HYDROSTATIQUE. — SOMME DES PRESSIONS SUR LES PAROIS

lo* Somme des pressions sur les parois d'un vase. — Prenons trois axes rectangulaires, les axes des x et des y étant situés sur la surface même du liquide et Taxe des z étant dirigé vers le bas.

Soit s un élément de la paroi; szd est la pression sur cet élément, pression normale à l'élément. Décomposons-la en trois forces parallèles aux axes coordonnés

szdco^cLy szd co%^j szd cosy,

a,^,Y étant les angles de la normale à la surface avec les axes.

Par le contour de l'élément s conduisons un cylindre parallèle à Taxe des x. Ce cylindre découpe sur la partie opposée de la paroi un élément s sur lequel la pression est s'zd, et par suite la composante de la pression suivant Ox esi s^zd cosa, a' étant Tangle que fait la normale à la surface avec Taxe des x. Mais s cos a =— / cos % = (/, c'est-à-dire la section droite du cylindre ss'. Donc, les éléments s et s étant supposés invariablement liés entre eux par la résistance de la paroi, les composantes suivant l'axe des x se détruisent.

Il en est de même des composantes suivant l'axe des jy puisqu'il existe toujours un élément / sur lequel la composante de la pression parallèle à oy est égale et de signe contraire à szd cosj^.

Menons enfin par s un cylindre ss"' parallèle à l'axe des z ; ce

cylindre découpe sur la paroi (ou sur la surface libre du liquide) un élément s*" sur lequel la pression est

z^ étant la distance de s*^ au niveau du liquide. La composante verticale de cette pression est

s'^z^dco^^'" ,

Or j'^cosy''^ — «^cos y; on a donc pour la résultante de deux composantes verticales

a"' étant la section droite du cylindre jj'". Cette résultante est égale au poids du liquide contenu dans le cylindre ss". Si Ton fait la somme des pressions supportées par tous les éléments 5, en ayant soin de remplacer chaque pression par ses trois composantes, toutes les composantes horizontales se détruiront, et il restera un système de composantes verticales se groupant deux par deux en une force verticale égale au poids d'un cylindre tel que ss'". Toutes ces forces parallèles ont une résultante unique , égale au poids du liquide contenu dans le vase.

Sans doute ce résultat était évident à Tavance. Cependant la démonstration qui précède n'est pas inutile. Premièrement, elle nous fournit une confirmation indirecte mais absolument précise de la yaleuvshd de la pression sur un élément. En second lieu, elle montre le mécanisme par suite duquel la pression sur Tensemble des parois est toujours égale au poids du liquide contenu dans le vase, tandis que la pression sur le fond seul du vase peut être beaucoiip plus grande, ou généralement très différente. Il y a là, en effet, une sorte de contradiction apparente, célèbre sous le nom de paradoxe hydrostatique, et que l'analyse précédente réduit à néant.

Dans un vase contenant un liquide, les pressions horizontales se détruisent deux à deux, d'où l'équilibre. Mais si l'on enlève une portion de la paroi, si par conséquent on supprime la pression qui s'exerçait sur cette portion, la pression sur la paroi opposée fera

HÏDBOSTATiOUB. — SOMME DES PRESSIONS SUR LES PAROIS. S53 sentir son effet, et l'équilibre sera détruit. On s'eiplique ainsi

Fig. ïg» Fig. »93

le recul du chariot ou du /loueur à réaction, le relèvement du

pendule hydraulique, la rotation du tourniquet hydraulique (');

(') On construit très simplement un tourniquet hydraulique ou moyen d'un siphon en verre, dont on recourbe à angle droit l'extrémité de la grande branche et dont on engage la petite branche sur une lige fixée verticalement dans un vase plein d'eau. Aussitôt qu'il est amorcé, le siphon se met à tourner autour de son axe (Housseau, Catalogue des in$lrummU deïUniversilÉ de Bruxelles à l'Expoiitioii ttationale de 1880)

si toutefois on se rend aisément compte du sens du phénomène, il faut remarquer que, le liquide étant en mouvement, la grandeur de la force agissante ne saurait être déduite de ce qui précède. Nous verrons plus loin qu'elle est égale à celle que produirait au repos une hauteur de liquide sensiblement double de celle qui agit ici.