ÉLASTICITÉ. — DÉTERMINATION DES N ET DES T

Xj = Y^=: I3,

T^, T„ T, étant les dénominations adoptées pour désigner les intensités communes des forces Y3 etZj, Z^ et X3, Xj et Y,. Mais tout en s'équilibrant, ces couples produisent des déformations du parallélipipède analogues à celle que nous venons d^ étudier sur les sections obliques d'un cube étiré ; et, si les angles du parallélipipède deviennent C'A'E'=?^-<p, B'A'E'=--x» B'A'C'=--4;, on a

(17) !Ta = ixx,

On peut exprimer aussi ces forces en fonction du déplacement moléculaire. Pour cela il suffit d'écrire les cosinus des angles des arêtes modifiées avec les axes. Prenons par exemple Tarête A'B': les coordonnées du point A étant toujours x^jy z^ celles du point B étaient x-\-dx,j^ z avant toute déformation; par la déformation, les coordonnées du point A sont devenues

A' [x-^-^j jr-^tiy ^+0,

«t celles du point B

Pour avoir les cosinus des angles de A'B' avec les axes, divisons les projections orthogonales de cette ligne, c'est-à-dire les différences des coordonnées de ses extrémités, par la longueur de la

(0 Considérée comme Z3, la force T4 agit dans la direction AE tangeotiellement au plan ÂBEF ; elle a donc pour effet de changer Tangle droit, que faisait la normale au plan AG avec la direction de la force AE, en un angle aigu

C'A'E' = ç. Si Ton prenait Tj comme représentant Y3, la conclusion serait

la même.

ligne, laquelle est, abstraction faite des infiniment petits du deuxième ordre, (i-h~jdx. On trouve ainsi, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur,

dr,

dx^

dx '

dt:

djr'

dz'

d^ dz'

les cosinus des directions A'C, A'E' s'obtenant de la même manière.

D'après cela, le cosinus de Tangle que font entre elles les deux arêtes A'C, A'E' est, si Ton néglige toujours les quantités d'ordre supérieur,

,1: . dr. dl^

Or cosf ---9 j=sin9 peut être pris comme égal à 9 à cause de la petitesse de l'angle de déplacement ; on a donc

dz dr ' et de même

'^^'^dx'^dz'

dj dx Les composantes tangentielles sont dès lors

JT,=-.(

dz dy) '

(■») i-'Mè-m-

ÉLASTICITÉ. — LOIS DE LÀ DÉFORMATION. 39 i

Efi résumé^ dans les corps solides isotropes, les composantes normales N et les composantes tangentielles T des forces élastiques exercées sur trois éléments plans respectivement perpendiculaires aux x, aux^ et aux z, sont

Ci) {n,=).«+»,^, (,«| ,T.=,(g+g),

X et [JL étant deux constantes spéciales à chaque corps et que nous avons appelées les constantes de constitution, ou, d'après M. de Saint- Venant, X et {x étant une seule et même constante de laquelle dépendent uniquement toutes les forces élastiques; 6 est la dilatation cubique

rf£ ^ ^

^ ^' dx djr dz'

145. LiOls de la déformation. — Les six fonctions N, T doivent vérifier les trois équations aux différentielles partielles du premier ordre déduites de Féquilibre d'un élément parallélipipédique

rfN, rfT, rfT, V

y r/Tj rfNa rfT, -,

rfT. cHT, rfNa „ On a donc, en ayant égard à la valeur (i5) de 6,

OU, en désignant par le signe A*F le paramètre différentiel du se-

d^F rf*F d^F cond ordre Ae la fonction F(*), 3^"*"Tli"^5pi»

(19*»') { (X4-iA)^4-|xASî4-pY„-:.o,

équations aux différentielles partielles du deuxième ordre, qui expriment les lois du déplacement moléculaire dans un milieu isotrope légèrement déformé.

En recourant de nouveau à la valeur (i 5) de 0, on peut encore écrire ces équations

rfO \dr dx) \dx dz)

\ dy dz }

(X-^a,x)^+,.| v".> -/ ^-^-/ l+pX =0,

+ pY.=o,

,^ . rfO I \dx dz) \dz rf r / I . ry

Si les forces extérieures X^, Y^, Z^, qui le plus souvent se réduisent aux composantes de la pesanteur, proviennent d*une manière

(*) Le paramètre différentiel du premier ordre est

On Térifie aisément que les deux paramètres du premier et du second ordre conservent les mêmes formes et les mêmes valeurs numériques en chaque point, pour tout système d'axes coordonnés rectangulaires.