HT
Extrayons la racine carrée, en remarquant que yji+x = i + — quand X est très petit, comme cela a lieu ici ; et nous avons
La durée de l^oscillation du pendule de Borda dans l'air était
donc égale à la durée de Toscillation dans le ^ide multipliée par
Nous aidons tu que les amplitudes des oscillations décroissent en progression géométrique. Par conséquent, le pendule parti de B n'arrive pas en B' symétrique de B, mais en un point G situé un peu au-dessous de B^ le temps total de la demi-oscillation étant à très
Fig. 137
peu près le même que dans le yide ; mais les deux temps employés à la descente et à la montée ne sont plus égaux. Cherchons eh effet les époques t' auxquelles le pendule passe dans la verticale, c'està-dire les époques pour lesquelles 6 = 0; alors
cotYyff'=-
Un arc dont la cotangente est < o est > - ; le premier arc satisfaisant à Téquation sera donc
tétant une quantité >o, définie parla relation tgS suite
■2—^ — ; par (i3)
t étant le temps nécessaire pour aller de B en A : on voit qu'il est plus de la moitié du temps total de la demi-oscillation. Si donc la durée entière est à peine changée, le temps de la descente est augmenté
et le temps de la montée diminué. II n'y a plus symétrie de part et d'autre de la verticale. Néanmoins les petites oscillations conservent leur isochronisme, et presque la même durée que dans le vide.
Pendule cyclotdal. — La cycloïde est la courbe engendrée par un point M d'un cercle G qui roule sans glisser sur une
Fig. laS
droite AB. Soit A la position initiale du point M ; lorsque le cercle est venu en G, on a par définition
arc de cercle MN= AN.
Il résulte du mode de génération de la courbe que MN est la normale en M : car le premier mouvement élémentaire du cercle, à partir de sa position actuelle G, pourra être considéré comme une rotation autour de son point d'appui N ; par conséquent, MT est la tangente. AB se nomme la base de la cycloïde dont S est le sommet.
Gonsidérons une* deuxième cycloïde égale à la première, mais
ayant son sommet en A; prenons le cercle générateur de cette
deuxième cycloîde dans ia position C^ symétrique de C par rapport à âB; soit M' le point correspondant de la courbe,
arc de cercle M'N'= ON'.
Tirons NM', nous avons la tangente en M'. Or je dis que NM' est le prolongement de MN ; en effet, puisque
on a
arc de cercle MN = AN,
arc de cercle MT==ON;
elles angles MNT, N'NM', ayant même mesure, sont égaux. Ainsi, la normale en M à la cycloîde proposée ASB est tangente en M' à la deuxième cycloîde AO'B. La normale à la cycloîde ASB en un point M| infiniment voisin du point M sera tangente à la cycloîde AO'B en un point M( infiniment voisin du point M\ et le point d'intersection des deux normales infiniment voisines, MM^, M^Mj, sera lui-même infiniment voisin de M^; M' est donc le centre de courbure de la première cycloîde : le lieu des centres de courbure de la cycloîde ASB est la cycloîde égale AO'B.
Si nous remarquons de plus que MN = M'N' comme cordes sous-tendant des arcs de cercle égaux, nous voyons que le rayon de courbure M'M en un point M est 2MN, et nous en déduirons facile-
ment une expression de Tare de cycloîde SM. Prenons sur la dé-
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE LÀ MXTrÉRE.
veloppée l'arc correspondant AM' : soit rie rayon du cercle généra leur, et soitz'=WP\ on a
en posant
= ^2lz\
Si donc on désigne par s l'arc de cycloïde SM et par z la distance du point M à la tangente PS au sommet, on a
S^=i2lz.
Ces propriétés de la cycloïde rappelées, cherchons le mouvement d'un point pesant sur la cycloïde.
Supposons un mobile descendant sur l'arc de cycloïde AS dans
le vide. Désignant, comme plus haut, l'arc SM par sel la hauteur MP du point M au-dessus de l'horizontale PS par z^ on a
rf^__ dz dt^'^ ^ ds
dz s ou, puisque, d'après l'équation 5*=a/z, -7-= n»
équation remarquable en ce qu'elle reproduit celle du pendule
simple dans le cas des osciUations infiniment petites. Le temps nécessaire pour arriver au point S sera donc
indépendant de Tare s^. Quel que soit le point de départ sur Tare
AS, le mobile mettra le même temps pour arriver en S : la cycloïde est donc tautochrone d'une manière absolue. La propriété que nous avons rencontrée dans le pendule circulaire pour les très petits arcs est toujours vraie ici, comme Huygbens Ta reconnu le premier.
De réquation précédente il résulte que la cycloïde est tautochrone en montant et en descendant. Un corps placé sans vitesse en M arrive en S dans un temps indépendant de SM. En S, il possède une vitesse quelconque (dépendant uniquement de la hauteurs) et s'élève sur SB pendant un certain temps indépendant de cette vitesse et toujours identique.
La même propriété appartient à toutes les courbes que Ton obtient en repliant la cycloïde sur des cylindres à arêtes verticales. Mais dans le plan vertical, il n'y a pas d'autre tautochrone que la cycloïde. Soit, en effet, une tautochrone sur laquelle le mobile s'élève de S jusqu'à un point quelconque M dans un temps constant -.Traçons la cycloïdef de paramètre /=--^j suivant laquelle
Fig. i33
un mobile mettra précisément ce temps - pour s'élever de S en M.
Dans un certain intervalle au-dessus de S, l'une des deux courbes sera nécessairement au-dessus de l'autre et les tangentes aux points des deux courbes situés aux mêmes niveaux feront des angles différents avec l'horizon. Or, les deux mobiles arrivant au même niveau
sur les deux courbes avec des vitesses égales, si les éléments à parcourir sont de longueur inégale, les temps employés à les parcourir seront nécessairement différents et, dans cette région, la courbe proposée sera parcourue plus rapidement ou plus lentement que la cycloîde : elle ne sera donc pas tautochrone.
On appliquera facilement à la cycloïde Tétude précédemment faite de Tinfluence due à la résistance de Fair. Les propositions que nous avons établies pour le pendule circulaire ne décrivant que des arcs très petits conviennent ici à des arcs quelconques. Le tautochronisme persiste absolu dans Tair.
Pour réaliser un point mobile sur une cycloïde, il suffit, d'après ce que nous avons vu plus haut, de le suspendre à un fil de longueur /=4'* et de placer à droite et à gauche du point d'appui deux pièces OE, OF taillées en arcs de cycloïdes égales : on
Fig. i33
aura ainsi le pendule cycloîdal^ imaginé par Huyghens. La durée de la demi-oscillation
est alors absolument constante quelle que soit Tamplitude. Mais les difficultés d'exécution (frottements au point d'attache, défaut de flexibilité du fil) ont fait renoncer complètement à ce système.
87. Pendule composé. — On appelle pendule composé un corps quelconque pouvant osciller autour d'un axe horizontal qui ne passe pas par son centre de gravité.
Prenons pour axe des z cet axe fixe, pour axe des x la verticale
menéeparunpointquelconqueOde 0? dans le sens de la pesanteur, et pour axe des y Thorizonlale Oj perpendiculaire au plan zOj:.
En appliquant au mouvement autour de ^z le théorème des moments des quantités de mouyement (59), on a
Tt
2mr»=S(xY-..7X).
L'unique force est la pesanteur sollicitant chaque particule avec une intensité mesurée par le poids de la particule ; pour chaque masse m
Y--=o; et l'équation se réduit à
Mai
^mgJr=^gy^,
M étant la masse totale du corps et y^ l'ordonnée du centre de gravité G ; l'équation peut donc s'écrire
-^Smr»=-g^Mjr<.
Soient a la distance G du centre de gravité à l'axe, et 0, l'angle que
fait à un instant donné IG ou sa projection Og sur le plan des jrj a\ec Taxe des x,
r^=ûsinô^;
et, comme pour tout autre point du corps,
dt
On a donc
-^Sm/-^^: — g^Masinô^, {17)
équation qui détermine le mouvement du centre de gravité. On peut réprire sous une forme plus commode, en se rappelant (60) que le moment d'inertie du corps par rapport à Taxe O2;, Sm/**, est égal au moment d'inertie MK^ par rapport à un axe Gg parallèle à 0: et mené par le centre de gravité, plus Ma^ :
Sm/-^=M(R»-Ha»);
et il vient
ou
dt'~
sine,,
dt''
an
siaO, .
Mais réquation du mouvement du pendule simple (équation que Ton retrouverait immédiatement ici en faisant a = / et K=o) est
rf'e
Le mouvement angulaire du pendule IG est donc identique à celui d'un pendule simple de longueur
/=aH . (19)
Ainsi, il existe toujours un pendule simple IL synchrone d'un pendule composé : / étant la longueur de ce pendule simple, la for^ mule
donne la durée d'une demi-oscillation du pendule composé.
La longueur du pendule simple synchrone /=aH est toujours plus grande que a, Tun ou Fautre des deux termes de la somme pouvant d'ailleurs prédominer beaucoup : / peut être à peine différent de a (petite sphère attachée à un long fil) ou au contraire incomparablement plus grand que a, ce qui arrive si a est extrêmement petit par rapport à K*, de sorte qu'il est possible d'avoir un pendule composé très court battant cependant des oscillations très lentes [métronome).
Si par le point L, tel que IL = aH , on mène la parallèle HH'
à \axe de suspension 0^, tous les points du corps situés sur cette parallèle oscilleront dans le même temps que s'ils étaient libres et reliés simplement à Oz par un fil inextensible et sans masse. Les autres points du corps, s'ils étaient isolés, oscilleraient les uns plus vite, les autres moins vite qu'ils n'oscillent en réalité dans le mouvement d'ensemble ; seuls les points situés sur HH' n'ont pas leur mouvement modifié par les liaisons qui les attachent aux autres points : HH' s'appelle Vaxe <P oscillation. De l'expression de la distance de ces deux axes
résulte une propriété importante découverte par Huyghens (*) : la réciprocité des deux axes. Prenons en effet HH' pour axe de suspension, la longueur du pendule simple, synchrone du pendule composé ainsi suspendu, est
0) HuTGiiENs, Eorohgium otdllaioirimni Paris, 1673.
VioLLB, Cours de physique» — I. 15
a étant la nouvelle distance LG du centre de gravité à Taxe de saspension HH'; mais
par suite
Donc le pendule suspendu par HH' a pour axe d'oscillation 0 j : la longueur du pendule simple synchrone est restée la même, roscilla-^ tion se fera dans le même temps.
Considérant le plan vertical mené par le centre de gravité perpendiculairement à 0^, on nomme souvent centre de suspension le point I de Taxe d'oscillation situé dans ce plan, et centre d'os-
cillation le point L situé dans le même plan à la distance a h
du point I ; la proposition que nous venons d'établir s'énonce alors réciprocité du centre de suspension et du centre d'oscillation.
Il est aisé de voir que, réciproquement, si deux axes situés dans un même plan contenant le centre de gravité sont tels que le corps suspendu successivement à chacun d'eux exécute dans les deux cas des oscillations de même durée, ils sont ou à des distances égales du centre de gravité ou à des distances de ce point telles que le produit en soit égal à K^
Si en effet
on a
aa
et si a — a est ^ o, on peut diviser par a— a les deux membres de cette égaillé, ce qui donne
aa=zK^:
la distance des deux axes est la longueur même du pendule simple
