ERREUR MOYENNE DES RÉSULTATS

par calculer Terreur moyenne des observations. A cet effet, on substituera dans les m équations primitives les valeurs trouvées

pour x^jr^ z , on aura m résidus e,, ej, ej et Terreur moyenne

des obseryations sera

î étant le nombre des inconnues. Nous prenons m — i pour dénominateur, parce que, les m équations ayant déjà fourni i inconnues, il ne reste plus en réalite que m — i relations pouvant manifester des contradictions : les erreurs doivent donc être réparties entre ces m — i équations seulement.

Cela fait, il .est aisé de calculer Terreur moyenne de chaque résultat (^). Soit en effet, d'une manière générale, U une fonction connue quelconque des quantités observées M, N, P

Lorsque nous mettons pour M, N, P,... des valeurs approchées,

m, /i, p pour lesquelles les erreurs à craindre sont ±E, ±E'

±E'...., Terreur à craindre sur U est ± jB ; et Ton a

Elevons au carré en remarquant que les doubles produits disparaissent à cause du double signe de E, E', E"".... et prenons la racine carrée, nous aurons

Cette formule est fondamentale dans la théorie des erreurs : elle permet d'évaluer dans tous les cas la précision d'une fonction quelconque de quantités observées.

(•) Voir Paye, loc. cit^ p. 156.

n PRÉLIMINAIRES. — ERREUR MOYENNE DES RÉSULTATS.

Elle montre, par exemple, que si l*on a mesuré isolément deux parties M et N d*une somme avec des erreurs moyennes respectires E et E', Terreur à craindre est

On verrait de même que Terreur à craindre sur la surface d*un rectangle MN est

J&=±^(NE)*4-(ME7; etc.

Appliquons la règle au cas actuel. Pour avoir Terreur de x en

fonction des erreurs des données /i, n\ n , différencions x

successivement par rapport à chacune de ces données, faisons la somme des carrés de toutes ces différentielles, en y remplaçant dn^,

dn^^ dn^ par leur valeur moyenne E*, et prenons la racine

carrée de cette somme de carrés. Opérons de même pour y^

pour z On voit sans peine que cela revient à remplacer dans les

équations finales x, j^ z par x\ j\ z , à résoudre n fois

ces mêmes équations avec les seconds nombres remplacés par

I, o, o pour x\

o, I, o pour/,

0,0, I pour z\

et à prendre pour erreurs moyennes de a:, j-, 2? , • • .

E\/a:, EV7, Ev/?, -7, — ,, -? sont les poids des inconnues, si, toutes les observations

X jr z

étant supposées de même valeur, on prend pour unité de poids le poids de Tune d'elles.

13. Application de la méthode des moindres carrés & un exemple. — Comme exemple de la méthode des moindres carrés, j'emprunterai encore à M. Paye la détermination de la Ion-