une onde quelconque y voyagera sans altération. Dai les verges, la constante de Téquation différentielle (3) ne représeni plus une vitesse.
Soit un mouvement harmonique
(*; LissAJous, /oc, cil, y 408.
(-) Lord Rayleigh, loc, oit,, I, 246.
oii, la vitesse étant mise en évidence au moyen de la relation fondamentale X=Vt {*),
mouvement transversal entretenu à Torigine, et se propageant dans la verge sous la forme d'un train d'ondes identiques. Pour "satisfaire à Téquation (3), ce train doit marcher avec la vitesse
"•Versement proportionnelle à X.
Une onde complexe, formée de la superposition de plusieurs
'•Mouvements simples, se déformera donc en se transmettant. Soient
l^càr exemple deux mouvements vibratoires de même amplitude et
^^ longueurs d'ondes très peu différentes, se propageant ensemble
*'<^ns un même milieu,
rJ T-j4-C0S2x(-, — r-,)=COST^(V/ — ^)4-C0S^(V'f — x).
Ite équation pouvant s'écrire
^> ^=2 ces
■^ \oit que la progression simultanée de ces deux mouvements harniques se présente comme un train d'ondes de même période
* • ^=2 7, de même longueur d'onde X, — 2: — ^, mais d'ampli-
'^^^câcs oscillant lentement entre o et 2, de sorte que le train entier ^^^ formé d'une série de groupes séparés par des intervalles rclati- ^ ornent libres (battements). Dans une corde vibrant transversale- '^^Gïîl, comme dans un cylindre élastique vibrant longiludinale- ■•^Oïii^ X varie proportionnellement à t, et les différents groupes
' * ) Dans cette relation, qui esta proprement parler la défînilion de a, on doit
^^gîirderla période t comme donnée (c'est la caractéristique du son considéré),
^^ ta. vitesse de propagation V comme une fonction de t et par suite de X:=Vt.
fc
avancent avec la même vitesse que le train lui-même. Il n plus de même dans une verge animée de vibrations transvc dont la vitesse de propagation est fonction de la longueur ( La position au temps t du milieu du groupe qui se trouvait lement à Torigine est donnée par Téqualion
la vitesse du groupe est donc
ou, d'après la relation fondamentale t~t7
Sidonc V.-:K>-'.
(') D'une manière générale, si la vitesse du Irain V varie comme X", li du groupe est
A la surface d'une eau profonde oîiV = IvX:, U=-V. On a remarqué
depuis longtemps que lorsqu'un groupe d'ondes avance sur l'eau, la vi groupe est moindre que celles des ondes qui le constituent : celles-ci pa avancer à travers le groupe, s'éteignant quand elles approchent de se Le tableau suivant, emprunté à lord Haylcigh, résume les cas particu plus intéressants.
lîr <> Mouvements pendulaires (Reynold, iVafwre, 23 Au l'=-V Ondes liquides pesantes.
U-V Ondes aériennes.
r =- V Ondes liquides capillaires { W. Thomson. P/ii7. Mag. N
Ui:^2V Ondes de flexion.
Vr
KX
KXÎ
Ka**
Vr
-Ka-^
KX-'
378. EiXpérienoes. — Les vibrations transversales des verges ont été étudiées expérimentalement dans chacun des cas distingués |ilus haut.
i" Les deux bonis libres, — Poisson, ayant trailé spécialement ce cas, détermina le rapport des sons fondamentaux rendus par une verg:e libre aux deux bouts et vibrant d'abord transversalement, puis longitudinalement, et il pria Savart de mesurer expérimenta lement ce même rapport.
Voici le calcul très simple de Poisson.
Le son fondamental d'une verge vibrant transversalement est
-^ (3,oi 1)7:'' ab
Pocin une verge rectangulaire d'épaisseur a et de largeur //, h^ ouest égala — :he— — : donc />——=. Pour une verge circulaire
»^ <iiamètre e, A^ — -^: '^^— . ; doncA --.
tiie \erge rectangulaire vibrant transversalement rend donc le son fondamental
INj ~ i,o:>.o -p, ^ 'iiic? verge circulaire
"-^ <àilleur3 pour toute verge vibrant longitudinalement le son '^'^^aiïiental est
'^ a donc
eV
Nt .^. e
Savart a mesuré le nombre des vibrations longitudinales sur des verges de près de i mètre, et en a conclu le nombre des vibrations longitudinales et par suite celui des vibrations transversales qu'effectueraient ces mêmes verges réduites au i/8 de leur longueur et il Ta comparé au nombre des vibrations transversales qu'accomplissaient effectivement ces verges réduites au i/8. Nous transcrirons seulement deux des sept résultats ainsi obtenus :
a) Verge parallélipipédique en lailon
L^^^^^ err:3T92 N,.=i34i33 NTcalculé2668, observéadô';.
b) Verge cylindrique en laiton
L=: i^ e = 4°',"'8 N,= .lii33 N;calculé2829, observé a844
Antérieurement, Chladni avait observé les sons successifs rendias par une même verge (donnant comme son fondamental ut^i quart <1 elle était fixée par un bout et libre à Tautre); et il avait trouvé les notes suivantes, dont les nombres de vibrations sont entre tvn comme les nombres placés au-dessous :
S0L2 ^ ré^ /r» sL\^ fa^ -h ,siç . . . 32 52 f 1)2 ,j2 ,32 . . .
L'intervalle soL^% : w/,=ti,2j diffère peu du rapport théorî<l^^ 6,36. Quant à la série des sons successifs observés par Chl^^^^ elle est exacte à partir du deuxième terme; le premier terme ^^ est un peu faible : 3^ ou 9 au lieu de (3, 01 1)^ ou 9,066.
Ces déterminations ont été reprises par M. Mercadier (*) à ■- "^ ^ de la méthode graphique qui lui a permis de vérifier les lois-
tenues dans la formule N^K-p, où K désigne une constante
la valeur théorique est 102,78 V. Pour Tacier K vaut en 532 000 (le centimètre étant Tunité de longueur).
C) Les vibrations de la lame étaient entretenues électriquement c celles du diapason chronographique (Mercadikr, Journal de physique, { i89; 1884).
VERGK5 VIIIHANTES. — EXPÉRIENCES. 209
Sirelilkc et Lissajous ont mesure avec soin la position des nœuds. .Nous citerons, h titre d'exemple, les nombres relevés par Lissajous siirime lame de laiton longue de 5oo millimètres et portant à sa surface une division millimétrique très soignée. Comme on obtenait la itishiice D de deux nœuds moyens conséculifs en prenant l'inti^mlle de deux nœuds éloignés et en le divisant par le nombre des inUrnœiids, cette distance s'est trouvée d'autant plus exactement détermioée que le nombre des nœuds était plus grand. La dislimcË d, du nœud le plus voisin de l'extrémité à cette extrémité même était mesurée directement aux deux bouts, ainsi que la dis- Uncedu nœud suivant à l'extrémité : on en a déduit par sous- Iriction la distance rf, du premier nœud au deuxième. Dans la prenitre colonne est inscrit le nombre des nœuds, égala n + t, A itant toujours le rang du fon.
iii.C
7<i.ll
Hi,3
G(i,ti
'*'"r soutenir la verge dans ces expériences, on la fait reposer
^^tJx lignes nodales sur les arêtes de deux couteaux en liège. ***pportent de lourds pieds en plomb doublés de drap; et on
Vi&LLt, Cour) rie physique. — II, 14
2i0 ACOUSTIQUE.
la maintient en appuyant du doigt au-dessus dé Tun des cou teaux. La verge est attaquée de champ à ce bout avec un archel ou frappée en un ventre avec un petit marteau; et si l*on a prQ jeté à la surface un peu de sable, selon la méthode de Chladni, o le voit se rassembler sur les lignes nodales et les dessiner nett< ment, ce qui permet d'abord de rectifier, au besoin, la posîtio des lignes d'appui, lesquelles doivent coïncider avec des nodaU pour ne pas contrarier le mouvement de la verge. 11 est ensuit facile d'effectuer les mesures voulues.
2® Les deux bouts fixés, — Chladni avait reconnu que les son émis par une verge fixée aux deux bouts sont absolument les même que si les deux bouts sont libres, malgré la grande différence dei courbures. Lissajous mesura les dislances des nœuds pour les dixsept premiers sons et les trouva tout à fait conformes à la théorie, quand il eut pris soin d'encastrer complètement chaque extrémilc dans un bloc de métal terminé par une face plane normale à la lame (*).
3° Un bout librey un bout fixé. — Chladni donne pour ce cas h suite des sons :
ut^ ,
ré^
ou
ou
Théoriquement, les sons à partir du troisième se succèdent ei efl'et comme les carrés des nombres impairs, le son fondaiiienta étant (1,194)^ et le deuxième (2,989)^
Pour déterminer les nœuds, Lissajous plaçait la verge horizonla lement, l'une des extrémités fixée comme précédemment, tandi qu'un chevalet de liège soutenait la lame suivant une ligne nodale il pouvait alors attaquer l'extrémité libre à l'archet, et il constata que les nœuds intermédiaires occupent les mêmes places que dan les deux cas précédents. Les nœuds extrêmes sont l'un au bout fixé
(M L'archet ne peut plus alors attaquer la lame que par côté, ce qui tend produire des vibrations tournantes. Il y a là une difficulté qui arrête mëa entièrement, si, par hasard, les lignes nodales du son que Ton veut produi se confondent avec les lignes nodales transversales de l'un des modes * vibrations tournantes.
VERGES VIBRANTES. — VIBRATIONS COMPLEXES, CALÉIDOPHONE. 21i
Tautre à une distance du bout libre égale à celle qui Ten séparerait sur une lame entièrement libre et de pareille longueur; les deuiièmes nœuds sont à mêmes distances des extrémités voisines ; au delà, les nœuds sont également espacés.
4* Un bout libre, un bout appuyé. — Une verge libre-appuyée équivaut à la moitié d'une verge libre-libre vibrant avec un nœud au milieu.
Cblûdni trouve en effet :
SJjb
Sl^
rét$ +
/flj . .
le 80Q fondamental étant à celui de la même verge libre-libre comme P:6^; le rapport exact est 5^ : 2^ (3,oi 1)^.
De son côté, Lissajous a vérifié que la position des nœuds est la même que dans une lame libre aux deux bouts et de longueur double. La condition de Tappui est pratiquement assez difficile à réaliser: il pressait la lame contre un mur en interposant un liège d'un centimètre d'épaisseur.
5* Un bout fixé, un bout appuyé, — L'expérience a de même prouvé qu'une verge fixée-appujée se comporte identiquement comme chacune des moitiés d'une verge fixée-fixée de longueur double i^ nœud médian, et par conséquent donne les mêmes sons et présente les mêmes nœuds que libre-appuyée.
^*Les deux bouts appuyés. — Ghladni a confirmé dans ce cas les fésullats de l'analyse d'Euler, aussi bien quant à l'cquidislance des nœuds que quant à la hauteur des sons, pour lesquels il obtint la ^rie suivante :
/«il M» ^^At .M# ^^c ^< • • • »
^n remarquant que le son fondamental est à celui du premier cas comme 2* : 3*.
379. Vibrations complexes ; ealéidophone. — Les vibrahons d'une verge ne s'effectuent généralement pas dans un plan ;
mais son mouvemeat peut être coDsidéré comme résulb superposition de deux luouTements vibratoires rectan obéissant aux lois que nous venons d'établir. Wbealstone l'on doit la découverte de ce fait, employait un appareil t nieux et très simple, le caléidophone (xxXs; beau, ttSo; f fuv^ voix), série de verges implantées verticalement d planchette solide, et portant à leur extrémité supérieure u sphère (perle étamée, boule d'acier poli) sur laquelle la forme un point brillant. Vient-on ik ébranler une de cet son point lumineux dessine une courbe qui semble cot qui, en général, se déforme graduellement d'après une 1 minée. Avec des verges longues et déliées, favorables x supérieurs, des sinuosités variées se superposent à la coui cipale et donnent des effets curieux. Mais c'est cette courl qui est particulièrement intéressante; nous l'étudierons au prochain chapitre.
380. Instruments & verges. — Les verges libres i bouts se rencontrent dans un instrument fort primitif, le bois, série de planchettes nb, a'b', de longueur et d'^
convenables, soutenues aux nœuds du son fondamental ficelles cd, c'd', ou des tresses de paille (il prend alors le violon de paille), et que l'on frappe avec une baguette
(') Whiatstune, Quarterty Journal of science, 1; 1827.
par un tampon élastique. La vogue fut quelque temps aux carillons^ aux harmonicas, constitués de même par des lames de métal ou de verre ; Mozart en avait introduit un dans la Flûte enchantée pour imiter le son des cloches. Nos orchestres emploient encore, sous le nom de triangle^ une longue verge rendant par percussion une abondance de sons supérieurs.
Le violon de fer est un instrument formé de tiges de fer fixées à leur partie inférieure sur une caisse d'harmonie, libres à leur partie supérieure, et dont un archet habile peut tirer des sons acceptables. Les a;icA^5 appartiennent à ce genre de verges, que Ton trouve également dans les boites à musique.
Mais Tapplication la plus importante des verges vibrantes est \t diapason,
881. Diapason. — Le diapason est une Tourche métallique à queue faisant corps avec les branches (et non rapportée). Les
Fig. lof)
deux branches sont égales et vibrent à Tunisson; chacune d^elles se comporte sensiblement comme une verge libre à un bout et fixée 1^'' l'autre, ce bout fixe étant la région où la branche considérée
s^ppuie contre sa jumelle par l'intermédiaire de la partie
courbe (*).
I^ hauteur du son fondamental est donc indépendante de la
(') Cette manière de voir n'était pas celle de Chladni, qui regardaîtle diapason
I comme une verge libre aux deux bouts et simplement repliée sur elle-même ;
OMis It loi de succession des sons supérieurs (von Helmholtz) et le nombre
absolu des vibrations du son fondamental (Mercadier) montrent que l'assimi-
latioD de Cbladni n'était pas exacte.
largeur (nous appelons toujours ainsi la dimension perpendic au plan de vibration), proportionnelle à l'épaisseur e, et en inverse du carré de la longueur L,
K désignant une constante (^), égale pour Tacier à environ 8 Tunité de longueur étant toujours le centimètre.
Les sons supérieurs se succèdent suivant la loi précéden établie :
En même temps, le diapason présente les systèmes de nœi de ventres indiqués par les figures ci-contre. Quand le diaj
Fig. 107
rend le son fondamental, on a un nœud au bas de chaque bra au bout fixe de la verge; et le tronçon situé entre ces deux d<e compris la queue qui fait corps avec lui, vibre à Tunisson des ches. Le premier son supérieur correspond à la présence de nœuds (^) sur chaque branche; et ainsi de suite.
(*)Dans cette formule, L doit être remplacé, d'après M. Mercadier, par 1 / étant la projection de la ligne médiane d'une branche sur le plan de trie de rinstrument (Mercadier, C. R., LXXIX, lOOi et i069; 1874).
(»)En général, Kzz:0,i64 V.
(^) Chladni avait déjà reconnu que le premier son supérieur, dont déterminé la hauteur, correspondait à un nombre total de 4 nœuds, et système de 3 nœuds faisait défaut.
Les SODS supérieurs ne sod( pas absolument conslanis. Ils varient uo peu selon la forme du diapason. Sur difTérents diapasons, M.TyodalI trouve pour le premier son supérieur des valeurs comprises entre 5,8 et 6,6. Deux diapasons, en apparence identiques eteiactement à l'unisson quant au son fondamental, donnent en féninl des battements (386) sur le premier son supérieur, battements que Ton perçoit nettement si, après avoir ébranlé chaque diipason de manière il lui faire rendre simultanément les deux sons{'), on le touche en un nœud du premier son supérieur, qui alors subsiste seul. Quelles que soient ces petites variations, les »ns supérieurs s'élèvent très vite, et l'oreille les distingue aisémenl du son fondamental, beaucoup plus intense ('). Ils disparais- KDt d'ailleurs promplement, et au tintement initial succède bientôt UDSon simple, pendulaire, le son fondamental seul.
Le diapason esl ainsi le véritable étalon de baufeur musicale I3î7). Pour que la hauteur du son émis par un diapason soit abtolument déterminée, il est nécessaire toutefois que les oscillations restent très petites (pratiquement que l'amplitude ne dépasse pas te i/ioo de la longueur des brancbes), et que la température soit cDDstïnle. D'habitude les diapasons sont accordés pour la tem-
(') A est effel on attaquera le diapason à l'archet, alternat irem en t au bout el ■<■ milieu des brandies. L'expérience esl parlicuiiërement aisée avec un diapa- *""* branches minces, d'où l'on tirerait sans plus de peine le son Tondamen-
Welledeuùèmeson supérieur, ou même le son fondamental elles deux pre- ■ien Bons supérieurs, comme le montrent les traces ci-joints.
f'J On évite tout à fait le premier son supérieur, le seul habituellement senlible, en attaquant le diapason au point où ce son aurait un nœud.
péralure ordÎDaire (') : le nombre de vibrations d'ua diapast
d'acier diminue de 1/8943 quand la température s'élève de i*{K{
nig) ('). L'effet de la température consiste surtout dans la modifie
tion de l'élasticité, l'influence de la dilatation étant relativeme
Taible.
Si !e diapason est monté sur une caisse de résonnance, celle-i
peut altérer l'isochronisme et le nombre des vibrations. Cette alti ration se produit quand le ton propre du système renforçant ei très voisin de celui du d iapason. Alors le diapason, attaqué à 1» chet, fait entendre un son très fort, une sorte de cri, qui s'éteint In vite. Au contraire, quand le Ion propre de la caisse est aussi él» gné de celui du diapason qu'il peut l'être sans que la résonnaai cesse d'être sensible, le son du diapason est simplement renForci mais il ne subit aucune modification dans sa hauteur, et conser< une longue durée (').
L'isoclironisme des petites oscillations du diapason, à tempén ture constante, en fait un cbronogra|>be précieux (331). Dansl* applications chronographiques, il est souvent utile de maintenir! mouvement vibratoire qui de lui-même s'éteint assez vite. Kt' effet on se sert de l'électricité : Lissajous ('), qui le premier e<
{') Le diapason normal français a été établi par Lissajous Dvec jl5 " k iloutefoisil ne battrait exactement3es435"' qu'a li" 1/4, d'après Kœnig.CeC strucleur ajuale tous ses diapasons à ïo°.
(•; Ainsi pour «/i=64"', la varialion correspondant k 1° est— o'^.oo?'
{') Kœmg, toc. cit., 180.
(') Lissajous, Ann. de chim.Hdephyi'., (3), Ll, 147; lg57.
recours à ce procédé, disposait en face de chaque branche, munie au besoin d'un contact, un électro-aimant dont le courant était périodiquement rompu par un interrupteur vibrant, disposé de façon que sa période fût un sous-multiple exact de celle du diapason. M. von Helmholtz employa comme interrupteur un autre diapason de hauteur convenable. Actuellement on utilise à cet effet le diapason lui-même, et on ne fait plus usage que d'un seul électro-aimant intérieur: la figure ci-contrc représente Télectro-
Fig. 110
diapason de M. Mercadier. Dans cet emploi de Télectricité à Tentretieo des oscillations d'un diapason (*), il est essentiel que l'amplitude du mouvement vibratoire, ordinairement assez considérable, reste constante pour que l'isochronisme soit assuré. En tous cas, il est prudent dlnscrire, en même temps que les vibrations du diapason, Iw secondes données par une horloge astronomique, à l'exemple deRegnault (346) : on a ainsi un contrôle permanent de la marche du diapason.
Oq peut remplacer le pendule d'une horloge par un diapason. Cette disposition, réalisée d'abord par Niaudet (^), a été reprise par M. Kœnig (') en vue d'obtenir un diapason type dont '^hauteur fût toujours exactement connue. Pour avoir cette hauteur, il suffit en effet de comparer Yhorloge à diapason avec un chronomètre ordinaire. Supposons que, comme dans l'appareil de M. Kœnig, le diapason qui agit sur l'échappement de Thorloge et
>') Il convient de remarquer que le dispositif électro-magnélique doit toute soD efficacité à Textra-courant, à tel point que le courant peut n'être fermé que PCQdiQtquela branche du diapason se rapproche derélectro-aimant(LiPPiiANN, BttWrtmdes séances de la Société française de physique; 188;); p. 25 .
* NuuDET, C. R., LXIII, 991 ; 1866.
*]K(i2aG, Wied. Ann.,lX, 394; 1880; et Quelques exp&ienccs, 173.
en reçoit à chaque oscillation une légère impulsion, soit 64 vibrations doubles ; si Thorloge retarde de i* dans Tesp
c'est que le diapason bat t^- 64=63'^,928 par seconde
reil est d'ailleurs muni des pièces nécessaires pour sei comparer tel autre diapason que Ton voudra d'après la de Lissajous (347).
382. Coexistence des mouvements longitudi transversaux dans les verges. — Quand une verge taie vibre longitudinalemenl, le sable projeté sur sa ît rieure dessine des nodales auxquelles Savart (*) recc caractères suivants: i"" elles sont beaucoup plus nombre les nodales propres du mouvement longitudinal ; a"" le porte en glissant sur la surface de la verge et non en 3** elles alternent sur les deux faces opposées, de sorte qi retourne la verge sens dessus dessous, le sable se di milieu des espaces qu'il laissait libres précédemment.
En mesurant les distances de ces lignes, Savart prouva q tement de deux nodales consécutives (placées sur deux fa sées) est, dans la partie moyenne de la verge, indépend largeur, et proportionnel à la racine carrée de Tépaiss qu'à la racine carrée de la longueur.
Il en conclut que ces nodales sont dues à un mouvem^ versai, synchrone du mouvement longitudinal. Les lois pr sont, en effet, d'accord avec celte hypothèse. Prenons pai la deuxième loi : le mouvement longitudinal est indépe l'épaisseur, tandis que le nombre des vibrations transvc est proportionnel : donc, pour que le synchronisme persis que le carré de la longueur de l'internœud, carré auqu versement proportionnel le nombre des vibrations tran varie en raison directe de Tépaisseur.
A l'appui de son hypothèse, Savart montra que si Toi transversalement la verge de façon à obtenir sur la face si le système complet des nodales qui accompagnaient sur
(*) Savaiit, Ann. de chim. et de phys,^ (3), LXV, 337 ; 1837.
Jr»
