C. — APPLICATION DES FORMULES A QUELQUES CAS SIMPLES

146. Verge tirée dans le .sens de sa longueur. — Pour terminer, nous appliquerons ces formules à quelques cas simples. Nous arriverons ainsi à des relations dont quelques-unes nous sont déjà connues, et qui permettraient de déterminer X et \l. si l'on pouvait mesurer exactement les coefficients accessibles à l'expérience.

Considérons en premier lieu le cas d'une verge soumise dans le sens de sa longueur à une traction P, par chaque unité de surface de ses deux bases horizontales. Il y a alors étirement parallèlement aux arêtes verticales, contraction uniforme parallèlement aux

bases; par suite, les projections du déplacement d'un point quelconque (jr, y y z) sont

C et A étant deux constantes à déterminer. On voit aisément que 0 est

et que les équations de l'équilibre d'élasticité (19) sont satisfaites si Ton fait absiraction de la pesanteur. En se reportant aux valeurs (14) et (18) des N et des T, on a tous les T=o et

N,=N2=:X(A-2C)-2li.C, et N3=:X(A-2C)-h2|JlA.

Or Nf, N), partout les mêmes, sont nuls à la surface latérale de la verge ; N3 est partout égal à P ; on a donc les deux équations

X(A— 2C) — 2[JlC=0,

X{A-2C)4-aHAr=:P; d'où Ton tire

|Jl(3X-+-2JJl) * 2jJL(3X-f-2p.)

Si donc on appelle a l'allongement de l'unité de longueur de la barre tirée par un poids égal à i , ou coefficient â! allongement longitudinal^ on a

IH — (22) a = . ^

3X4-2|ji*

équation que l'on aurait pu écrire immédiatement d'après la valeur connue (12) de jF, puisque^ suivant la définition précédente,

De même, c étant le coefficient de contraction transversale ^ c'est-

ÉLASTICITÉ. — SOLIDE COMPRIMÉ DANS UN SENS. 39o

à-dire la contraction de Tunitéde longueur dans un plan perpendiculaire au sens de la traction, sous un poids égal à i, on a

I A 2[JL

et, en prenant le rapport -, on retrouve pour a la valeur connue

a 2(a 4- |Ji)

Enfin la dilatation cubique, rapportée àVunité de pression,, est

147. Solide comprimé dans un sens et maintenu invariablement dans les deux autres. — Considérons, en second lieu, un parallélipipède comprimé dans une seule direction, parallèle aux z, par une force — P, rapportée toujours à Funité de surface, les faces latérales étant maintenues de manière à empêcher toute dilatation transversale. On a alors

par suite

Les T sont encore nuls et les N donnent, si Ton appelle — Q la force qu*il faut appliquer sur les faces latérales pour les maintenir immobiles,

XA'=-Q, (Xh-2ijl)A'=-P.

On voit ainsi que la force Q n'est qu'une fraction r (*) de la

(*) Cette fraction peut s'écrire et par conséquent, o étant < 7 , elle est

elle-même < 1 . â ~~

force P. Et Ton trouye pour le coefficient de raccourcissement à et pour le coefficient de compression cubique 0'

XH-afji'

XH-2[i.