Verge cylindrique tordue normalement & Taxe

— Une verge AO saisie à Tune de ses extrémités A dans un support inébranlable est sollicitée à l'autre extrémité 0 par un couple P, — P agissant sur le bras de levier CD^/, perpendiculaire à la

Fig. 2o8

direction de la verge. Sous l'action de ces forces P, — P la verge se tord et, le. bras de levier CD ayant tourné d'un angle COC que Ton appelle angle de torsion, un équilibre s'établit, les réactions élastiques développées par la torsion produisant alors le même effet qu'un couple de moment égal et de signe contraire au moment P/ du couple P, — P : ce couple par lequel on peut ainsi représenter

ÉLASTICITÉ. — VERGE CYLINDRIQUE TORDUE NORMALEMENT A L*aXE. 403

l^ensemble des réactions élastiques de la verge se nomme couple de torsion. Oti emploie aussi souvent l'expression de force de torsion pour désigner la force qui, agissant à rextrémité d'un bras de levier égal à Tunité, produirait le même effet que le couple de torsion. Etudions théoriquement la torsion de cette verge en nous limitant toujours aux petites déformations. Chaque section droite du cylindre tourne autour de Taxe d'un certain angle (*), variable avec la section considérée depuis 6 pour l'extrémité directement sollicitée par le couple P, — P jusqu'à o pour l'extrémité fixe. Mais si nous considérons deux sections voisines, les molécules situées primitivement sur une même génératrice du cylindre se trouvent, après la torsion, sur une ligne faisant avec leur première direction un angle o, qui est le même quel que soit le filet considéré et à quelque hauteur qu'il se trouve; en d'autres termes, un filet de molécules parallèle à l'axe forme après la torsion une hélice inclinée sur l'axe de l'angle 9. Cet angle 9 est manifestement l'angle de déplacement des sections droites du cylindre les unes par rapport aux autres ; nous avons donc

P étant la force élastique, rapportée à l'unité de surface, qui agit sur la section ^S du filet considéré, tangentiellement à cette section et dans la direction du déplacement, ou, en appelant p l'intensitô de la force PrfS qui agit réellement sur l'élément rfS,

Mais, si l'on développe le cylindre de rayon p sur lequel se trouve le filet considéré, on a immédiatement, en désignant toujours par / la longueur de la verge et par 6 l'angle de torsion,

(39) tg?=^,

(^) Nous négligeons la déformation de la section. (Voir, pour le calcul exact, DE Saint- Venant, Mémoires des savants étrangers ; 1855.) (2) On a

N| = o, No^o, N3 = o;

T<=fx?, T3 — 0, T3=o,

OU, Tangle <p étant très petit,

On a donc

=^^dS,

Pour l'équilibre, la somme des moments de toutes les forces /> agissant sur chaque élément d'une section quelconque du cylindre doit être égale au moment C du couple qui produit la déformation. On doit avoir

S/>p=C, ou

2;i*ÇrfS-C,

OU, en prenant rfS=2içprfp,

ij 1 2::p'rfp = C,

ou enfin

formule qui contient toutes les lois de l'élasticité de torsion et d'après laquelle la constante jx est aussi souvent appelée coefficient (le torsion.

161. Barre prismatique fléchie perpendiculairement & sa longueur. — La flexion est le mode de déformation à la fois le plus fréquent et le plus complexe. Nous nous bornerons ici à examiner le cas le plus simple, celui d'une barre prismatique saisie dans un étau à l'une de ses extrémités et sollicitée à l'autre par une force P perpendiculaire à sa longueur. Soient / cette longueur, c l'épaisseur, c'est-à-dire la dimension transversale parallèle à la direction de la force P, et h la largeur, perpendiculaire à