Solide pressé uniformément sur toute sa surftu^e

— Lorsque le solide est soumis à une pression uniforme — P sur toute sa surface, il se contracte en restant semblable à lui-même. On a donc

et par suite

Les T sont encore nuls, les N se réduisent tous les trois à N = (3X-H2[jl)A'', et celte composante normale, partout la même, n'est autre que - P,

(3X-f-2iJL)A"=-P; par conséquent la contraction linéaire est

3X4-2ji.

et la contraction cubique

Mais 6' est précisément le coefficient de compressibilité cubique k. On a donc

et Ton voit que la compressibilité cubique d*un corps est le triple de la yariation de volume (24) d'une verge de la même substance tirée

dans un sens seulement et libre de se contracter transversalement,

et le -=i3(i— 2(j) de rallongement a de la même verge (aa),

(a6<«-) Al=:3(i— 2ff)a.

Si donc on connaissait a, ou bien -, on pourrait de la simple mesure de a déduire k. Mais en général la vraie valeur de a est incertaine.

149. Baveloppe sphérique pressée différemment sur ses deux fttces. — Nous étudierons encore le cas d^une enveloppe sphérique soumise à des pressions normales uniformes intérieurement et extérieurement, mais différentes sur les deux faces. Soient :

R le rayon de la paroi interne,

R' celui de la paroi externe ;

P la pression intérieure,

P' la pression extérieure.

Considérons dans TépaisseurdeTenveloppe une molécule {^c^j^z)

située à une distance du centre r=)Ja^-hj^-^z'^. Sous Tinfluence des pressions intérieure et extérieure, cette molécule éprouve un déplacement dirigé, par symétrie, suivant le rayon : soit p ce déplacement. En appelant toujours Ç, t], ^ les projections du déplacement sur les trois axes coordonnés, on a

ç^rp-, t; = p--, C:=p-;

et le problème se réduit à trouver la fonction p de r satisfaisant auxéquations(i9), dans lesquelles on suppose X^=o, Y^=o, Z^=o,

en négligeant Tinfluence de la pesanteur. Or, on vérifie facilement que la fonction cherchée est

a et b étant deux constantes , que l'on déterminera d'après les données.

Si, en effet, ou admet celte valeur de p, on a

-. hx h Y hz

et par suite

d\ __ h o^^ ^^__ 'i^^.y r/; ^hxz

dx r^ /•* ' dx 1^ ' dx~ r*

d\ ^bxy ^^*^^* -xh^ ^^ o*r^

/^ 1^ dj r^ z** rfj

dz /"^ ' rf^ r* ' rfz H /•*

Donc

rfÇ rftj rfÇ , dx aj dz

c'est-à-dire

6=const., et par conséquent

Je rfe rf6

^x ' rfj ' dz

Il ne reste plus dans les équations (19) que les seconds termes ; mais si Ton calcule les dérivées secondes

d^c hx ^ hj?

dx^ ^ r* r^

d?\ o^x ^ hxz^ dz^ n r'

on voit que ces seconds termes s'annulent aussi. Les équations sont donc satisfaites.

Ayant ainsi l'expression (27) du déplacement, cherchons la force élastique. Puisque suivant tous les rayons le déplacement est le même et la force identique, considérons le rayon dirigé suivant Taxe des X :

Les T sont nuls et N prend la valeur

N=(3X+3|x)a-4ix^.

Sur la paroi interne, on a

,=R, N=-P, et sur la paroi externe

d'où les deux équations

P=-(3X+a(A)«H-4iijp.

et

P' = — (3X 4- ajt) a + 4(A Kg,

déterminant a et b: