ÉCOULEMENT DES LIQUIDES. — THÉORÈME DE BORDA
surée par la puissance vive perdue. Ce principe, formulé d'abord par Borda comme une extension, très contestable, du théorème de Carnot (191), peut se justifier aisément, non plus par le principe des forces vives, la force vive des mouvements vibratoires produits dans le tourbillonnement étant inconnue, mais par le théorème des projections des quantités de mouvement (*), où, pour une moyenne, ces mouvements vibratoires n'entrent pas. Soit un tuyau cylindrique AA^, de sections, s'élargissant brusquement en CC^ suivant un nouveau cylindre BB^ de section/, auquel nous supposerons même
Fig. ]oçi
axe que le premier, cet axe étant celui sur lequel nous projetterons les quantités de mouvement et les forces. Dans le grand cylindre prenons une section BB^, assez loin de CC^ pour que le mouvement soit redevenu régulier; la variation de la somme des projections des quantités de mouvement de la masse AA^BB^ est
— (svdt, V — svdt, v) :
(*) Nous voulons dire par là le théorème fondamental (57)
OU
at dt '
d'après lequel la dérivée par rapport au temps de la somme des projections des quantités de mouvement sur un axe quelconque est égale à la somme des projections des forces sur le même axe. •
la dérivée de cette somme est donc
Elle est égale à la projection des forces
ps —p s -^ns l — T — :
nous supposons la pression égale à p dans toute la masse tourbillonnante, jusqu'au voisinage de BB^ où elle devient brusquemen p. On a donc
- {SV'^ — SS^) =: ps — ps' -¥US {z — z) ,
OU, si Ton se rappelle que jç'^jV,
OU encore
ou enfin
1g TS ^g ^g U
équation qui ne diffère de celle de Bernoulli que par le terme
^, représentant la perle de puissance vive due à la variation
brusque de la vitesse.
262. Écoulement par un ajutage. — Ces principes nous permettront de nous rendre compte de l'effet des ajutages qui ont sur la forme de la veine liquide et par conséquent sur la dépense une influence considérable.
Ajutage rentrant. — Sdpposons d'abord l'ouverture munie d'un
ajutage rentrant, court et aminci, de façon à empêcher le liquide de glisser le long de la paroi avec une vitesse sensible au voisinage de l'orifice s. Considérons la masse comprise entre la surface supé-
Fig. 4 10
rieure S et la section contractée s. Le vase étant toujours supposé très large par rapport à Torifice, la variation de la somme des projections des quantités de mouvement suivant Thorizontale se réduit
à -svdt.vi la dérivée de cette somme est donc -5^^^. Elle est
égale à la somme des projections des forces sur Thorizontale. Or, la
seule force à considérer est la pression en s. On a donc
Mais, d'après la règle de Torricelli,
Par conséquent
= ^gh.
La dépense réelle, réduile au minimum, est alors la mmtié de la dépense théorique, conformément à une expérience de Borda.
VioLLi, Cours de physique, — I. 47
La pression en m est us.nh. Le vase, suspendu par un fii, s'écarle de la verticale (203) sous Finfluence de cette pression, double de celle que Ton estimerait d'après la dépense.
Ajutage conique. — Nous avons déjà dit (255) qu'un ajutage conique, modelé sur la forme de la veine sortante, n'introduit qu'un frottement à peine sensible. La dépense, rapportée à l'orifice exté-
Fig. /,ii
rieur 5' de cet ajutage, sera donc très voisine de la dépense théorique : Caste! trouve effectivement que, pour un angle de cône de i5*, elle en est les 0,94.
Ajutage cylindrique. — Lorsque l'orifice est muni d'un ajutage cylindrique par lequel le liquide coule à gueule bée, la veine présente à sa sortie la forme d'un cylindre ayant pour base l'orifice s de l'ajutage. Gomme d'ailleurs la pression atmosphérique en s s'exerce librement de même qu'à la surface libre S, il semble que, d'après le principe de Torricelli, on devrait avoir en s
V=:^2gh
et par conséquent
Q=s\/2gh,
tandis que Texpérience donne
Q=:0,S2S^2gh.
C'est qu'alors, en effet, l'adhérence du liquide aux parois de l'ajutage modifie brusquement la direction des filets au delà de la sec-
tioQ contractée s : ce chanjrement brusque entraîne une perte de force vive, et par suite une diminution de la dépense.
Fig. /|i2
De S en s' le théorème de BernouUi est immédiatement applicable :
de s en s on a, d'après la règle de Borda,
d'où l'on tire
-Vf
xs
la vitesse à la sortie (^ est plus petite que la valeur théorique sl^gh. Gomme d'ailleurs on a toujours
sv=isv\
si l'on suppose 5' = 0,62 5, on aura
et par suite
quantité qui diffère peu de la valeur trouvée expérimentalement.
En/
v'=i,Z%>J^gh,
L'accroissement de vitesse en s entraine une diminution de pression. La première équation
donne en effet
ou
17 es
En adaptant à Tajutageun tube qui se recourbait yerticalemeat pour plonger dans un Tase plein d'eau, Venturi a constaté en effet que Teau montait dans ce tube et s'y tenait à une hauteur égale à 0,74 A. 11 y a donc en s une véritable succion, que l'on utilise dans les trompes et autres appareils aspirateurs, et que l'on peut encore augmenter en donnant à l'ajutage une forme conique divergente.
Ajutage conique divergent. — Si l'ajutage conique divergent
Fig. 4i3
s'élargit graduellement à partir de la section contractée, il n'y a pas de variation brusque de vitesse. On a donc en s
Q=5v/agr/i.
On pourrait croire d'après cela qu'avec une ouverture donnée ^p
à laquelle correspond une section contractée constante ï = o^6f^s^, on accroîtrait indéfiniment la dépense en augmentant indéfiniment la section de sortie 5. Mais en même temps que cette section augmente et que, par suite, la vitesse /en/ augmente elle-même, la pression p' eus diminue. Or, il faut que p' reste positif. Appliquons le théorème de BernouUi aux surfaces S, / et 5 :
D'autre part, on a toujours
De ces équations on tire d*abord
puis
P-=PZ-('l-h)
Pour que Fécoulement ait lieu comme nous Tavons supposé, il faut donc que les dimensions de Tajutage satisfassent à la condition (^)
s y xsh
On a ainsi pour la dépense un maximum
Q„=5Ya^A+^
ÀTec un ajutage conique, Venturi est parvenu à tripler la dépense qui aurait eu lieu sans cette disposition.
(*) Si la condition n'est pas remplie, le liquide se détachera de l'ajutage, qui deviendra dès lors inutile.
868. Écoulement par un tuyau. — Dans un tuyau d'une certaine longueur, les frottements que nous avons négligés jusqu'ici ne peuvent plus être laissés de côté.
Comme nous le verrons bientôt, les lois de Pécoulement à travers les tuyaux cylindriques très étroits et parfaitement mouillés ont pu être établies d*une façon tout à fait satisfaisante tant par la théorie (267) que par Texpérience (264).
Pour les tuyaux larges, la question est beaucoup plus complexe, et dans l'impossibilité de tenir un compte exact de tous les frottetements, on a dû chercher une représentation empirique de la résistance totale qu'ils occasionnent. Des expériences nombreuses ont montré que, pour une même vitesse du liquide, la résistance est proportionnelle à l'étendue de la surface par laquelle le liquide touche le tuyau. Cette résistance varie d'ailleurs avec la vitesse, contrairement à ce que l'on observe dans le frottement des solides (180). On admet, d'après Coulomb, qu'on peut la représenter par la somme de deux termes, l'un proportionnel à la vitesse moyenne V, l'autre au carré V^ de cette vitesse, la vitesse moyenne étant celle que devrait posséder le liquide s'écoulant d'un seul bloc pour donner le même débit que fournit l'écoulement réel avec des vitesses inégales aux différents points d'une même section. Si donc on appelle L la longueur du tuyau et c le contour de la surface mouillée 5, la résistance due au frottement aura pour expression
cLCT(aV-hiV*).
Quand le mouvement uniforme est établi, la vitesse moyenne est la même en toute section du tuyau supposé cylindrique^ et l'on a
EuEL^z -z'-ft(aV + iV*)=o.
A l'état statique, la pression p' au bout du tuyau serait égale à la pression p à l'origine, augmentée du poids de la colonne liquide z—z'. L'équation que nous venons d'écrire montre qu'à l'élat dynamique le frottement amène une perte de charge égale à
£t(aV-hiV^).
Cette perte est proportionnelle à la longueur. Les pressions à diverses distances de Torigine décroissent donc proportionnellement aux distances.
Pour mesurer la pression en un point du tuyau, il suffit d'y implanter un tube de verre qui s'élève verticalement : la hauteur à laquelle Teau montera dans ce tube donnera la pression au point considéré (abstraction faite de la pression atmosphérique). En dis-
Fig. .\i\
posant ainsi une série de tubes le long du tuyau, on verra effectivement les extrémités des colonnes d'eau soulevées dans ces tubes s'aligner suivant une droite qui part d'un point situé un peu audessous de la surface libre du liquide dans le réservoir (^) pour aboutir à l'extrémité la plus éloignée du tuyau.
Si l'on néglige la perte à l'origine, la perte de charge par mètre courant est égale à la pente par mètre courant, I, calculée à raison de la différence dçs niveaux au réservoir et à l'orifice du tube,
Dans le cas d'un canal circulaire plein, de diamètre D, on a
(*) Le tuyau joue en effet par rapport au réservoir le rôle d'un ajutage cylindrique produisant une perte de force vive qui se traduit par un abaissement brusque de la charge, égala 1,49 — •'.
5I=aV-^iV^
équation qui, une^fois les coefficients^ et b déterminés expérimentalement (*), permettra de calculer la dépense Q = —. — , et en général de résoudre tous les problèmes relatifs à Técoulement de Teau dans les tuyaux.
m. — ÉCOULEMENT PAR LES TUBES CAPILLAIRES.
864. Reoherohes de Poiseuille. — L'écoulement par les tubes capillaires a été soigneusement étudié par Poiseuille (^). A travers le tube capillaire d^ complètement immergé ('), il faisait passer, sous une pression connue, une quantité déterminée de liquide, mesurée entre les deux repères c et e d'une ampoule a soudée au tube; et il notait le temps nécessaire à ce passage pour diverses pressions et différentes longueurs et sections de tube. Les niveaux étaient relevés à une lunette /, mobile le long d'une règle verticale graduée r. La pression, donnée par une pompe à main, régularisée par un réservoir à air comprimé, et mesurée par un manomètre, était transmise par le tube m au vase en fuseau/, duquel se détachait latéralement le tube &, s'ouvrant dans Tampoule a. Cette disposition avait pour but d'arrêter autant que possible les
(^) Il est à remarquer que a est toijgours très petit. Si donc 11 ne 8*agit pas d'écoulements très lents, la formule se réduit sensiblement à son deuxième terme. Darcy prend alors
={'Ay'
et M. Bazin a adopté la même formule pour représenter Técoulement de l'eau dans les canaux.
(*) D' PoisiniLLR, Mémoirts des tanùanti étrangers^ IX; 1846. Voir en outre le rapport de Regnault au nom de la Commission de l'Académie, chargée de contrôler les expériences de Poiseuille (C. R., XV ; i842).
(') Quand l'écoulement a lieu dans Tair, même sous une pression considérable, il ne 86 produit pas à plein jet, mab par gouttes succesaives; et les résultats obtenus dans deux expériences, en apparence identiques, sont différents.
ÉCOULEHBMT DES LIOUIDES. — RECHERCHES DE POISEUILLE. 745
poQBSÎères qui auraient pu s'engager dans le lul>e capillaire. Le renflement k limitait nettement l'entrée de ce tube, dont la lon-
gueur pouvait dès lors être exactement mesurée. Le vase V était placé dans un seau s; un thermomètre t, plongé dans le vase V
en face de l'orifice du tube d, faisait connaître la température du liquide soumis à Texpérience.
Poiseuille établit d'abord que la quantité de liquide qui traverse un tube capillaire est, toutes choses égales d'ailleurs, proportion-
nelle à la pression (et non plus à la racine carrée de la pression comme dans le cas des tubes larges). Cette loi avait déjà été trouTée par Dubuat (^) et Girard (*) sur des tubes étroits, mais entre des limites de pression peu étendues; Poiseuille la démontra pour des pressions variant de 35 centimètres à 240 mètres d*eau. Nous rapporterons, par exemple, les expériences faites à la température de 10^ sur le tube D", large de o"", 043739 (»), et long de 25"", 175 :
PKIMION
employé i
k l'écoulement de
on roilUroètres de mercure à lu».
observé.
calculé.
lagà
Poiseuille montra ensuite que le débit est en raison inverse de la longueur, comme les recherches antérieures l'indiquaient déjà. Ainsi, le tube D, réduit successivement à des longueurs de plus en plus petites, donna, sous la pression constante de 775 millimètres de mercure :
ubes.
Longueur.
Trart
Employé à récoulemont de
observé.
corrigé.
calculé.
5ii,5
5io,3
L'avant-.dernière colonne contient les nombres qu'eussent fournis
(*) Dubuat, Principes d'hydraulique et de pyrodynamique» Paris; 1779.
(>) Girard, Mémoires de V Académie des sciences, I; 1816.
(^) A chaque extrémité on mesurait au microscope le plus grand et le plus petit diamètre, et regardant le tube comme elliptique, on prenait pour diamètre moyen la moyenne géométrique de ces deux mesures; la moyenne arithmétique des diamètres extrêmes ainsi déterminés fut considérée comme représentant le diamètre moyen du tube. Dans l'exemple cité on avait :
Extrémité libre. . . , n Z in^
Extrémité opposée |J^^ ,04 Js
ÉCOULEMENT DES LIQUIDES. — RECHERCHES DE POISEUILLE. 747
les tubes D, D', D'..., s'ils avaient eu respectivement les diamètres moyens des tubes D4, D, D'... ; de même, la dernière donne le temps de chaque expérience, calculé suivant la loi de la proportionnalité d'après celui de l'expérience qui précède immédiatement. Il faut observer toutefois que la loi n'est vraie qu'à partir d'une certaine longueur (*), d'autant plus considérable que le tube est plus large : pour un tube de o"",oi de diamètre, il suffit d'une longueur de quelques dixièmes de millimètre, tandis qu'avec un tube de o^^,S de diamètre une longueur de i5o millimètres est nécessaire. Comparant enfin les quantités de liquide écoulé dans des tubes de diamètre différent, mais de même longueur, sous la même pression et à la même température, Poiseuille a trouvé que ces quantités étaient en raison directe des quatrièmes puissances des diamètres. Cette relation porte particulièrement le nom de loi de Poiseuille^ et l'appellation est parfaitement justifiée. Des deux seuls savants qui se soient occupés sérieusement de la question avant Poiseuille, Tun, Girard, avait annoncé que la dépense est proportionnelle au cube du rayon, l'autre, Hagen (^), par une interprétation ingénieuse mais arbitraire des résultats de quelques expériences effectuées sur des tubes trop larges et trop courts, avait indiqué la relation exacte, sans la démontrer. Les expériences de Poiseuille établirent péremptoirement la loi dans des limites étendues, comme le prouvent les nombres suivants, relatifs à une pression de 775 millimètres de mercure, à la température de lo"", à une durée d'écoulement de 5oo secondes, et à une longueur de tube de 25 millimètres :
. Diamètre moyen
T"*»«"- de. tubes.
