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At^ At

Mais OR ou QR sin KQR étant du premier ordre, on peut dans son évaluation en vue de la limite cherchée négliger les quantités petites du deuxième ordre. On peut donc dans le produit QR sin KQR remplacer QR par QQ'=BC— MA^^^r^t, car la différence entre ces deux lignes est plus petite que Q'R, qui est du deuxième ordre (puisqu'elle est égale à la déviation AP). L'angle QKR est en général fini et l'angle RQQ' infiniment petit; on peut donc remplacer l'angle KQR par KQQ', c'est-à-dire par l'angle (w, s^r) des deux directions OR(w) et OQ' ou MA (i^^). On a ainsi pour la limite du troisième rapport

Cest Vaccélération centrifuge composée Yc- Elle est égale au double de l'aire du parallélogramme construit sur la vitesse angulaire de rotation et sur la vitesse relative ; et il résulte de ce qui précède qu'elle est perpendiculaire au plan de ce parallélogramme et dirigée dans le sens où la rotation entraîne te système; ou bien, ce qui

6i PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE LA MATIÈRE.

constitue une règle facile à retenir, sa direction est telle que l'axe de rofatio7i soit à sa gauche et la vitesse relative à sa droite, sa droite

Fig. 3i

et sa gauche étant celles d'un observateur placé sur y,, les pieds en M, la tête en y,, et regardant Tangle (w, Vr) (*)• ,

L'accélération Y du mouvement résultant s'obtient donc en composant géométriquement:

I* L'accélération relative y^ ;

a* L'accélération d'entraînement y. ;

\Y L'accélération centrifuge composée Yc :

Y, Yrî ïo ïc désignant des grandeurs géométriques, et le signe + indiquant une addition géométrique.

Ce théorème est connu sous le nom de théorème de Coriolis (*). Newton avait déterminé l'accélération dans le cas où les axes mobiles ont un simple mouvement d'entraînement, Clairaut dans le cas d'un mouvement plan quelconque ; Coriolis le premier résolut la question dans le cas général.

30. Composition des rotations. — Le mouvement d'un corps qui se transporte dans l'espace d'une manière quelconque ne se conçoit pas nettement. On se figure, au contraire, très aisé-

(<) On peut remarquer encore que « vr sin (», vr) est en grandeur et en direction la vitesse de Texlrémité v de la vitesse relative. (*) Coriolis, Journal de VÊcole Polytechnique, XXIV* cahier, 142; 4835.

ment un mouyemeat de translation ou un mouvement de rotation autour d*un axe.

Nous avons vu (28) comment tout mouvement d'un corps solide peut être ramené à ces deux mouvements simples.

Nous compléterons ce sujet par Tétude de la composition des rotations.

Soit d'abord tme rotation &) à composer avec une tramlation v perpendiculaire à C axe de rotation OZ. Considérons un point M situé sur une normale OM au plan ZOA de la rotation Oc=(i> et de la

Fig. 32

vitesse OA=i». La vitesse de rotation du point M est w X OM et elle est dirigée, comme l'indique la figure, d'après notre convention fondamentale. Si donc nous prenons

«oxOM^f»,

la vitesse du point M sera nulle. WL sera une droite dont tous les points seront immobiles à l'instant considéré: ce sera l'axe instantané de rotation. Et la vitesse angulaire w' autour de cet axe est précisément 0) ; car 0 ne devant avoir que la vitesse de translation ^, il faut que la rotation îù lui donne une vitesse

o)'xMO c'est-à-dire que ci)' = o).

ViOLLB, Cours de physique. — I.

PROPRIÉTÉS GÉxNÉRALES DE LA MATIÈRE.

Les deux mouvements seront ainsi remplacés par une rotation unique o) autour de OZ'.

Si la translation, au lieu d'être perpendiculaire à OZ, est quelconque, on la décomposera en deux, Tune perpendiculaire, Tautre parallèle à Taxe. En composant la première avec la rotation, on aura une rotation qui, jointe à la translation parallèle à Taxe, donnera un mouvement hélicoïde.

Soient maintenant deux rotations de même sens o) etco' autour de

Fig. 33

devjc axes parallèles OZ et O'Z'. Menons un plan perpendiculaire aux deux axes, les deux mouvements simultanés donnent à ce plan un déplacement sur lui-même. 11 y a donc dans le plan un point dont la vitesse est nulle, et par suite dans le corps un axe fixe perpendiculaire au plan. Cherchons cet axe instantané de rotation. Si le point M pris sur la droite 00' satisfait à la relation

wxOM^w'xO'M,