PESANTEUR. — LOI DE NEWTON DÉDUITE DES LOIS DE KEPLER
parcouru dans un temps infiniment petit dt; si aucune force nV gissait sur la planète, dans un second intervalle de temps dt égal au premier elle parcourrait en ligne droite un deuxième élément M'm=MM'. En réalité, elle décrit Télément UW, Taire SM'M"
Flg. 157
étant égale à Faire SMM' d'après la première loi de Kepler. Mais aire SM'm = aire SMM^ les deux triangles SMM' et SM'm ayant des bases égales MM'=:M'/n et même hauteur. On a donc : aire SM'M" = aire SM'm; or les deux triangles SM'M" et SM'm ont même base SM' ; leurs sommets M' et m sont donc sur une parallèle à cette base : la droite M'm est parallèle à SM'. Si nous acheifoas le parallélogramme M'mM^N, l'espace M'M' réellement parcouru par la planète pendant le deuxième intervalle de temps dt peut être regardé comme la somme géométrique de l'espace M'm décrit en vertu de la vitesse acquise et d'un espace M'N parcouru sous l'action d'une force spéciale dirigée suivant M'S. Ainsi, de la loi des aires il résulte que la force qui sollicite la planète est dirigée vers le centre du soleil.
La loi des aires peut d'ailleurs être transformée de diverses manières, parmi lesquelles nous indiquerons la suivante qui nous sera
utile dans la suite. Soit - l'aire décrite pendant l'unité de temps,
l'aire élémentaire MSM' décrite dans le temps infiniment petit dt
sera-df; or cette aire a pour mesure'rfs ^^sil'onpose MM'=rf5et
si l'on désigne par q la longueur de la perpendiculaire abaissée du centre S du soleil sur la direction MM'. On a donc
—dt=zds^, a 2
OU
dt
c'est-à-dire
Fig. i58
la Titesse en un point de la trajectoire est en raison inverse de la distance du centre du soleil à la tangente en ce point.
La deuxième loi de Kepler fait connaître la grandeur de la force à chaque instant. La planète décrit une ellipse dont Fun des foyers S est occupé par le soleil. Soit F' l'autre foyer et soity'la perpendiculaire F'G abaissée de ce foyer sur la tangente en un point M, q étant la perpendiculaire abaissée du foyer S, on sait que
b désignant le demi petit axe de Tellipse. La relation
peut donc s'écrire
Considérons un point M' infiniment yoisin du point M, et sur les tangentes en M et M' portons à partir de leur intersection I les longueurs lA et 1B respectivement égales aux vitesses en M et M' •
