I. — CINÉMATIQUE

18. Définition de la cinématique. — La cinématique (x{vY;p.a, mouvement) ou science du mouvement considéré en lui-même, indépendamment de ses causes, est une branche purement rationnelle de la mécanique, branche séparée par Ampère qui lui a donné le nom qu'elle porte. A l'idée d'espace, seule base delà géométrie (*), elle joint uniquement l'idée de temps^ et de la combinaison de ces deux idées fondamentales elle conclut les lois nécessaires du mouvement. Nous en résumerons brièvement les points les plus importants.

Dans cette première étude du mouvement on peut faire abstraction des dimensions des corps ; nous considérerons donc des points, mais des points que nous supposerons doués de toutes les propriétés de la matière (qui y sera condensée en telle quantité que l'on voudra), et que nous appellerons en conséquence /?02«/5 matériels. Un point matériel en mouvement se nomme un mobile et la suite de ses positions une trajectoire,

19. Vitesse. — Le mouvement le plus simple que l'on puisse imaginer est celui dans lequel la trajectoire est une ligne droite sur laquelle le mobile parcourt des espaces égaux dans des temps égaux: c'est le mouvemeyit rectiligne uniforme, La vitesse (que nous ne chercherons pas à définir) se mesure alors par Vespace constant parcouru dans l'unité de temps, ordinairement par le nombre de

{^) On fait déjà quelquefois, et avec grand avantage, intervenir le mouvement en géométrie (déGnilion des lignes, des surfaces, comme décrites par le mouvement d'un point, d'une ligne).

mètres parcourus en une seconde de temps solaire moyen. Soit v cette yitesse ; l'espace OM = jc parcouru au bout du temps t (es-

Fig. 3

pace compté sur la trajectoire OX à partir du point 0 où le mobile se trouve à Tépoque t=:o) est

On a donc

c'est-à-dire que dans ce mouvement la vitesse peut aussi s'évaluer parfc rapport constant de F espace au temps employé à le parcourir. On la représentera géométriquement par le chemin OA parcouru dans Tunité de temps.

Considérons en deuxième lieu un moitvemeut rectiligiie non uniforme. Soient M et M' les positions du mobile à deux époques voisines t

AtZr etf-hAf,etsoitMM'=:A:r; — ^rç'^ est la vitesse moyenne pendant le

temps At. C'est la vitesse constante qu'il faudrait attribuer à un mobile animé d'un mouvement rectiligne uniforme suivant MX pour que ce mobile parcoure précisément la longueur Ax pendant le temps Af. Imaginons maintenant que Af tende vers zéro ; Aor ten-

A«>p dra également vers zéro, et le rapport -r— tendra vers une limite

finie que nous appellerons la vitesse du mobile au temps t :

,. Aa: dx i'^lim -T— =--7-.

ùkt dt

C'est la dérivée de t espace par rapport au temps. Géométrique*

VioLLE, Cours de physique. — I. 3

ment cette vitesse pourra se représenter par une droite de longueur convenable MA portée sur OX dans la direction du mouvement. Arrivons au cas général, La trajectoire est quelconque et parcourue suivant une loi quelconque : OM ou^=/(f): Dans ce mouvement curviligne, considérons deux positions M et M' du mobile

rig. 5

à deux époques voisines f et f -h Af , et soit MM' = A-v ; — est la vitesse moyenne v^ avec laquelle l'espace A^ est parcouru. Si At décroît

indéfiniment, A^ décroît de même et le rapport -r- tend vers une limite qui sera encore pour nous la vitesse du mobile au temps r,

-. A^ ds

i'=:lim-r-=-7--

At dt

Comme d'ailleurs le mouvement élémentaire du mobile à répoque t est dirigé suivant la tangente à la trajectoire en M, c'est suivant cette tangente que Ton devra compter la vitesse.

Géométriquement, nous pouvons remplacer le rapport -r- , ou

arc MM' corde MM' , ,.«., , , j i n

: , par ; , car la différence entre la corde et lare

Aï *^ At '

est du troisième ordre (*). D'après cela, nous représenterons la (*) Soit en effet un arc AGB, infiniment petit du i^^ ordre, et sa corde AB.

Fig. 6

inscrivons dans l'are un polygone dont nous ferons ensuite croître indéfiniment le nombre des côlés. Projetons ce polygone sur AB : la projection de

vitesse moyenne v^pav une certaine longueur MA^ =

corde MM'

portée sur la corde MM' dans le sens du déplacement MM' ; et la

Fig. 7

vitesse en M sera la limite en grandeur et en direction, MA, de cette quantité MA|.

On peut d'ailleurs ramener la question du mouvement curviligne à celle du mouvement rectiligne par le moyen des projec* lions.

Si en effet le mobile, dans chacune de ses positions successives, est projeté sur un axe fixe X'X, la vitesse de la projection est à chaque instant la projection de la vitesse.

Soient m et m les projections de deux positions voisines du mo-

Fig.8

bile M et M', et soit ma^ la projection de la vitesse moyenne MA,. Les trois plans de projection représentés sur la figure par leurs

chaque côté est égale à ce côté multiplié par i — 2 sin^'-, x étant Taugle infi-

niment petit du 1" ordre que fait ce côté avec AB. Faisons la somme de toutes ces projections, et nous aurons la corde AB, dont la difTérence avec la somme des côtés sera égale à cette somme môme des côtés (infiniment petit du !«' ordre) multipliés respectivement par des infiniments petits du 2« ordre, c'est-àdire à un infiniment petit du 3® ordre.

traces Mm, M' m' et A, a^ étant parallèles, interceptent sur Taxe X'X des longueurs proportionnelles

ma,