Application du pendule & la mesure des forces

L'équation

■^Smr"=— g^Masînôi (17)

peut s'écrire

■371=— Q-sinO^, {20)

si l'on pose Smr^=Q et Mg=F, de sorte que Fa est le moment de la force agissante par rapport à l'axe de rotation, Q étant le moment d'inertie du corps relativement au même axe. En comparant cette équation à celle du pendule simple

^:=-fsme, (.)

on voit que le pendule composé oscille comme un pendule simple de longueur

la durée d'une demi-oscillation infiniment petite est donc

=Vf^'

formule immédiatement applicable à un corps qui exécute des oscillations infiniment petites sous l'action d'une force remplissant l'une des deux conditions indiquées plus haut (86).

De là un double moyen de mesurer une force :

I* La faire agir directement sur un pendule en plaçant le centre d'action assez loin pour que la force puisse être regardée comme constante en grandeur et en direction ;

2^ Equilibrer l'action de la force sur un pendule par celle d'une autre force Fô variant proportionnellement à l'écart 6 et par consé-

quent directement mesurable à Taide du pendule suivant la formule (22).

Ces deux méthodes sont Tune et l'autre d'un usage continuel en physique.

89. Démonstration de la première loi de la chute des corps. — Le pendule, oscillant sous Faction de la pesanteur, permet de donner une démonstration rigoureuse de la première loi de la chute des corps, à savoir que la pesanteur agit sur tous également. Il suffit de constater que la durée de Toscillation est absolument indépendante de la nature du corps constituant le pendule, ainsi que l'indique la formule ('1). On assure même que ce fut l'observation de l'égalité de durée des oscillations de deux pendules également longs, mais différemment pesants, qui conduisit Galilée à la découverte de cette loi fondamentale de la pesanteur. Newton expérimenta sur des corps très divers qu'il plaçait successivement dans une même boite soutenue par un fil. Bessel fit des mesures précises : opérant avec un pendule de Borda, dont la boule était toui^ à tour constituée par les corps les plus différents (métaux, ivoire, pierres, etc.) et prenant toutes les précautions mentionnées plus loin, il trouva que les durées de l'oscillation différaient à peine de 0,00001 d'un corps à l'autre.

90. Mesure de g. — Ainsi que nous l'avons dit plus haut (83), et comme Huyghens (^) Tindiqua le premier, le pendule sert à obtenir la mesure exacte de g. Si, en effet, on se reporte à la formule (4), on voit que pour avoir la valeur de g-, il suffira de mesurer : i" la durée d'une oscillation ; 2" la longueur du pendule. L'amplitude des oscillations n'étant pas très petite, on devra en outre la déterminer afin d'en tenir compte dans le calcul.

91. Expériences de Borda. — Les premières mesures exactes de g au moyen du pendule sont dues à Borda (^). Le pendule de Borda se compose essentiellement d'une sphère pesante en pla-

(*) Huyghens, Horologium oscillatorium.

(*) Borda, Mémoire sur la mesure du pendule, 1792, dans Mesure de la tnàidienne.

lioe, suspendue k un fil métallique très fin. L'extrémité supérieure du fil est fixée à un couteau dont l'arête reposant sur un plan d'acier constitue l'axe de suspension du pendule. Le couteau, également eu acier, est surmonté d'une ris sur laquelle peut tourner un écrou mobile, et porte en bas un prolongement dans lequel s'engage une petite vis traversée suivant son axe par le fil que retient un nœud. Une vis semblable attache l'eilrémilé inférieure du fil à une calotte métallique très mince s'adaptnnt exactement sur la sphère de platine ; le seul contact des A

deux surfaces préalablement recouvertes d'une I

couche imperceptible de graisse maintient l'adhérence : la boule se trouve ainsi suspendue au fil.

!• Mesure de la durée dune oscillation. — Pour déterminer la durée d'une oscillation, le procédé qui s'ofTre immédiatement à l'esprit serait de compter le nombre des passages du pendule à une direction donnée (à la verticale par exemple] pendant un temps assez long, eiaclem^t mesuré par un chronomètre : le quotient de ce temps par le nombre des passages représenterait la durée d'une oscillation avec d'autant plus de rigueur que l'on aurait prolongé davantage l'expérience afin d'atténuer l'efTct des incertitudes inévitables sur les instants précis où elle commence et où elle prend fin. Mais compter ainsi un grand nombre d'oscillalions uneàuneseraitcbose fastidieuse et sujette à erreur. On évite ces inconvénients en recourant à la méthode des coïncidences, imaginée par deMairan.

On dispose derrière le pendule une horloge dont le balancier batte II très peu près son oscillation dans le même temps que le pendule. A ce balancier on fixe un petit cercle de papier blanc sur lequel est tracé un trait noir vertical ; et on s'arrange de manière que, le balancier et le pendule étant tous les deux au repos, ce trait soit exactement caché par le fil du pendule pour un observateur fisaot à distance avec une lunette immobile. Le pendule et

230 PROPRtËTËS GÉNÉRJILBS DE LA MATIÈRE,

l'horloge sont enfermés dans une cage vitrée qui les protège contre les agitations de l'air extérieur et les changements brusques de température (*}. On met le pendule et l'horloge en mouvement l'un

el l'autre. Si, comme nous l'avons dit, lesdurées de leurs oscillations respectives sont très peu différentes, il arrivera un moment où les

(') Dans la figure i3G(in a enveloppé l'horloge elle-même d'une deuiième cage de verre, comme le fit plus tard Blot (92,>.

deux pendules, en marchaut dans le même sens, passeront ensemble à la verticale, ce qui constituera une coïncidence. Supposons, en effet, que, Tun des pendules A passant à la verticale^ Vautre B soit en b et admettons que ce deuxième pendule aille plus yite. Lorsqu'ayant effectué une oscillation complète, A reviendra du même côté passer à la verticale, B aura accompli un peu

plus d'une oscillation et sera en b\ Après une nouvelle oscillation

complète de A, il sera en i*', etc., les arcs bb\ Vb" étant par

hypothèse extrêmement petits. A un certain instant il arrivera donc sur la verticale en même temps que le pendule A : il y aura coïncidence. Quand une nouvelle oscillation complète ramènera A dans la verticale, B sera en avance d'une petite quantité en b^ ; àToscilla-

lion suivante, il sera en i^, et l'avance de B sur A s'accusera de

plus en plus. Au bout d'un certain temps elle atteindra une de mi-oscillation : les deux pendules passeront alors ensemble à la verticale, mais en venant de côtés opposés; ce croisement est impossible à observer exactement. B continuera à prendre de l'avance sur A et, quand il aura gagné une oscillation complète, il repassera à la verticale en même temps que A et en marchant dans le même sens : on aura une nouvelle coïncidence. Si donc A est le balancier de l'horloge et B le pendule de Borda, comme l'horloge compte elle-même ses battements, il suffira d'augmenter de i le nombre des oscillations complètes du balancier pour avoir le nombre des oscillations du pendule. Ainsi, dans l'hypothèse de deux pendules a)aal à très peu près même durée d'oscillation, on observera une série de coïncidences, indiquant chacune que l'avance du pendule le plus rapide s'est accrue d'une oscillation complète. Si les durées d'oscillation n'étaient pas infiniment peu diirérentes, il n'y aurait pas nécessairement coïncidence une première fois ; et, en supposant celte première coïncidence qui entraînerait une série illimitée de coïncidences ultérieures, la différence entre les nombres

d'oscillations exécutées par les deux pendules dans rintervalle de deux coïncidences consécutiyes serait;?, p n'étant égal à i qu'en certains cas particuliers (^). Mais dans les conditions pratiques de Texpérience de Borda, chaque fois que la différence des nombres d'oscillations des deux pendules s'accroît d'une unité, l'observateur éprouve au contraire l'effet de plusieurs coïncidences successives, parmi lesquelles il choisira évidemment la moyenne comme représentant avec le plus de probabilité la coïncidence réelle. On répète l'observation un grand nombre de fois, on prend la moyenne des résultats, et Ton a ainsi avec beaucoup d'exactitude le nombre n de secondes que bat l'horloge, tandis que le pendule exécute /z+ 1 oscillations ; la durée d'une oscillation est dès lors connue :

2" Mesure de la longueur du pendule, — Avant d'exposer comment on mesure la longueur du pendule, nous devons indiquer le procédé ingénieux par lequel Borda réussit à éliminer Faction du couteau. Au moyen de l'écrou supérieur, on règle le couteau de manière qu'il mette exactement le même temps à osciller seul que réuni au fil du pendule. Dans ces conditions, en effet, le couteau n'a aucune influence sur le mouvement du pendule : il est comme s'il n'existait pas. Borda vérifia le fait en répétant successivement la mesure de n avec deux couteaux de poids très différents, mais réglés de telle sorte que leurs oscillations isolées étaient de même durée que celles du pendule total ; et il trouva des nombres identiques dans les deux cas. On n'a donc à considérer que le système formé par le fil, la calotte et la sphère ; la question se réduit ainsi à mesurer pour ce système la distance a du centre de gravité au centre de suspension et le moment d'inertie MK' par rapport à un axe passant par le centre de gravité et parallèle à l'axe de suspension.

(*) BicHAT, Jounia/ de physique, IH, 369; 1875.

(') Si le pendule allait moins vite que rhorloge, la durée d'une oscillation serait

ez= , n désignant toujours le nombre de secondes battues par Thorloge

entre deux coïncidences consécutives.

Pour avoir la dislance a, on dispose sous la boule du pendule un petit plan d'acier bien horizontal que l'on peut élever ou abaisser su moyen d'une vis micrométrique de façon à ce qu'il vienne loucher la boule sans la soulever. On hausse lentement le plan jusqu'à ce que la lumière d'une bougie placée derrière le pendule el à distance disparaisse au point de contact : faisant alors osciller le pendule, on ne doit entendre qu'un léger frôtemenl contre le plan si la position cherchée n'a pas été dépassée. Cela fait, comme la présence de l'observateur a Qécessairement modifié la température, on referme la cage de l'appareil et on s'en éloigne douze ou quiuie minutes afin de lui laisser reprendre sa température normale. Revenant alors vérifier la position du plan, on trouve presque toujours que le contact n'a plus lieu ; on le rétablit, ce qui prend peu de temps. Une nouvelle vérification demande moins de temps encore; et, après quelques essais, on obtient un contact permanent. On note alors la température. Si elle diffère de la température moyenne qu'avait eue la cage pendant les observations des coïncidences, une correction facile donnera la longueur exacte dti système sur lequel ont réellement porté les mesures. On enlève le pendule; on lui substitue une règle divisée suspendue de même par un couteau et munie à sa partie inférieure d'une languette mobile faisant vernier. La languette étant amenée au contact du petit plan d'acier, on Ht au vernier la distance de ce plan au plan de suspension : c'est ta longueur du fil augmentée du diamètre de la sphère. On pose alors la sphère sur le plan d'acier et, par des tâtonnements faciles, on amène la languette en contact avec l'eitrémité supérieure du diamètre vertical. La lecture que l'on fait alors, retranchée de la première, donne le diamètre de la sphère. On en conclut la longueur \ du fil ; en y ajoutant le rayon r de la sphère, on a la dislance a.

Le momenl d'inertie MK^ du système se compose : i" du moment d'inertie de la sphère (60), t mi^, m étant la masse de la

sphère ; n"* du moment d'inertie du fil, qu'il serait facile de calculer ; 3"" du moment d'inertie de la calotte dont Févaluation présente au contraire assez de difficulté et peu de certitude. On n'a pas, en effet, comme pour la sphère ou le fil, de moyen de vérifier rhomogénéité sans laquelle les calculs sont illusoires. Pour le fil, il suffit de le couper en deux et de peser séparément chacune des moitiés : les deux poids doivent être égaux. Pour la sphère, on annule les défauts d'homogénéité en changeant le point de suspension, ce que permet facilement le mode d'attache. 11 faut toujours avoir cette précaution au cours de chaque série d'expériences que l'on partagera, par exemple, en deux groupes, la boule étant dans le deuxième groupe suspendue par le point diamétralement opposé au point d'attache adopté dans le premier.

Si l'on ne considérait que la sphère, le moment d'inertie du pendule serait

et l'on aurait pour la longueur / du pendule

Mais, en tenant compte du fil et de la calotte, on doit apporter à cette valeur approximative une légère correction — Q que nous supposerons calculée (*), de sorte que la longueur exacte du pendule simple synchrone du pendule composé est