Courbe des espaces ; courbe des vitesses

Soit 5:=/" (/) la loi du mouvement d'un point. Menons deux axes rectangulaires OX, OY; et, comptant les t suivant OX et les^suivant

(*) Si Ton calcule la distance de 2 nœuds par cette proportion, on trouve iS",4 ou environ 47 pieds. Pratiquement, on réduit celte distance à 45 pieds ou 9 brasses, pour tenir compte du léger déplacement du flotteur qui est nécessairement un peu tiré par la ligne de loch.

OY, construisons la courbe s=f{t). Celte courbe qui représente géométriquement la loi des mouvements se nomme la courbe

Fig. 10

des espaces, 11 est souvent possible, comme nous le verrons plus

loin, de faire tracer au mobile lui-même cette courbe des espaces

(qu'il faut se garder de confondre avec la trajectoire). La vitesse à

ds répoque t, on -p ^ est le coefficient angulaire de la tangente à la

courbe au point m dont Tabscisse est t : on la construira en prenant parallèlement à Taxe des temps une longueur m[x=i*", et en élevant au point \l une perpendiculaire à m[L limitée à la tangente wy.

On peut d'ailleurs tracer pour les vitesses une courbe analogue en

Fig. II

portant toujours sur Taxe des abscisses les temps et sur Taxe des ordonnées les vitesses : on a alors la courbe des vitesses. De cette courbe on peut remonter à celle des espaces par une quadrature. 11 existe des appareils effectuant mécaniquement ces quadratures : tel est par exemple le planimètre d'Amsler.

33. Accélération. — Lorsqu'un mobile se meut en ligne droite avec une vitesse yariable, un cas particulièrement intéressant se présente^ c'est celui où la vitesse éprouve des variations égales dans des temps égaux : le mouvement est alors dit rectiligne uniformémefit varié, et la variation constante de la vitesse dans Funité de temps s*appelle V accélération. L'accélération est positive ou négative suivant que la vitesse s'accroît ou diminue.

Soient

v^ la vitesse au temps o,

V la vitesse au temps t,

Y l'accélération.

Oq a par définition

d'où

La loi des espaces en résulte immédiatement. La vitesse étant la dérivée de l'espace par rapport au temps, on a, en intégrant, l'espace

Si, à l'époque o, le mobile est au repos, s^j^o, et si l'on compte les espaces à partir de la position qu'occupe alors le mobile, ^^=0; les deux formules se réduisent alors à

Quand le mouvement, que je suppose toujours rectiligne^ est varié dCune façon non uniforme^ l'accélération se définira comme il suit : Soit V la vitesse du mobile au temps ?, i'-f-Ai' sa vitesse au temps

t+At; -r- est l'accélération moyenne 74 • c'est l'accélération qu'il

faudrait attribuer au mobile, animé d'un mouyement uniformément varié, pour que dans le même temps At sa vitesse v s'accroisse de la même quantité ^v. Si Aï tend vers zéro, celte accélération moyenne Y^ tend vers une limite y, que l'on appelle l'accélération au temps t :

,. Av

Y=Iim -r-'

t accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps.

Mais

dx dt On a donc

l'accélération est la dérivée seconde de t espace par rapport au temps.

On la représentera par une certaine longueur affectée du signe convenable, longueur que l'on portera sur la droite parcourue par le mobile, en la dirigeant dans un sens ou dans l'autre, suivant son signe.

Considérons maintenant un mobile se mouvant suivant une trajectoire quelconque. Soient MA et M'A' les vitesses aux temps t et

Fig. la

f 4- Ai ; par le point M, menons MB égale et parallèle à M'A' et joignons AB, la longueur AB est la variation géométrique de la vitesse

pendant le temps Af. Si donc nous portons sur ÂB une longueur

AB AG,=— , AG, représentera en grandeur et en direction l'accéléra-

tion moyenne y^ du mobile pendant le temps Af. Que maintenant \t tende vers zéro, le plan MAB tendra vers une position limite qui sera précisément celle du plan osculateur en M; et, dans ce plan, AG^ tendra vers une limite en grandeur et en direction : cette limite AG est Taccélération du mobile au temps t. On la représentera plus commodément par une droite MG', menée par le point M égale et parallèle à AG.

On ramène facilement la définition de Taccélération à celle de la vitesse. Par un même point 0 de Tespace, menons des droites

Oa, Ob égales et parallèles aux vitesses successives MA, M'A'

du mobile; le lieu de ces droites est une surface conique sur laquelle

Fig. i3

le point a décrit une courbe ab. La vitesse moyenne ag^ de a sur cette

courbe pendant le temps A^ est —7 c'est-à-dire y^. Quand Aï tend

vers zéro, le plan Oab tend vers le plan tangent à la surface conique suivant Oa, tandis que MAB tend vers un plan parallèle à ce plan tangent, et l'accélération AG du mobile M à l'époque ( n'est autre que la vitesse ag du point a au môme instant.

Appliquons ce procédé au mouvement circulaire uniforme. Un mobile M décrit une circonférence de rayon R avec une vitesse constante V. Si cette vitesse MA est constante en grandeur, elle est variable en direction ; il y a donc une accélération. Par le point 0

menons Oa égale et parallèle à MA, le lieu du point a est une circonférence que ce point a parcourt dans le même temps que M

Fig. i4

emploie à parcourir la circonférence de rayon R. Les vitesses de a et de M doivent donc être proportionnelles aux rayons c et R des cercles décrits. Donc, y étant la vitesse du pointa,

Telle est la valeur de Faccélération dans le mouvement circulaire uniforme. Si nous prenons à partir du point M une longueur MG, égale et parallèle à ag^ nous aurons en MG la représentation géométrique de Faccélération, laquelle, on le voit, est à chaque instant dirigée suivant le rayon vers le centre du cercle.

Celte accélération peut s'écrire sous une autre forme souvent utile. Soit, en effet, dans un mouvement circulaire quelconque, AO Fangle MOM' correspondant à Tare MM'=A^, on a

et à la limite

Aj A6|^ Âë~Ât

f=:(»iR,

<i) étant la vitesse angulaire de rotation lim -jr-.

Si Ton porte cette valeur de \^ dans l'expression précédente de y,

il Tient

T étant le temps que le mobile met à parcourir la circonférence, ou la durée d'une révolution.

On voit immédiatement, ici comme pour les vitesses, que si Ton projette le mouyement sur un plan ou sur un axe, la projection de r accélération est à chaque instant l'accélération de la projection.

D'après cela, pour calculer l'accélération, on prendra trois axes coordonnés Oor, Oj, 0^. Les coordonnées x, j, z du mobile sont trois fonctions connues du temps :

dont les dérivées premières donnent les vitesses des projections ou les projections de la vitesse :

ir-

:CCOSa,

à.Y dt

ifCOSP,

dz dt~

f cosy,

avec

COS^a + COS^P + COS^y=: I ;

et dont les dérivées secondes donnent les accélérations des projections ou les projections de l'accélération :

d^x ^=YCOsa,

^=rcos^

^ = YCOSc,

avec

cos*a-hcos^A + cos'c= I.