Ascension d'un liquide dans un tube qu'il mouille

— Un liquide à l'intérieur d'un tube qu'il mouille étant en réalité

(*) Laplacc a calculé la force, Tcr^p^Hcos e, nécessaire pour triompher

de cette cohésion, et Gay-Lussac a mesuré cette force sur divers liquides avec un disque de 11 8™°^, 366 de diamètre. Voici les résultats de Fexpérience comparés à ceux de la théorie, la constante H, qui entre dans l'expression théorique, étant déterminée par la hauteur à laquelle le liquide s'élève dans un tube de 1 millimètre de diamètre :

Poids théorique. Poids obaenrè.

Eau 598,587 598,40

Alcool de densité 0,820 3i ,144 Si ,08

— — 0,860 Sa ,860 3a ,87

— — 0,94a 37 ,a83 37 ,i5 Essence de térébenthine. 34 ,35o 34 , 10

(*) L'épaisseur de cette couche est cependant de moins d^un micron dans la plupart des liquides (264).

au contact d'un tube du même liquide, sa surface libre se raccorde nécessairement sous un angle nul avec la paroi intérieure, en d'autres termes tangle capillaire est nul. Tout le long de lu ligne de raccordement s'exerce la tension superficielle, laquelle est égale à F par unité de longueur et dirigée parallèlement à Taxe du tube. Donc, p étant le périmètre de la section de raccordement, ou a parallèlement à Taxe une force F;?, qui tire la couche superficielle vers le haut; pour l'équilibre, cette même couche doit être tirée Ycrs le bas par une force égale : le liquide s'élèvera donc dans le tube jusqu'à ce que le poids de la colonne verticale soulevée soit ¥p. Loi deJurin. — Si le tube est un cylindre vertical à base circulaire, l'équation de l'équilibre sera

F.2icr=7cr^At/,

r étant le rayon du tube, h la hauteur d'un cylindre équivalent au volume du liquide soulevé, ou ce que nous appellerons, pour abréger, la hauteur moyenne du liquide dans le tube, d la densité du liquide. Cette équation peut s'écrire

pour un même liquide les hauteurs moyennes sont en raison inverse des rayons des tubes; c'est la loi dite habituellement loi de Jurin (^),

bien qu'elle soit due à Borelli ('). En outre, le produit constant rh

est égal à —7- , ce qui donne un moyen très exact et souvent employé de déterminer la constante capillaire F.

Enfin, lorsque l'équilibre existe, la hauteur z du liquide audessus du niveau extérieur fait équilibre en chaque point à la pression N = F f -^ 4- ^j; on a donc

(*) JoRiN (iames)» médecia, membre de la Société royale de Londres, J^hil. Trcms. ; 1718.

(*) Borelli, loc, cU.

Telle est Téquation de la surface du liquide dans le tube. On Yoit que dans le cas actuel cette surface est nécessairement concave.

Laplace avait déduit tous ces faits de sa théorie, et depuis, plusieurs géomètres ont repris cette question.

Démonstration de M. Bertrand. — Bien que nous nous proposions de montrer ici que la considération de la tension superficielle suffit à expliquer les phénomènes capillaires, nous indiquerons la méthode très simple à Taide de laquelle M. Bertrand obtient l'expression du volume du liquide soulevé dans un tube cylindrique vertical.

Cette méthode, qu'il a appliquée à un exposé complet de la théorie de Gauss, repose sur une propriété remarquable des surfaces, démontrée par M. Bertrand dans son mémoire : Sur les surfaces isothermes orthogonales (*).

Soit sur une surface quelconque MABG un rectangle élémentaire, découpé par quatre lignes de courbure ; les normales à la surface

Fig. 341

en M et en A se coupent en un point 0, et Ton a MA=Rô, R étant

Tun des rayons de courbure de la surface au point M, et d Tangle

MOA; les normales à la surface en M et B se coupent en 0'^ et

Ton a de même MB = R'ô', R' étant l'autre rayon de courbure de

la surface au point M, et 0' l'angle MO'B. L'aire du rectangle MABC

est donc

u) = RR'60'.

Prolongeons toutes les normales à la surface vers Textérieur d'une

(<) Bertrand, Journal de Liouville, IX, 117; i844.

même quantité très petite e; nous formons ainsi une seconde surface parallèle à la première, sur laquelle les normales en M,Â,ByC marqueront les quatre sommets d'un rectangle élémentaire, et Faire de ce nouveau rectangle sera

w'=(R+e){R' + e)ôe', ou, si Ton néglige les infiniment petits du deuxième ordre,

co'=a)4-e(R4-R')eO',

OU enfin, si Ton remplace 00' par sa valeur tirée de la première expression,

Gela posé, prenons un tube cylindrique vertical dans lequel s'élève un liquide, et considérons la surface du liquide dans le tube

- (R"^Rr

Soient a> un élément de cette surface et 9 Tangle que fait la normale à rélément avec la verticale; le volume du cylindre projetant cet élément sur le plan de la surface Ubre du liquide dans le vase est ziùcos^y et le volume total du liquide soulevé dans le tube est

Construisons une seconde surface en prenant sur les normales à la surface capillaire une même quantité e à Tintérieur du liquide. A chaque élément (i> de la première correspondra un élément tù' de la deuxième; et, d'après le théorème de M. Bertrand, on aura

a)'=(«)4-<i)ef-g4-^j,

VioLLE, Cours de physique. — I. 40

PRINCIPALES PROPRlKTfiS DES L1QU10SS.

(i>ez(

On a donc

et, par suite,

V = —j (Sco' cos 9 — 2(1) cos ç) .

Or S(i> cosf , ^îù' cos f sont les projections horizontales de la surface libre du liquide et d'une surface infiniment voisine A'B\ limitée aux normales menées suivant le contour de la première. La diffé-

Flg. 343

rcnce de ces deux projections est égale à la projection horizontale de la zone A'm de la deuxième surface extérieure au tube, c'està-dire à ;7ecos6, p étant le périmètre du contour de raccordement, et 0 Tangle capillaire. On a donc finalement

V=-j/>cosô.

Si la section du tube est un cercle de rayon r, et si Ton désigne par h la hauteur d'un cylindre de rayon r et de volume équivalent à celui de la colonne soulevée, la relation précédente se réduit à

/?r=— r-cos9; a

et, lorsque 6 = 0, nous retrouvons notre formule

Ar= -3-.

Ayant de comparer cette formule à Texpérience, quelques remarques sont nécessaires.

Remarques. — La hauteur moyenne h n'est pas directement observable; ce que Ton mesure, c'est la distance h^ du point le plus bas du ménisque au niveau général du liquide : h est égale à cette hauteur h^ plus la hauteur d'un cylindre équivalent au volume compris entre le plan tangent à la base du ménisque et la surface libre de ce ménisque. Dans les tubes très étroits, la surface capillaire peut être confondue sans erreur sensible avec la surface d'une demi-sphère, le volume du ménisque v est égal à

T:i^,r — TîTrH = Trir7^. On a donc

^7^^=1:7^^^ 4- TTicr',

c'est la correction de Laplace.

Pour les tubes qui ne sont pas très étroits, cette correction est insuffisante. Poisson {*) l'a modifiée par l'addition d'un nouveau

terme — :r-5(log 4 — 0» ^^ ^2= "r (218).

Hagen (^) a proposé de substituer au cercle de Laplace une ellipse dont le grand axe serait horizontal; on a alors

(*) Poisson, loc. cit,, p. 112.

(') Hagen, AôAandiungren der Académie d&r Wissenschaften in Berlin; 1845.

PHINCIPALBS PROPRIÉTÉS DBS LIQUIDES.

3fl«r

b étant le petit axe de Fellipse ^"3 — ;j- Éd. Desains a développé

cette méthode, et a montré qu*elle convenait très bien tant que le rayon du tube ne dépasse pas 3 ou 4 millimètres.

Au delà, ces appréciations deviennent insuffisantes, et un calcul exact est nécessaire. En intégrant Téquation générale de la surface capillaire pour les tubes cylindriques verticaux et à section circulaire, M. Quet a obtenu une série qui donne le rapport de la hauteur moyenne à la hauteur observée, en fonction de cette dernière quantité et du rayon du tube. On peut donc, dans tous les cas, comparer avec certitude Texpérience à la théorie.

On remarquera enfin que r est le rayon du tube au niveau où s^arréte le liquide. Dans la démonstration, la colonne considérée est le cylindre vertical ABai, projetant le ménisque AB sur la surface horizontale du liquide extérieur. Il résulte de là que la hau-

teur à laquelle un liquide se maintient dans un tube en entonnoir ABCD ne dépend que du diamètre du tube dans la région de la surface terminale AB, et nullement des dimensions de la partie inférieure CD (Jurin).

Expériences de Gay-Lussac. — La première observation de l'ascension capillaire de Teau parait avoir été faite par Léonard de Vinci. Depuis lors, bien des physiciens s'attaquèrent à cette question ; mais les expériences ne s'accordèrent pas entre elles, et quand Laplace voulut comparer sa théorie aux faits, il dut prier Gay-Lussac d'entreprendre de nouvelles recherches dans des conditions meilleures. La discordance des travaux antérieurs provenait manifestement de ce que, la surface interne des tubes étant habituelle-

CAPILLABITfi. — ASCENSION D'UN LIOUIDB DANS UN TUBE. 6!9 ment recouverte d'un voile très mince de matière étrangère déposée sur le Terre, on avait en réalité fait usage des tubes les plus divers. Gay-Lussac opéra toujours avec des tubes du liquide même à expérimenter. Pour cela, il commença par laver soigneusement à l'alcool ou aux acides ses tubes de verre, et les plongeant dans le liquide à étudier, il fit monter ce liquide par aspiration jusqu'à la partie supérieure du tube : une gaine liquide adhère alors au tube sur toute sa surface, et c'est dans cette gaine que le liquide glisse pour se fixer au niveau qui convient. Le tube de verre ne sert plus ainsi que de support k un tube liquide, à l'intérieur duquel le liquide se meut presque sans frottement. Dans ces conditions, l'angle capillaire est nul, et la hauteur moyenne est la plus grande de toutes celles que le liquide peut atteindre dans des tubes de même diamètre, non préparés. L'efficacité des moyens employés par Gay-Lussac fut telle que dans ses expériences tes ascensions se montrèrent à peu près le double de celles que Newton et plus tard Haûy avaient observées.

Pour mesurer la hauteur du liquide soulevé, Gay-Lussac fixait le

tube perpendiculairement k une planchette reposant sur les bords bien dressés d'une éprouvette à moitié pleine du liquide. Il aspi-

rait par la partie supérieure du tube et laissait redescendre le liquide, qui s'arrêtait à un certain niveau : au moyen d'un cathélomètre il relevait ce niveau. Puis, repoussant vers le bord de Téprouvette la planchette avec son tube, il lui substituait une plaque traversée par une vis dont il amenait la pointe à effleurer la surface du liquide; il dégageait cette pointe en enlevant du liquide, et la visait à son tour au cathétomètre. Lia différence des deux lectures donnait Tascension dans le tube.

Pour avoir le diamètre nr du tube, il y introduisait une colonne de mercure de densité d^ en mesurait exactement la longueur /, puis la pesait : soit p le poids trouvé. Si Ton suppose la colonne terminée par deux hémisphères, la formule

^^(/ar)+4^,-»=g

donne rapidement le rayon r: on considère d'abord la colonne comme cylindrique, on résout donc Téquation

et on corrige ensuite par approximations successives.

Gay-Lussac ne fit ainsi qu'un petit nombre d'expériences. Il était important d'opérer dans des conditions plus variées (^).

Expériences (T Edouard Desatns. — Edouard Desains (*) reprit ces mesures et y apporta la plus scrupuleuse exactitude. Il supprima l'éprouvette à travers laquelle les visées peuvent être altérées par réfraction ('), et la remplaça par une soucoupe pleine d'eau jusqu'au-dessus des bords préalablement graissés à cet effet. Dans la

(*) Gellcrt a fait quelques expériences sur Télévation de Teau dans des tubes de verre prismatiques, rectangulaires et triangulaires. Elles confirment la loi suivant laquelle les hauteurs sont inversement proportionnelles aux lignes homologues des bases semblables; mais elles n'offrent pas des garanties suffisantes pour qu'on puisse en comparer utilement les résultats à la théorie. (Gellkrt, Commentarii Academiœ scientiarum Petropolitanœ, XII ; 1 750.)

(*)ËD. Desains, Ann. de chim, et dephys. (3), LT, 433; 1857.

(*) On évite celte cause d'erreur en disposant l'appareil comme le montre la

CAPlLLAAlTfi. — ASCSHSION D'UN LIQDIDE DANS UN TUBE. 631

soucoupe plongeait le tube, porté par un pied à vis calantes, et placé Terticalement par alignement sur deux âU à plomb situés dans deux

azimuts à peu près rectangulaires. On relevait au cathélomètre successivement la partie inférieure du ménisque dans le tube et la surface de l'eau dans la soucoupe ; pour cette dernière visée, ou se repérait sur quelques poussières flottaal au-dessus du liquide, ou mieux on approchait de la surface une pointe : ou visait successivement la pointe et son image : la position moyenne de la lunette donnait le niveau de l'eau. Les tubes furent toujours soigneusement lavés aux acides, à la potasse, à l'alcccl et à l'eau : on reconnaît que le. tube est convenablement lavé et reste bien garni à l'intérieur d'un tube liquide quand on obtient des séries très concordantes. Les diamètres des tubes, dont le rayon était compris entre - millimètre et i milli-

Agure 346, de maDière k pouvoir relever directement et le niveau du liquide

dans le tube et ta pointe supârieure d'une fis, de longueur connue, touctiant par ea bas la surface libre du liquide dans le vase.

6n PRINGIPALBS PROPRIÉTÉS DBS LIQUIDES.

mètre, furent mesurés par la méthode de Gay-Lussac, les deux ménisques étant remplacés par des cylindres équivalents d'après la table de Danger. Pour les tubes plus larges, on procédait un peu différemment : le tube était fermé à un bout, on y versait de Teau, on le pesait ; puis, plaçant le tube verticalement devant un cathétomètre, on visait la partie inférieure du ménisque ; on ajoutait de Teau, on visait la partie inférieure du nouveau ménisque. La longueur ainsi obtenue est exactement celle d'un cylindre équivalent à la colonne liquide, la concavité de Tun des ménis* ques compensant la convexité de l'autre. Il suffisait donc de reporter le tube sur la balance pour avoir le poids de ce cylindre, et par suite son rayon. On avait soin d'ailleurs de n'opérer que sur des tubes très sensiblement cylindriques, et de faire les mesures vers la partie du tube où s'arrêtait ensuite le liquide soulevé dans les expériences sur l'ascension capillaire, le seul diamètre utile à considérer étant celui du tube au point même où se fixe le liquide. Pour les tubes très fins, on contrôlait les mesures faites par la méthode de Gay-Lussac en détachant un petit tronçon à chaque bout du tube, et en mesurant au microscope avec la chambre claire la section droite de ces tronçons. Cette section n'étant pas exactement circulaire, on l'assimila, comme l'avait fait Poisseuille (263), à une ellipse dont on mesura les deux axes : la moyenne géométrique donna le rayon moyen de la section. Ayant le rayon moyen à chaque extrémité, on en déduisit le rayon moyen au milieu du tube. Ce rayon ne différa pas de li" de celui qu'on avait trouvé par la méthode de Gay-Lussac. Voici d'abord les résultats relatifs aux tubes modérément étroits, y compris les deux observations de Gay-Lussac rapportées dans la Mécanique céleste de Laplace. En regard sont les valeurs que l'on a calculées en prenant F = 7,55 et en remplaçant la section méridienne du ménisque par une moitié d'ellipse. Toutes les mesures furent effectuées ou réduites à la température de S^'^S.

Obserrateiir.

Rayon.

Haut. obserTée.

Bkut ealenlé*.

Ed. Desains.

©""yeao

a4-Ti4

Gay-Lussac.

Ed. Desains.

-ho ,048

L*accord du calcul avec robservation est très satisfaisant, et montre que pour les diamètres inférieurs à 9 millimètres on peut, sans erreur sensible, confondre la courbe capillaire avec une ellipse.

En adoptant la valeur F = 7"55 et la formule d'approximation elliptique, on trouve que dans un tube dont le diamètre est de I millimètre Télévalion capillaire à 8**,5 est 3o""o5.

La loi de Jurin s'est encore parfaitement vérifiée pour les tubes très fins, sensiblement elliptiques, sur lesquels a opéré Éd. Desains. Si en effet de la hauteur observée (^), augmentée de la correction de

Laplace, ^ r, on conclut le rayon moyen du tube, on obtient un

nombre identique au nombre observé, comme le montre le tableau suivant :

Haut, obienr. à 8* ,5. Rayon observé. Rayon calculé. A

76'"'Joo2 o^'Jaoi o'"'Î20o — o"7ooi

206 ,969 o ,074 o 1O73 — o >ooi

Ces mesures ont une importance spéciale, en ce qu'elles prouvent que le rayon d'activité moléculaire est négligeable par rapport à o'^'?o6, le rayon de courbure le plus fin à l'extrémité du petit axe de l'ellipse. Puisqu'en effet la théorie s'applique encore exactement à ce petit tube, il faut : i"" que l'épaisseur de la gaine liquide intérieure soit petite relativement à o"';o6 ; a* que, comme le supposait Laplace, la force agissante soit proportionnelle au périmètre du tube, lors même que ce périmètre est courbé sous un rayon de o""o6 seulement.

Expériences de Simon {de Metz). — Pour des diamètres encore plus faibles, l'épaisseur de la gaine liquide cesse d'être négligeable. Tel est le cas des tubes employés par Simon (de Metz) (*), et dont le rayon descendait à 3**. Après avoir cherché à obtenir des résul-

(') Dans un cylindre à base elliptique, la hauteur souleyée est un peu plus grande que dans un cylindre dont la base serait un cercle équivalent à l'ellipse du premier. Pour les deux tubes d'Edouard Desains, le rapport des deux hauteurs était sensiblement 1,004.

(") Simon (de Melz), Recherches sur la capillarité^ présentées à TAcadémic en 184i (C. B.,XII, 892), et publiées, après la mort de l'auteur, dans les Ann. de chim. et de phys., (3), XXXII, 5; 1851.

«34 PRINCIPALES PROPRI^TKS DBS LIQUIOBS.

tats concordants par la méthode ordinaire, mais inutilement (ce qui tenait sans doute à ce que ses tubes n'étaient pas parfaitement nettoyés], Simon s'arrêta au procédé suivant ; le tube à essayer, plongeant par son extrémité Inférieure dans le liquide, était relié par en haut à un réservoir à air comprimé, dont la pression se mesurait au moyen d'une colonne du m£me liquide que celui sur lequel on

opérait. On faisait croître graduellement la pression dans le réser Toir jusqu'à ce qu'une bulle d'air sortit par rexlrémilé du tube fin ; la hauteur de la colonne soulevée dans le manomètre, diminuée de la quantité dont le tube fin plongeait dans le liquide, donnait, d'après Simon, la hauteur k laquelle le liquide se serait élevé dans un tube ayant pour section l'ori&ce inférieur du tube fin. Hais la bulle d'air ne se dégage qu'en déformant le ménisque ; et si, à l'exemple de H. Wolf, on place à c6té du tube fin un second tube plongeant profondément dans le liquide, de manière à indiquer la pression par l'abaissement qu'y subit le liquide au-dessous du niveau extérieur, on voit dans ce tube, où le froUement est moindre que dans le manomètre recourbé de Simon, le niveau varier de plusieurs millimètres, au moment où une bulle d'air s'échappe par le tube fin. La méthode de Simon est donc plus ingénieuse que précise, et les nombres qu'il en a tirés ne peuvent être tenus que pour approximatifs. Comme d'ailleurs il faudrait leur appliquer la correction fort incertaine de l'épaisseur de la couche liquide adhérente au tube de verre, il n'est guère possible de les comparer à la théorie.

Ces expériences ont cependant donné des résultats intéressants. Dans un tube de 6!^i de diamètre, Simon évalue l'ascension de l'eau à 6°8a8. On comprend donc que dans les vaisseaux excessivement fins des végétaux (vaisseaux dont le diamètre varie de ac à f),

GAPILLARITâ. — ROLB DE LA TEMPÉRATURE. 639

les forces capillaires puissent élever Teau à de grandes hauteurs. M. Jamin a réalisé une sorte d*arbre artificiel avec une longue colonne poreuse, reposant par sa base dans l'eau, et terminée par une large surface évaporatoire : Teau y montait jusqu'à une hauteur équivalente à plusieurs atmosphères (^). De même les murs construits sur un sol humide se mouillent jusqu'au sommet, si Ton ne prend pas la précaution d'isoler les assises inférieures par de minces feuilles de plomb.

Vérifications de MM. Quet et Seguin, — Convenablement calculées, les ascensions dans les tubes larges se montrent également conformes à la théorie. C'est ce que M. Quet a prouvé : après avoir établi dans tous les cas le rapport entre la hauteur moyenne et la hauteur observée, il mesura, avec M. Seguin, les ascensions dans une série de gros tubes allant jusqu'à i3"";92S de rayon (dans un tel tube l'eau s'élève à ©'"■og). En joignant à ces observations celles que nous avons rapportées plus haut de Gay- Lussac et d'Ëd. Desains, on a quatorze déterminations précises de hauteurs capillaires, variant de i à 23oo, tandis que les rayons avaient varié dans le rapport de 200 à i ; et dans toute cette étendue l'accord avec la théorie est complet, les difTérences n'atteignant que quelques centièmes de millimètre pour les hauteurs dans les gros tubes et quelques millièmes de millimètre pour les rayons dans les tubes fins.

225. Rôle de la température. — Quand la température s'élève, la tension superficielle décroit (*), la hauteur capillaire diminue, et cette diminution, plus rapide que ne le supposait Laplace, dépasse de beaucoup celle de la densité (^). Ainsi, entre o"" et 100^, la densité de l'eau varie pour chaque degré dans un rapport qui,

n Jamin, C. R., L, 172, 3H et 385; 1860.

(') Db La Lande, Journal des savants; 1768.

(') A l'appui de cette variation de la tension superficielle avec la température, nous citerons le moyen bien connu d'enlever une tache de graisse : sur l'un des bords de la tache on pose du papier buvard ; de l'autre bord on approche un fer chaud: le liquide graisseux est tiré du côté froid, où la tension superficielle est plus forte, et absorbé par le papier buvard. Quand on emploie, pour détacher, un dissolvant à faible tension superficielle, un efifet du même genre se produit: la graisse recule vers la partie non imbibée; il faut donc attaquer la tache progressivement de la circonférence au centre.

636 PRINCIPALB8 PROPRIKTBS DBS LtOUIDBS.

saDs être constant, est égal en moyenne à o,ooo45. Dans le même intervalle de température, les expériences de Brûnner, Wolf, Éd. Desains, fixent la diminution moyenne de hauteur, pour i degré, à o.ooiâa (*), rapport quatre fols plus grand que le précédent.

Expériences de M. Wolf. — En opérant dans un appareil entièrement clos, on peut aller plus loin, et dépasser la température à laquelle le liquide bout sous la pression atmosphérique. C'est ce que M. Wolf (*) a réalisé le premier dans une série d'expériences très habilement disposées. Pour avoir des tubes parfaitement nets, il les faisait fermer aussitôt après leur fabrication et ne les ouvrait qu'au moment de s'en servir : il constatait leur propreté parfaite k ce caractère très simple, qu'après aspiration ou refoulement le liquide s'arrêtait exactement au même point.

On avait soin d'ailleurs que ce point fût toujours le même dans

toutes les expériences en vase ouvert ; et à cet effet on avait marqué à l'avance un repère sur la surface extérieure du tube : à chaque

('] De 0° à 4°, la diminution est un peu plus rapide et sensiblement égale à 0,00185. Au-dessus de 4*, ie décroisse ment de la hauteur est proportionnel à k l'accroissement de la température et, bien qu'il varie légèrement d'un tube h l'autre, le coerScient de diminution diffère toujours peu de 0,OOI82(Woll^.

(■) Wolf, Ann. de cAim. et âepkys., (3), XLIX, 230; 1857. "