ÉLASTICITÉ. — ÉQUILIBRE DU PARALLÉLIPIPÈDE ÉLÉMENTAIRE

Les forces extérieures agissant sur le parallélipipède donneront également trois composantes que nous appellerons

pdxdjrdzX^^ pdxdjdz\, pdxdydzZ^.

Les six équations d'équilibre du parallélipipède seront donc

dX. d\^ rfX- V

dY^ rfYj d\^ -

dx dy dz P » "~ •

C/Zj dX^ dZ^ rw

dx dy dz

Appelons N^,N2,N3 les composantes X^yY^^Z^ respectivement normales aux faces ACGE et BDHF, ABEF et CDGH, ABCD et EFGH, et désignons par T^jTjjT, les composantes tangentielles égales deux à deux

I3-- Yi^X^;

(*) n est visible en effet que, dans réquation des momenls relative à un axe mené parallèlement aux x par le centre du parallélipipède, n'interviennent que les composantes

— dzdxZ^y + dzdx (z^ H- -p dA ; — dxdf^z^ "^ ^'^^X ( ^^ "*" rf^ ^^ ) '

qui agissent tangentiellement aux faces ABEP, CDGH, ABCD, EFGH, dans un plan perpendiculaire à l'axe, et qui forment deux couples de sens contraire •^ ^ ^, — -^ 5) si l'on néglige les infiniment petits du quatrième ordre, de sorte que l'équation des moments relative à cet axe se réduit à Tégalité de ces deux couples, c'est-à-dire à Z, = Y,.

nous aurons les trois équations suivantes, qui peuvent être regardées comme le résultat de l'élimination de trois des neuf composantes entre les six équations d'équilibre, et qui par conséquent expriment à elles seules l'équilibre de l'élément' parallélipipédique dxdj dz :

rfN^ r/T, r/Ta «

dx dy dz ^ "* '

rfT. dl, rfN, „ dx dj dz ^ ""

*Ces équations expriment évidemment aussi l'équilibre de toute portion finie du corps qui serait décomposable en parallélipipèdes élémentaires ayant leurs facettes parallèles aux plans coordonnés. Mais, en général, cette décomposition laissera des résidus tétraédriques dont les conditions d'équilibre doivent être cherchées à leur tour (*).

138. Équilibre du tétraèdre élémentaire. — Considérons avec Gauchy un tétraèdre élémentaire ayant son sommet en M, les trois arêtes issues de ce sommet parallèles aux trois axes coordonnés et limitées à une face triangulaire de surface u formant la base du tétraèdre. Soient m,/z,/^ les cosinus des angles que la normale à la base fait avec les axes,

et soient a,&,c les aires des trois triangles rectangles constituant les faces latérales du tétraèdre,

(') Ces résidus tétraédriques ne seraient négligeables que si, la pression se transmeUant intégralement et normalement dans toute la masse, Torientation des éléments superficiels n*avait pas d'influence ; mais cette transmission intégrale et normale de la pression, caractéristique des fluides, n'a pas lieu dans les solides.