ÉQUILIBRE DES GAZ. — VARIATIONS DU BAROMÈTRE
4 heures du soir, moment où il présente la hauteur minimum, puis il remonte et atteint son maximum vers lo heures du soir; ensuite il baisse de nouveau, et Ton observe vers 4 heures du matin un second minimum à partir duquel il se relève jusqu'à environ 10 heures du matin, époque de son second maximum, les variations de nuit étant moins accusées que celles de jour. L'amplitude de Toscillation extrême atteint environ 2°",5 sous les tropiques; elle diminue rapidement lorsqu'on s'éloigne de Féquateur : dans nos contrées elle est à peine de o"",7. La variation diurne est alors complètement masquée par les variations accidentelles; mais il suffit de prendre sur les observations d'un mois les moyennes horaires pour la voir se dessiner nettement; il faut au contraire plusieurs années d'observations pour en déterminer les lois (^). La figure 46i, dont les éléments sont empruntés au Traité de météo» rologie de Kœmtz, montre les courbes de la variation barômétri-
Fig. 46i
que diurne sur le Grand Océan à la latitude o, à Gumana (lat. lo"*), à Padoue (lat. 45**) et à Saint-Pétersbourg (lat. 6o°). A celte dernière latitude, la variation diurne est déjà presque nulle.
Nous ne chercherons pas pour le moment à expliquer ces variations diurnes. Nous laisserons également de côté, pour y revenir en temps opportun, l'étude des variations irrégulières du baromètre en un lieu donné, ainsi que celle de la distribution des pressions et de leur déplacement à la surface du globe. Nous remarquerons seulement que par des observations suffisamment prolongées on
(*) Non seulement Tamplitude de l'oscillation change d'unelocalité à une autre ; mais les heures tropiques (heures des maxima et des minima) ne sont pas les mêmes dans tous les pays sous une même latitude ; elles varient aussi en un même lieu suivant les saisons : en hiver on constate un troisième niaximum vers 2 heures du matin.
peut toujours déterminer la pression moyenne en un lieu donné.
On trouve ainsi que la pression moyenne au niveau des mers est d'environ 760"" à nos latitudes. Sous Téquateur elle n'est que 758°" ; à partir du 10" degré de latitude, elle augmente jusque vers le 35% où elle atteint son maximum : elle s'élève alors à 765"'" ou 766""; au delà, elle diminue (*), et au Spitzberg elle n'est plus qu'environ 756°".
On observe également que, en un lieu donné, la pression moyenne dépend de l'altitude suivant une loi que l'on a pu établir théoriquement, et qui permet de mesurer une hauteur par la simple observation du baromètre aux deux stations extrêmes.
281. Mesure des hauteurs par les observations barométriques. — L'atmosphère étant supposée en équilibre dans toute la colonne comprise entre les deux stations dont on veut déterminer la différence de niveau, menons dans cette colonne deux plans horizontaux infiniment voisins à la hauteur z et à la
Xr -^ dz^,J).dj9
Fig. 463
hauteur ^+^^ au-dessus de la base de la colonne; et désignons par p et p — dp les pressions respectives aux niveaux z et z-\-dz. La différence de pression —dp est égale au poids d'une colonne d'air de base égale à l'unité, de hauteur dz, et de poids spécifique n; on a donc
— dp^zzudz.
Le poids spécifique u varie d'une couche à l'autre avec toutes les circonstances (pression, température, état hygrométrique, intensité de la pesanteur) qui influent sur le poids. De toutes les causes de variation nous ne considérerons que la pression, les autres
(^) A Paris, la hauteur réduite au niveau de la mer ào<^ est 761 "^,6, la pression moyenne à l'Observatoire (altitude 65") étant 755»™,7.
quantités étant supposées constantes ; en d^autres termes, à Tétat réel de la colonne d*air, sauf en ce qui concerne la pression, nous substituerons un état moyen que nous supposerons régner partout. Si donc on appelle II le poids spécifique de Tair à la station inférieure où la pression est P, on aura, d'après la loi de Mariotte,
CT n
n étant une constante pour la couche considérée. D'où Téquation fondamentale
— dp=zapdz^
dont l'intégrale peut s'écrire soit sous la forme {*)
— az
p = Pe
qui montre, comme Halley Fa indiqué le premier (^), que les hauteurs variant en progression arithmétique, les pressions décroissent en progression géométrique; soit sous la forme (^)y également due
(*) L'équation fondamentale peut en effet s'écrire
dp
et en intégrant on a
p=Ae'""y
A étant une constante arbitraire que nous déterminerons par la condition que pour 3 = o, /? =: P, ce qui donne A = P.
(*) Halley, Phil. Trans., 1685. Mais c'est à Mariotte que revient l'honneur d'avoir le premier entrepris de déterminer le décroissement de la presjsion avec la hauteur et d'avoir posé les bases du calcul effectué neuf ans plus tard par Halley (Mariotte, Essai sur la nature de Vair, Paris, 1676).
(3) Écrivons l'équation fondamentale
— = — adz, P et intégrons, il vient
Log/?=— a«H-C^%
Log désignant un logarithme népérien ; et, si nous déterminons comme précédemment la cohManté,
Log/> =^ «« -4- Log P.
à Halley,
qui résout immédiatement la question.
En passant aux logarithmes vulgaires, dont la base est M=o, 434295, on a
^ = —m — ?--log-.
Formule complète, — D'après notre hypothèse, a est dans toute la colonne le rapport constant du poids spécifique de l'air à la pression qu'il supporte ; ce sera donc, si Ton veut, le poids de Pair sous la pression o",76o divisé par cette pression. Or, i»',297 43 étant le poids du litre d'air sec à la température zéro et à la pression o",76o, sous le parallèle de 45* et au niveau de la mer, le poids de i litre d'air sec à la température t degrés, sous la pression p^ à la latitude L et à la hauteur c au-dessus du niveau de la mer, R = 6 366 198" étant le rayon terrestre, est
i»',297437 TinrT\ :r"(' — o,ooa6cos2L)( i — -5- /•
^^ (i -ho, oo3 66^)0,760^ * ^\ Ry
Ici ;; = o°,76o.
Pour f , nous prendrons, faute de mieux, la moyenne des
températures de l'air aux deux stations extrêmes. En outre, afin de tenir compte, approximativement au moins, de ce que l'air n'est pas sec, mais contient toujours une certaine quantité de vapeur d'eau (*),
(^) Si Ton connaît les tensions F et / de la vapeur d*eau aux deux stations, on pourra représenter à la fois reffét de la température et celui deThumidité par
le facleup î r î i — 0 • - f tt -H V H 1 H et /i étant les hauteurs baro-
métriques brutes aux deux stations-, mais le plus souvent il faudra se contenter deTapproximalion plus grossière du texte, approximation que.d'ailleurs Texpériencea montrée généralement suffisante.
on remplacera o,oo366 par o,oo4oo; le premier facteur deviendra
ainsi ; jT.
lOOO
Pour c, nous* mettrons s -h-, s étant Taltitude de la station inférieure, et Z la différence de niveau des deux stations ; et le dernier
facteur s écrira i — ,. o^?^» — E'
Ainsi le poids moyen, en tonnes, de i mètre cube d'air de la colonne, ramené à la pression o"',76o, est
0,001 29743 L— ^(,-0,0026 cos ^L) (i -ëi^) ;
et 0,760 X 13,596 étant, en tonnes, la pression sur i"'', on a
I o,76oX i3,5q6 / f-l- A , ^ r\/ 25+Z \
-='^ ^TT-( ï + ^ )(l-t-O,OO26c0S2L)( H-;r57373 5 •
En effectuant les divisions 7; r et ^— , on
I —0,0020 cos 2L 2S-hlé
* ""6 366 198 s'est arrêté au terme du premier ordre, et Ton a négligé le carré et
les puissances supérieures des quantités toujours très petites
0,0020 COS2L et TT^n^r: — s*
P et p sont les pressions exactes aux deux stations. Or ces pressions ne sont pas données immédiatement par les lectures barométriques brutes H et h. Certaines corrections sont nécessaires.
11 faut d'abord réduire ces lectures à une même température. Pour cela on fera la réduction comme nous Tavons indiqué plus haut (274); ou, plus simplement, on ramènera la hauteur h du baromètre supérieur, observée à la température T', à la valeur h^ qu'elle aurait eue à la température T du baromètre de la station
inférieure. Supposons Téchelie barométrique en laiton, la différence des dilatations du mercure et du laiton pour i degré est
0,000 i6i = ' : on a donc
En outre, par suite de la diminution de la pesanteur suivant la verticale, il faut multiplier cette hauteur A^ par (*— -ô") pour la rendre comparable à la hauteur observée à la station inférieure;
on a ainsi
Les hauteurs A, et H sont alors proportionnelles aux pressions p et P, et Ton peut écrire
log^=logjJ(.-TzLL')(.+^)j,
en effectuant les divisions au même degré d'approximation que précédemment.
On a donc
log^=log"+log(.-^)+log(.+^).
Développons les deux derniers logarithmes, et bornons-nous dans chaque développement au premier terme, nous aurons
log- =log^— I^^(T-T ) + o,434a95g3g^.
=log-jf - 0,000 o7oo45(T-T') +0,86859 j^gg— g.
Substituant, on a
Z= .,K,^ ^ ^ — TTri 1 + 2 )(i-ho,oo26cos2L)( n-;T7n373 — ô
log-j - o,oooo70o45(T-T') -{-0,86859^^1^^— g
Telle est la formule de Laplace.
Elle renferme une constante, .^Z ^ ^— — 75 = 18400",
absolument déterminée. Mais au lieu de s'adresser exclusivement à la théorie, il est préférable d'admettre la forme de l'expression de Z, et de déterminer empiriquement la constante par la mesure des pressions en deux lieux dont on connaisse la différence de hauteur, ou plutôt par un ensemble d'observations faites à des altitudes connues. Comme résultat d'une série de mesures dans les Pyrénées, Ramond avait trouvé 18893™; depuis, M. OItmanns a obtenu i8336'', valeur qu'a adoptée le Bureau des longitudes. On a alors
log -jj- - 0,000 070 o45{T - T') + o, 868 59 g^g^— g j ,
ou, en effectuant (i8336xo,oooo7oo45=i'",a843,
et i8336x 0,86859= 15916) et en négligeant des quantités petites du deuxième ordre,
Z=i8336-log5(n-a|±i)(i + o,ooa6cosaL)(i + g|g:|g)
-.V843(T-TH'59=»6^^g,
OU encore, en remplaçant dans le dernier terme Z par sa valeur
approchée i8336"log y [ n-a j (i 4-0026 cosaL) et en réunissant les termes en ^,
Z=i8336"log-7-( 1 + 2 )(i-i-o,oo2 6cosaL)( 1+ ^'^^^.../ » — )
^ n\ looo/^ '\ 0000198 /
ou, enfin, si Ton porte au premier terme la correction en T—T' (ce qui n'introduit que des quantités petites du deuxième ordre), et si Ton sépare la correction relative à la variation de g entre les deux stations, du terme relatif à la hauteur s de la station inférieure audessus de la mer (^),
Z=:/^i8336-iog~ i»,2843(T-rA \ 1000/
vJ/ a w Z-*-i5q26\
X (i + o,ooa6cos.L+ g^gg^j
ce qui est la formule complète, telle que la donne V Annuaire du Bureau des longitudes.
Le même annuaire publie chaque année des tables, dressées par M. Mathieu, qui fournissent tout calculés le terme principal 18 336" log y et les diverses corrections. De la table I (contenant les valeurs de 18 336° log H ou A, diminuées de la constante 44428", i) j'extrais les valeurs suivantes de Z,=:i83361ogÇ = (i83361og76o-C'')-(i83361ogA-C'*):
(^) Cette hauteur est généralement inconnue, mais ordinairement on peut
prendre avec une approximation suffisante .f=i8336"U)g-|j-.
Zi
— ao6,8
io5,5
aia,4
3ao,8
ioo3,7
iia3,5
ia45,o
GSo
i6ai,3
aoi6,3
ai5a,4
aa90,9
a7ai,5
3oaa,o
5io
mm
5oo
45o 4ao 38o 36o 35o 33o 3ao 3io 3oo a8o a7o a6o a5o a4o a3o aao aïo
Zl
4914,6 5iii,3 53ia,9 55i9,7 573a, I 5950,3
9871,8 ioa4a
Ces nombres Z|, même dans le cas de T=T'=f =^^=0, L=45*et o, doivent être augmentés de Z^ -rrrr^^j-^ pour donner la hauteur exacte de la station supérieure. On calculera la correction
Zi ., »^,.. ^ o d'une manière très suffisamment exacte en mettant ' 0060198 û
pour Z sa valeur approchée Z| = 18336°* log y; on trouve ainsi
Hittteur approchée
Hauteur approchée
Zl -h 15916
Zl
Zl
35oo
3oo
ia,5
5oo
45oo
5ooo
i5oo
55oo
aooo
ao,7
a5oo
65oo
3ooo
Mais, en général, on aura auparavant à faire une double correction plus importante, représentée par les deux termes
- i»,2843(T-T') (table II de VAnnuaire), et (i-^ ^ [ oto^) '
On devra ensuite faire les deux petites corrections
(i -4- 0,0026 cos 2L) (table 111) (*), et (1 + .j-g| 1 (table IV^).
Lorsqu'on opère par un temps calme ('), la mesure d'une hauteur au moyen du baromètre comporte autant de précision que la détermination de la même hauteur par les procédés géodésiques. 11 faut remarquer en effet que la mesure de Tangle que fait avec rhorizon une droite menée d'un point de la plaine au sommet d'une montagne est, par suite de la réfraction, entachée précisément de la même incertitude que la mesure barométrique. Pour être exacte, la correction de réfraction nécessiterait, comme la formule barométrique, une connaissance parfaite de la constitution de l'atmosphère entre les deux stations. En réalité, les deux problèmes n'en font qu'un et, théoriquement, les deux méthodes sont équivalentes.
Il est d'ailleurs des cas nombreux où le baromètre peut seul être employé. Ce sera toujours le compagnon obligé du voyageur en
(*) La table UI de VAnnuaire donne en une seule fois cette correction et celle qu'entraîne la variation de g entre les deux stations
AJo,oo26cosaL-h-^5g^j,
A désignant la hauteur approchée
A=(i8336Mogïï..a843(T-T))(. + ai±i').
(*) Un vent violent peut altérer considérablement les mesures. Ainsi, M. Montigny a trouvé pour l'altitude de la galerie supérieure de la cathédrale d'Anvers des nombres différant de 8 à 10» du nombre vrai (140™) quand le vent soufflait violemment de Test (on trouvait alors des nombres trop faibles) ou de l'ouest (on avait des nombres trop forts). Par les venls nord ou sud, les différences étaient presque nulles (Montignt, Bulletin de V Académie de Bruxelles (2) XI, 315etXXlIl, 125; 1861-67). M. Renou a constaté de même que le vent et la température de l'air ont une influence notable sur la différence des hauteurs barométriques au parc de Saint-Maur (altitude 46™,38) et à l'Observatoire de Paris (altitude 67",38) (Renou, C. R., LXXXVl, 358 et 503 ; 1878).
ÉQUILIBRE DES GAZ. — MESURE DES HAUTEURS PAR LE BAROMÈTRE. 83i
montagnes et Tinstrument sans rival pour un nivellement rapide dans un pays accidenté (en ce cas un bon baromètre métallique est singulièrement commode).
Formules abrégées. — Souvent alors on n'a affaire qu'à des différences de hauteur de quelques centaines et parfois quelques dizaines de mètres. Dans ce cas, il serait aussi gênant qu'inutile de recourir à la formule complète que nous avons donnée plus haut. On se servira de la formule de Halley
Z = 1 8 4oo» (log Ho - log Ao) ,
Ho et ho étant les hauteurs barométriques aux deux stations, réduites à zéro. On pourra évaluer ainsi les valeurs de Z inférieures à 700 ou 800 mètres, pourvu seulement que la température de l'air ne soit pas trop différente de zéro; sinon, il faudrait tenir compte de la température comme d'habitude et prendre
Z=i84oo«(logHo-log/io)(n-2^-±^V
On peut même, pour ces faibles hauteurs, employer une formule débarrassée de logarithmes. Posons, en effet,
H-hh=k, et
e étant par hypothèse une quantité petite par rapport à A, nous aurons
logH-logA=log-^-log-^
=log|+log(n.i)-log^-log(i-|),
ou, en développant log ( i +-7: ) ainsi que log ( 1 — t) 9 et en nous bornant au premier terme du développement,
logH— log/i=M--r
La formule de Halley devient donc
Z = 2Mi84oo»2^,
et, si Ton introduit le terme relatif à la température de Fair,
C'est la formule de Babinet (*).
