ÉLASTICITÉ. — ÉQUILIBRE DU TÉTRAÈDRE ÉLÉMENTAIRE
« Cela posé, le tétraèdre devant être en équilibre sous l'action des forces élastiques qui s'es:ercent sur ses quatre faces et des forces qui sollicitent sa masse, les sommes des composantes de ces forces, estimées suivant chaque axe, devront être nulles. A la somme des composantes suivant Taxe des j;, la face inclinée fournira le terme crX, la face a le terme — muN^, la face b—nx3Ï^^ la face c— /^ctT,; les forces qui agissent sur la masse donneront un terme égal à pX^ multiplié par le volume du tétraèdre, qui est un infiniment petit du troisième ordre : ce cinquième terme disparaîtra donc à la suite des quatre autres qui sont des infiniment petits du deuxième ordre. » On a ainsi la première des équations suivantes dont on obtiendra de même les deux autres, en faisant la somme des composantes parallèles aux y^ puis aux z,
Y=mT3+wNa-+-/>T^,
^ Z = mTj + /iT| H- pNj.
139. Équilibre d'une portion finie. — Si on laisse de côté les équations des moments pour le tétraèdre (équations qui ne fourniraient rien de nouveau), les conditions nécessaires et suffisantes pour réquilibre d'une portion finie, de forme quelconque, du milieu solide sont données par les six équations (i) et (a). Soient en effet û cette portion finie, rs un élément de la surface Q; crX, oYjctZ les composantes de la force élastique qui s'exerce sur l'élément plan tj; p(i> un élément de la masse; pcoXo, p(i>Y„ p(i>Zo les composantes des forces extérieures qui sollicitent la masse pco; les six équations qui expriment l'équilibre de Q sont
SctX -f- SpwX^ = o ,
(3) {SCTYH-Spa)Y^=ro,
SnrZ +Spcj)Z^ = o;
2ct{cY -^Z)+Spa»(2Y„ -jZJ = o, (4) \ Sci(xZ — zX) H- Spo) (xZ„ — «X ) = o,
SctO X-xY) + 2pu)CrX. -xYJ = o;
lesquelles se déduisent facilement des seules équations (i) et (a). Prenons en effet la première des équations (i), multiplions-la par dxdjdz et intégrons dans toute retendue de û, il Tiendra
Dans rintégrale triple en N^ on peut faire Tintégration en x, ce qui donnera
CfC^dxdjdz= CC^.djdz^l^xz^, cosa,
xs étant un élément de la surface de û, a l'angle que la normale externe en xs fait avec Taxe des x^ la fonction N^ ayant la valeur qui correspond au lieu de cet élément, et le 2 s'étendant à toute la surface. On réduira à un S semblable la seconde, puis la troisième intégrale triple. La quatrième peut s'écrire SpcoXo, po) désignant l'élément de masse dxdjdz, et le S s'élendant ici à la masse entière de (I). La somme des quatre intégrales devient alors
SCT{N^COSa + T3COSP + T2COSY)+Spa)X^=:=0,
ou, si Ton remarque que d'après la première des équations (2) la parenthèse n'est autre que X,
ScjX -f- SpcoX^ = o,
c'est-à-dire la première des équations (3) : les deux autres s'obtiendraient de même.
Prenant maintenant la deuxième équation (i), multiplions-la par z^ retranchons-en la troisième équation (i) multipliée par j et traitons comme plus haut; nous trouverons
2cT[(3T3~jT,)cosa+(3N,-jT,)cosp4-(2T,-jN3)cosY] + 2pa)(3Y,-7ZJ .
ou
SCT[c:(T3Cosa+NaCOSp+T^cosY) -j (TaCosa-i-T^ cos3+N3COSY)J-f-2pa)(3Y„— j^ZJ = o,
ÉLASTICITÉ. — ellipsoïde D'ÉLASTICITÉ. 375
OU, en ayant égard aux relations ('^),
Sny(zY-jZ)-+-Spa)(^Y-jZJ==o,
ce qui est la première des équations (4) ; on aurait de même les deux autres. ^
Ainsi les équations (i) et (a) sont suffisantes pour établir réquilibre d'élasticité d'une portion quelconque Q d'un milieu solide.
140. Ellipsoïde d'élasticité (^). — « Les équations déduites de réquilibre du tétraèdre élémentaire remplissent un double rôle : elles fournissent les équations à la surface comme on vient de le voir; en outre elles indiquent de quelle manière varient les forces élastiques en un même point du milieu. » C'est cette dernière propriété que nous allons développer pour en tirer les conséquences importantes qu'elle renferme.
Imaginons donc au point M un tétraèdre infiniment petit, ayant son sommet en M et ses arêtes parallèles aux trois axes coordonnés : appelons, comme précédemment, u l'aire de la face triangulaire opposée au sommet M, et m, n^ p les cosinus des angles que la normale à cette face fait avec les axes des x, jy z. Par le point M menons une ligne représentant en grandeur et en direction la force élastique exercée sur la base nr; et soient jr^,jKo^i ï^s coordonnées de l'extrémité de cette ligne : les formules (2) donnent évidemment
Considérons maintenant les forces élastiques F^, F^, F3 qui s'exercent sur les faces du tétraèdre perpendiculaires aux axes coordonnés, forces dont les composantes sont respectivement N<,T3,T2 ; T3,N2,T^; Ta,T^,N3; et prenons ces trois forces F^,Fa,F3 pour axes
C) Voir Lamé, loc, cit. p. 53.
coordonnés obliques. Les cosinus des angles de la force F^ ou axe
NTT
des j;' avec les anciens axes sont û~\cr)i!r; et Ton a de même pour
les cosinus des angles de Taxe des j^' et de Taxe des s' avec les pre-
miers axes «^,rr,rr et-rr,:Er-, ^; ce qui conduit immédiatement t^ t^ l»j b^ t^ t^
aux relations suivantes entre les anciennes coordonnées et les nouvelles :
•'^'- F. + F, ^ F, ' ^ Trr; T,.rî . N,z,' '^'-"Fr"^"Fr "^'
La comparaisqn de ces valeurs de x^,J^,z^ avec celles que nous avons écrites plus haut donne
Or
Donc
jTj • yj z^
ce qui est Féquation d'un ellipsoïde rapporté à trois diamètres conjugués. « Ainsi, le lieu des extrémités des droites représentant en grandeur et en direction les forces élastiques exercées sur tous les éléments plans menés par un même point M, est un ellipsoïde ayant son centre en M ; et les trois forces élastiques exercées sur trois éléments plans quelconques rectangulaires entre eux sont trois diamètres conjugués de cette surface que Ton appelle ellipsoïde d'élasticité. »
Supposons que les trois diamètres conjugués auxquels se trouve rapportée Téquation (5) de la surface soient précisément les axes de Tellipsoïde, les axes des x\ y\ z' sont alors rectangulaires, comme
ÉLASTICITÉ. — ellipsoïde D'ÉLASTICITÉ.
les axes des x, j^, z, et les neuf cosinus des angles que font entre eux les deux systèmes d'axes doivent vérifier les relations
p2 -+-pf
T! Nî F»^F* '
= H-rri— I
K TJ T!
d'où Ton tire, en éliminant les N^^N^fNg,
(]^-pî)T:
F^, F,, F3 sont actuellement les axes de Fellipsoide ; supposons
la première équation exige que Tj^o ainsi que Tj=:o, et lesdeux dernières que 7^=0.
Les relations qui expriment la rectangularité des deux systèmes d'axes donnent alors
c'est-à-dire que les forces élastiques F^^F^^F,, suivant lesquelles sont dirigés les axes de l'ellipsoïde, sont respectivement perpendiculaires aux éléments plans sur lesquels elles s'exercent. «Ainsi, en tout point d'un corps solide, il existe trois éléments plans, rectangulaires entre eux, sur chacun desquels la force élastique s'exerce normalement. Ces plans sont les sections principales de Tellipsoïde d'élasticité, et
les trois forces élastiques normales, ou forces élastiques principaleSy sont les axes de cet ellipsoïde. »
Soient A,B,G les forces élastiques principales, supposées connues, au point M, Téquation de rellipsoïde d'élasticité rapporté à ses axes est
et Ton a
N,=:A, N,==B, N3=C; T^ = o, Tj^o, Tj^o. Les équations (a*") donnent alors
• et le plan cr a pour équation
il est parallèle au plan tangent à la surface
au point où le diamètre D^, aboutissant en x^^y^,z^ sur Tellipsoïde, vient la rencontrer : K' est une quantité positive quelconque.
« Si les trois forces élastiques principales sont de même signe, c'est-à-dire sont toutes les trois des tractions ou toutes les trois des pressions, la surface (7) est un ellipsoïde, concentrique à Tellipsoïde d'élasticité, ayant ses axes dirigés de même et respectivement proportionnels aux racines carrées des forces élastiques principales; et tout demi-diamètre D^ de rellipsoïde représente une force de même signe que les forces principales. Si les forces élastiques principales sont de signe différent, la surface (7) est Tensemble de deux hyper-
