MM' MM' MN

~r— 1 -T — 1 -T*" auront pour limites respectives les vitesses des

mouvements composants et du mouvement résultant. Mais si nous

prenons sur MM', MM' etMN des longueurs MA^, MB^, MC|, respectivement égales aux rapports précédents, la dernière de ces longueurs sera la diagonale du parallélogramme construit sur les deux autres ; et, cette relation persistant lorsque Af tend vers zéro, la vitesse du mouvement résultant s'obtiendra en composant suivant Idirègle du parallélogramme les vitesses des mouvements composants. Ou, ce qui revient au même, la vitesse du mouvement résultant s'obtient en portant Tune à la suite de Tautre, avec leur grandeur et

Fig. 31

leur direction, les vitesses MA et MB des mouvements composants, c'est-à-dire en faisant la somme géométrique des vitesses composantes. On désigne en effet par somme géométrique de deux grandeurs MA et MB, la droite MC qui joint le point M au point C obtenu en portant en AC, à la suite de MA, la ligne MB en grandeur et en direction.

La généralité de la loi de composition des vitesses est évidente : la vitesse du mouvement résultant est la somme géométrique des vitesses des mouvements composants, quel qu'en soit le nombre. A la vitesse du mobile dans le système i4, on ajoutera géométriquement la vitesse que possède au même instant dans le système B le point du système A où se trouve actuellement le mobile, puis la vitesse dans le système C du point de B où est actuellement ce point de A et ainsi de suite.

L'énoncé se simpliûe quand les mouvements relatifs des systèmes les uns dans les autres sont des mouvements de translation, c'est-à-dire quand tous les points du système considéré éprouveni dans le même temps des déplacements égaux et parallèles dans un deuxième système. A la vitesse du mobile M dans A on ajoutera

alors simplement la yitesse du système A dans B et ainsi de suite, ces additions se faisant toujours bien entendu suivant la règle de sommation des grandeurs géométriques.

L'interprétation analytique de cette règle est très simple. Qu'en effeton projette sur un axe les vitesses composantes v^v^v ,., et la vitesse résultante V, la projection de V sera égale à la somme des projections des différents côtés de la ligne brisée vvv\.. Si donc on prend trois axes coordonnés Ox, Oj, 0^, on aura, en appelant a, p, y; a y 3',y'; .-. A, B, C les angles des vitesses v,if''" et de la résultante V avec les axes,

Vcos A=:^cosa-h/cosa'H 9

VcosA^Si'COSa, et VcosB^Si'cosp,

VcosC=2fCOSY,

à quoi il faut joindre la relation fondamentale

cos*Ah-cos^B4-cos^C= I ;

ce qui donne quatre équations pour déterminer les quatre inconnues, Y et les angles A, B et G.

La grandeur V est évidemment indépendante des axes choisis : on doit donc pouvoir éliminer ce qui se rapporte aux axes. Si en effet dans la valeur de V* tirée des équations précédentes

V*=:(2^cosa)*-h(2('COsp)^+(IVcosY)',

nous développons les carrés, nous aurons

V^=:*^(cos*a4-cos*p-hcos*Y)-H^'*^(cos*a H-cos*P'-hCOS^Y')^

4-aw'(cosa cosa 4-cosg cos^' + cosy COSy')-*- •.•• =: (^-+- i^*-f- ' • • H- 2w' COS(^,/) H

€0S (i', p') désignant le cosinus de Tangle des deux directions v et/. au, avec la notation précédente,

V^=:Sf^+2Sw'C0S((',('').

Pour deux vitesses, la résultante est la diagonale du parallélo-

Fig. 33

gramme des vitesses composantes ; et Ton a

V^ =V^H- /^ -+■ 1VV COS(P,i'').

Pour trois vitesses, la résultante est la diagonale du parallélipi-

Fig. 33

pcde des vitesses composantes; et Ton a

V^= v^ ri-./^-*- ^"^ -*- 2f'/ços((',/) -h 2// cos(/,/) -h a/ç» cos(/,t')

Un mouvement étant donné, on peut toujours le considérer

comme résultant de deux ou plusieurs mouvemetils composés en un seul. Une vitesse donnée pourra donc toujours être décomposée en plusieurs autres, pourvu que les différentes composantes par lesquelles on la remplace donnent pour résultante la vitesse proposée si on les recompose suivant la règle ordinaire. C'est ainsi que Ton remplacera une vitesse par ses projections sur les axes coordonnés, comme nous Tavons déjà indiqué. C'est ainsi encore que Ton résoudra la question suivante :

Un mobile est en mouvement dans un système A qui lui-même se déplace dans un système B: 07i connaît le mouvement du mobile dam le système B ainsi que le mouvement du système A dans le système B; on demande le mouvement relatif ou apparent du mobile dans le système A .

Ce problème revient évidemment à celui-ci : étant donné le mouvement résultant et Tun des mouvements composants, trouver le second mouvement composant; en d'autres termes, décomposer le mouvement résultant en deux mouvements composants dont Tun est connu. Soit, à un instant donné, M^rie déplacement résultant

connu en grandeur et en direction, M' M'' le déplacement composant également connu en grandeur et en direction ; sur MM'' comme diagonale et M'M', porté en MM^, comme côté, construisons un parallélogramme M|M'M'M; MM' est le déplacement composant cherché. Le problème est donc résolu.

Mais on présente souvent cette solution sous une forme plus saisissante : le déplacement inconnu MM' peut en effet être regardé comme la somme géométrique du déplacement résultant MM'' et du déplacement M'M' égal et de signe contraire a\i premier déplacement composant connu M'M'. Passant comme d'habitude

des déplacements aux vitesses, on voit donc que la vitesse du mouvement apparent du mohile dans le système A est à chaque instant égale à la somme géométrique de deux vitesses : la vitesse réelle du mobile dans le système B et wie vitesse égale et contraire à la vitesse dans le système B du point du système A oit se trouve actuellement le mobile.

Soient, par exemple, deux bateaux animés l'un et l'autre d'un mouvement rectiligne et uniforme à la surface d'un lac tranquille : PQ est la vitesse du bateau P, RS la vitesse du bateau R. CherchoDs le mouvement apparent de R par rapport à P. Le système B est ici

Fig. ï3

le lac dont les eaux sont immobiles ; le système A c'est le bateau P et toute la portion de l'espace que nous voudrons y rattacher, par la pensée en lui attribuant le même mouvement qu'à P. Nous connaissons le mouvement du bateau R dans le système B, mouvement rectiligne et uniforme s'effectuant avec la vitesse RS ; nous connaissons aussi le mouvement dans le système B du point du système A où se trouve actuellement le mobile R ; c'est le mouvement de la portion de l'espace que nous avons rattachée au bateau P en lui donnant précisément la même vitesse PQ, Appliquons la règle : ft RS ajoutons géométriquement une vitesse ST, égale et de signe contraire à PQ, et nous aurons la vitesse RT du bateau R dans le système A , c'est-à-dire la vitesse apparente de R par rapport à P : des personnes placées sur P verront R se déplacer suivant RT avec la vitesse RT.

27. Composition des accélérations. — Passons maintenant à la composition des accélérations.

Soient d'abord deux mouvements rectiligries dirigés suivant la même droite. Un mobile M se meut sur la droite X'X : s^^ ost sa vitesse à l'époque t relativement à la droite X'X, Vr-^^^r sa vitesse à répoque t-^At; d'autre part, la droite X'X glisse sur elle-même : i'e est la vitesse de ce mouvement d'entraînement au temps f,

Fig. -kS

vv+Av, la vitesse au temps t-h^t. Or, on sait que la vitesse du mouvement résultant est la somme des vitesses des mouvements composants; si donc on appelle ^ la vitesse du mouvement résultant au temps f,

la vitesse au temps t+ At