IL — PENDULE

85. Découverte de Galilée : isochronisme des petites oscillations. — « Un jour (vers i583) que Galilée, alors âgé d'une vingtaine d'années, assistait, peu attentif, il faut le croire, à une cérémonie religieuse dans la cathédrale de Pise, ses regards s'arrêtèrent sur une lampe de bronze, chef-d'œuvre de Benvenuto Cellini, qui, suspendue à une longue corde, oscillait lentement devant Taule!. I) Guidé par les battements de son pouls, Galilée reconnut avec éionnement que la lampe, bien que s'arrêtant peu à peu, battait elle aussi toujours la même mesure. La durée de l'oscillation est donc indépendante de l'amplitude. Galilée entrevit aussitôt les conséquences de cette constante uniformité. « La première application à laquelle il songea lui fut inspirée par ses études actuelles de médecine. On tâlait depuis longtemps le pouls aux malades, mais on ne mesurait pas la durée exacte d'une pulsation. Galilée se servit à cet effet du pendule : une disposition facile à imaginer

permettait d'allonger ou de raccourcir le fil de suspension de façon à établir Taccord entre les oscillations du pendule et les battements du pouls; lorsqu'un malade avait la fièvre, au lieu de dire comme aujourd'hui : son pouls bat i4o pulsations par minute, on disait : il marque 6 pouces 3 lignes ^npulsilogue, » [ « La théorie mathématique du mouvement était trop peu avancée

I pour conduire à la loi précise de l'oscillation. C'est à Huyghens

\ qu'était réservé l'honneur de la découvrir en la rattachant aux

principes de Galilée sur la chute des corps. L'illustre Italien se borna à montrer expérimentalement que la durée de l'oscillation croit comme la racine carrée de la longueur de la corde, et il en conclut la possibilité de mesurer la hauteur d'un édifice d'après le temps de l'oscillation d'une corde attachée à la partie supérieure (^). »

Plus tard, Galilée utilisa le pendule pour établir expérimentalement que les vitesses acquises par un même mobile sur différents plans inclinés sont égales si la hauteur de ces plans est la même (79). Enfin, dans les dernières années de sa vie, il fut encore ramené à cette question par d'autres problèmes, et il s'occupa alors de l'importante application du pendule aux horloges : il décrivit nettement le mécanisme propre à entretenir le mouvement en le transmettant aux aiguilles sans en altérer l'uniformité. Ce fut Huyghens toutefois qui, conduit au même problème par ses études sur les mouvements oscillatoires, construisit la première horloge réglée par un pendule ; il la présenta aux États généraux de Hollande en 1657, et l'usage de ces horloges ou pendules se répandit promptement en tous pays.

86. Pendule simple. — On appelle pendule simple un point matériel suspendu à un fil inextensible et sans masse attaché à un point fixe. Le point matériel se place de lui-même en équilibre dans la verticale du point fixe. Si on l'en écarte, son poids MP se décompose en deux forces, l'une ME, dirigée suivant le prolongement du fil et qui a pour unique effet de tendre le fil, l'autre tangentielle MD qui entraine le point matériel sur l'arc de cercle BA, et tend à le ramener en A.

(^) Bertrand, Les fondateurs de VastrononUe modeime. Paris, Hetzel, 1860; article Galilée, passim.

Supposons que nous ayons amené le point matériel en B Tangle d'écart initial AOB étant égal à a, et que nous l'abandonnions à

Fig. 135

lui-même, il redescend le long de Tare BA et si nous le considérons en un point quelconque M de sa course, à une distance BM = s du point B (distance comptée sur Tare), la composante tangentielle MD du poids mg est mg^sinO, 0 étant Tangle AOM, et Ton a

Mais

et par suite

Od a donc

^=5^ sine.

(Ps jdH

Cas des petites oscillations, — Supposons d'abord 0 très petit, on pourra alors confondre le sinus avec l'arc et écrire

d^^ ^g L'intégrale générale de cette équation est

e=Acosfi/^+Bsinf i/|,

A et B étant deux constantes à déterminer par les conditions initiales. Or on a

|=-Ay/fsin.y^-.By/fcosY

Pour ^=:o, on doit avoir 0= a et -7- = o, ce qui donne

On a donc

e = acosfi/^. (3)

Le mobile part de B, arrive en A à l'époque définie par la relation o = acosf 1 /y, c'esl-à-direii /f =^, il arrive donc en A à l'époque

t=-\/-. Pendant ce temps la vitesse a été en croissant constam-

^\ S ment en valeur absolue; on a en effet

a?=-Vf''°Vf-

en A la vitesse est —a i/r- Le mobile remonte ensuite l'arc AB' et arrive au point B',

symétrique de B, à l'époque t=nz V/~î ^^ vitesse a été en décrois-

sanl de A en B' et elle est nulle en B'. Le mobile se trouve donc en B', exactement dans les mêmes conditions qu'en B ; il va donc osciller indéfiniment entre ces deux points. Ces oscillations seront isochrones, chose évidente a priori et qu'il ne faut pas confondre avec le phénomène découvert par Galilée. Nous appellerons oscillation complète l'aller de B en B' et le

retour de B' en B ; Taller seul de B en B' sera une demi-oscillation. La durée d'une demi-oscillation est

durée indépendante de Tamplitude. Donc la durée des petites oscillatians du pendule est indépendante de leur amplitude : c'est là ce que Ton appelle Fisochronisme, il serait plus correct de dire le tautochronisme des petites oscillations du pendule.

La fornnule montre en outre que, conformément encore aux mesures de Galilée, la durée de l'oscillation est proportionnelle à la racine carrée de la longueur du pendule.

II n'est pas inutile de remarquer que les équations du mouvement du pendule simple exécutant des oscillations infiniment petites, sont identiques à celles que l'on obtiendrait en projetant sur

Fi g. 136

le diamètre d'un cercle de rayon a le mouvement d'un mobile P décrivant ce cercle avec une vitesse PV constante et égale à a v/f:

AM ou 6 =acost

-PUo„*=-.y'fsi».i/f

Cette remarque a été souvent utilisée pour établir d'une manière simple, mais indirecte, la formule du pendule dans le cas des petites oscillations. On en déduit aussi une représentation du mouvement du pendule sur son arc infiniment petit : c'est le mouvement du

ViOLLE, Cow'S de physique, ~ I. 14

2i0 PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE LA MATIÈRE.

clou d^une roue vue de champ à grande distance et tournant uniformément.

Généralisation de la formule du pendule. — La formule

conviendra évidemment dans tous les cas où Ton aura

dt^-^ V' ^''

c'est-à-dire :

i*" Lorsqu'un mobile soumis à l'action d'une force constante en grandeur et en direction exécutera des oscillations infiniment petites de part et d'autre de sa position d'équilibre. Peu importe, en effet, au point de vue analytique, que la force qui agit soit la pesanteur ou toute autre force constante en grandeur et en direction ;

2** Lorsqu'un mobile, écarté d'une quantité quelconque de sa position d'équilibre, tendra à y revenir sous l'action d'une force proportionnelle à la distance. Sji en effet on désigne la distance par 0,

la force étant représentée par j 0, on retombe identiquement sur

l'équation (%).

Cas général. — Supposons maintenant 6 quelconque :

=|sm6. (I)

Multiplions les deux membres de cette équation par 2c/6

et intégrons

/d[ey 2g

\dt) ~ /

=:-rCos0+const.

La constante se déterminera par les conditions initiales : pour f = o.

00 doit avoir 6= a et j- = o; on a donc Téquation de condition

o = -^cosa-i- consl.

Remplaçons la constante par sa valeur :

ou

— = ip W -ii y cos 6 — cos a ;

doù

dt=^i\/ y (5)

V agry/cose-COSa ^

le signe — convenant au mouvement de B en B', et le signe + au mouvement de B' en B.

Les variables sont séparées ; mais nous transformerons le second membre par un changement de variable.

Or

Par suite

cosô — cosa=-( sin* — sin^- )

, .... db

dt

asin^ / sin»?^

sm^-

Posons

sin-=sm-smç,

et différencions

-cos-a8=sm-cosçfl<p,

OU

2 sm - ^ cos ~ a 2

d'où

i/i — sin*-sin*«

et Texpression du temps se trouve ainsi ramenée à une intégrale elliptique de première espèce.

Le temps employé par le pendule pour aller de B en A sera égal à la valeur de cette intégrale entre les limites correspondant aux

valeurs de 0 : a et o, et par conséquent aux valeurs deç :- et o, ce qui

donne, en changeant les limites à cause du signe — ,

^ S J i/i-sin«îsin^9

Développons en série

/. «-«^'aX* ï-û«*a 1.3.,. (2/2 — l) . «^ « . «,. .

I I — sin'-sin^o ) = iH — sm^-surçH 1 -^ ^sin*"-sin'"ç4-"

D'ailleurs

Jî • în J I.3.D...(27l — i)x " sin*"© rfç = — ^ i -.

On a donc pour la demi-oscillation :

="Vï[-(0'='"i-(^)''"'->--(^4i&')'''°--:-]-

Telle est la formule complète.

Si 2 est assez petit pour que Ton puisse négliger les termes en

sin*- et confondre sin- avec -, on aura 2 2 a

^VK'-'S)'

formule souvent employée.

Effet de la résistance de Pair supposée proportionnelle à la vitesse. Jusqu'ici nous avons supposé le mouvement s'effectuant dans le vide; considérons maintenant un pendule oscillant à Tair libre, et cherchons Teffet produit par la résistance de Tair.

La loi de cette résistance est complexe et mal connue; mais pour de faibles vitesses la résistance peut être regardée comme proportionnelle à la vitesse. Adoptons donc d'abord avec Poisson cette hypothèse qui conviendra aux oscillations très lentes.

La \itesse, prise positivement dans le sens BA, est

'=-^dt^

la résistance de Tair est égale à ^ multipliée par un facteur constant très petit que nous représenterons par ^ ; la résistance sera donc

g/rfô k dt

L accélération est — / -t-j ; les forces sont la composante efficace

de la pesanteur ^sinO et la résistance de Tair qui, agissant en sens contraire, doit être retranchée de g- sin ô ; on a donc pour Téquation du mouvement

^/^,=:Srsm6+^5j. (9)

Bornons-nous au cas des petites oscillations et par conséquent

:îl4 PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE LA MATIÈRE.

remplaçons le sinus par Tare : nous avons, en divisant par /,

équation différentielle linéaire du deuxième ordre sans second membre, que Ton intégrera par la méthode ordinaire, en résolvant d'abord l'équation

qui donne

si Ton pose

L'intégrale cherchée est donc

e=e «A (AsinYi/^f-hBcosYi/f tj,

avec deux constantes arbitraires A et B. Différencions

u-fAsinYi/j^ + BcosYl/f') K/fe"^ ^AcosTl/f î-BsinYi/|A,

et nous déterminerons les deux constantes par les conditions ini-

tiales : pour f = o, nous devons toujours avoir 0 = a et -j- == o ; il en résulte

et Ton a

et

6=:ae ait/^cosYw|f+^^sinYy ('0

Ces deux formules résolvent entièrement la question. T- s^annule pour les valeurs de t telles que

n étant un nombre entier quelconque ; la vitesse devient donc nulle aux époques

en d*autres termes, le mouvement est isochrone et la durée d'une demi-oscillation est

égale à la durée d'une demi-oscillation dans le vide (4) multipliée par -, un peu plus grande par conséquent que dans le vide, y étant

plus petit que i. Ainsi, Tisochronisme persiste, la durée de Tosciliation étant simplement un peu augmentée.

Si dans Texpression générale de 0 nous donnons à ( les valeurs pour lesquelles la vitesse devient nulle, nous aurons les valeurs de 0 correspondant aux points extrêmes de la demi-oscillation

le signe =fc convenant à n pair ou impair. Les valeurs de 6 correspondant aux points extrêmes décroissent donc en progression géométrique, quand n et par suite les temps varient en progression arithmétique.

Dans ses expériences, Borda a trouvé que Tamplitude, après

i8oo oscillations, était encore égale aux ^ de Famplitude primitive. Nous aurons donc pour ces expériences de Borda

Passons aux logarithmes népériens et éleyons au carré,

/ .y (i8oo)Vg/

puis remplaçons-^ par sa valeur tirée de l'équation qui définit y

il vient