PESANTEUR. — MOUVEMENT DES PROJECTILES DANS LE VIDE

^^ corps suivant Oj^. Si donc on prend pour axes les directions ^^\ et Oj\, les équations du mouvement sont

et

(^l l'éqtiùlion de la trajectoire, que Ton obtiendra en éliminant t en Ire ces deux équations, est

ce qui représente une parabole rapportée à une tangente et au diamètre conjugué : la trajectoire est donc une parabole tangente à la direction de la vitesse initiale et ayant son axe vertical.

Mais, pour discuter les conditions du mouvement, il nous sera plus commode de le rapporter à des axes rectangulaires : prenons donc pour axes Thorizontale Ox menée par Torigine dans le plan jc0}\ et la verticale O7 tracée vers le haut. Soit a l'angle de la vitesse initiale avec Fhorizon, cette vitesse initiale ^^peut être décomposée en deux autres, l'une horizontale v^ cos a, l'autre verticale i'^sina; et le mouvement cherché est la résultante du mouvement uniforme dirigé suivant Ox avec la vitesse i'^^cosa, et du mouvement uniformément retardé dirigé suivant la verticale avec la vitesse initiale t'^ sin a et l'accélération — g due à la pesanteur. Les équations du mouvement sont donc

r=ç' sina.^— ^— ,

entre lesquelles l'élimination de t donne l'équation de la trajectoire

jr=xlga-

avlcos'^x

C'est une parabole dont Taxe est vertical.

Le sommet, dontondéterminerait facilement les coordonnées en transportant les axes de manière à faire disparaître le terme du premier degré, s'obtiendra plus simplement encore si Ton remarque que c'est le point où la vitesse verticale du mobile devient nulle.

Or les composantes de la vitesse s^ du mobile à un instant quelconque sont, en désignant par oTinclinaison de cette vitesse sur Ojt,

^cose=^^cosa, f'sine = i'^sina — gf;

la vitesse verticale s^ sin 0 est donc nulle à Tépoque

^«sma

en portant cette valeur de t dans les expressions générales de jc et de j^, on a les coordonnées du sommet

«'Jsinacosa

c^sin^a

vl sin 2a

i'îsin^a

Le mobile s'élève donc h la hauteur r = et descend ensuite

^8 suivant une branche symétrique de celle qu'il a suivie en montant.

La vitesse du mobile est, sauf le signe, la même à la même hauteur, en montant et en descendant. En effet, la composante horizontale de cette vitesse est constante et égale à i^^ cosa; la composante verticale c sin 6 = i'^, sin a — g^f peut s'écrire, en éliminant t

entre cette expression et celle de j^,

elle redevient la même, au signe près, quand j repasse par la même

PESANTEUa. — MOUVEMENT DES PROJECTILES DANS LE VIDE. 203

valeur; la vitesse totale du mobile est la somme géométrique de ces deux vitesses :

(^ = i»' cos* a -h i'î sin^ a — 2g7'

le mobile reprend la même vitesse quand il repasse au même niveau.

11 arrive donc au sol avec la vitesse v^ dirigée en sens contraire.

Le point où il rencontre le sol a pour abscisse (posons ^ = o, ou doubloas Tabscisse du sommet)

i'ôsinaa

Cette longueur a se nomme Vamplitude du jet. On voit que, ^^ étant constant, a est maximum pour a = 45®. C'est

donc sous Tangle de 4^" qu'il faut tirer pour atteindre le plus loin possible; on obtient alors Tamplitude maximum -^, double de la

hauteur qu'atteindrait le projectile lancé verticalement avec la même vitesse sf^. On voit aussi que l'amplitude du jet est la même pour deux valeurs de a également distantes de 45" ; on pourra donc en général atteindre un point du sol par deux paraboles différentes, Tune battante et l'autre écrasante. Ce résultat s'applique évidemment à un point pris à un niveau quelconque.

Soit M {jc\y) le point à atteindre; il faut que la parabole passe par ce point: on devra donc tirer sous l'angle a défini par

Téqualion

y=xlga-'--^

gx

2c;cos*a

ou, en remplaçant cos^ a par --j- et en ordonnant par rapport

àtga,

gx gx^

Pour que le problème soit possible, il faut que cette équation ail

Fig. 134

ses racines réelles, c'est-à-dire que

2vljr'

ou que

g^x'^ gx

gx

ce qui signifie que le point donné doit être à Tinlérieur de la parabole

dontlesommetestsurraxeOj, à une hauteur—^ égale à celle qu'al-

teint le mobile lancé verticalement de bas en haut avec la vitesse v^: c'est la parabole de siirete'j enfermant toutes les paraboles correspondant à celte vitesse initiale.

En dehors de celte courbe, on est à l'abri. Les points situés sur la courbe même ne peuvent être atteints que par une seule trajectoire menée sous l'angle défini par

tga =

gx

et tangente à la parabole de sûreté. Pour les points intérieurs, on a deux trajectoires distinctes.

PESANTEUR. — PENDULE. DÉCOUVERTE DE GALILÉE. 20o

On Terrait facilement que le lieu des sommets de toutes ces trajectoires est Tellipse

ajant pour petit axe — et pour grand axe une longueur double. Les

points situés en dehors de cette ellipse ne peuvent être atteints que par les branches descendantes des trajectoires : le projectile les frappera nécessairement en descendant, quelle que soit celle des deux paraboles qu'il suive, Tangle du choc étant seul différent dans les deux cas. Pour les points situés à Tintérieur de Tellipse, Tune des trajectoires sera montante, l'autre descendante. Les points situés surTellipse pourront être battus horizontalement ou par une parabole écrasante.

Pratiquement, la résistance de Tair que nous avons négligée ici modifiera beaucoup ces résultats théoriques, si Ton opère avec de grandes vitesses.