Principe de l'égalité de l'action et de la réaction
— Lorsque deux points inatériels m et m' sont en présence, chacun des points exerce sur F autre une force dirigée suivant la droite qui les unit; et la réaction de m' sur m est égale et contraire à Faction de m sur m'.
50. Applications. — i"" Mouvement d'un point pesant sur un cercle horizontal, sans frottement. — Deux forces seulement agissent sur le point : son poids mg et la réaction normale N de la courbe. Cette dernière force, de grandeur inconnue, est également inconnue quant à sa direction dans le plan normal en M, où elle fait
Fig. 65
un certain angle 6 avec la normale principale MO située dans le plan horizontal. Mais de ce fait que les deux forces agissantes sont nor-
HâCANtQUE. — APPUCATIONS. 109
tnales à la trajectoire, il résulle que le mouvement est uniforme tique la résultante des deu\ forces doit être dirigée suivant lanormalc principale MO et égale à — , ce qui détermine N et 0, car on a
Plus la vitesse est grande, plus la réaction est grande: il faut que la matière constituant le cercle puisse exercer cette réaction sans se briser, il faut que le cercle puisse supporter, sans se rompre, l'action égale et contraire du mobile qui le presse suivant une force-N.
On voit aussi que plus la vitesse est grande, plus 6 est petit, plus la réaction s'abaisse vers le plan du cercle. C'est ainsi que, dans un
cique, cheval et cavalier s'inclinent d'autant plus vers l'horizon qu'ils vont plus vite.
a* Mouvement d'un point pesant sttr une hélice tracée sur un ci/lindre vertical. — Le point H est encore soumis à deux forces.
no
son poids mg et la réaction normale de la courbe, N, faisant un angle 6 ayec la normale principale MO. Mais ici, le poids
Fig. 67
n'est plus normal à la courbe et fait avec la tangente en M un angle a, égal à Tangle constant sous lequel Thélice rencontre chaque génératrice du cylindre. Si donc on décompose cette force mg en deux autres, Tune m^cosa dirigée suivant la tangente en M et Tautre mg^sina située dans le plan normal, on aura trois forces : Tune tangentielle, mg cosa^ et les deux autres normales, N et m^sina.
La considération de la première donne
m-T-=mgrcosa,
d'où, en intégrant et supposant ^„=o,
et, par suite.
V = gtCOS0t\
^gt^cosa
le mouvement sur Thélice est uniformément accéléré.
MÉCANIQUE. — APPLICATIONS. lli
Quant à la réaction normale, en se rappelant que le rayon de
courbure de rhélice est -r-^ (*), on trouverait immédiatement
sm^'a
fi=zmsinaK/g^
v^sin^a
et
à mesure que le corps descend, N augmente et 0 diminue.
3* Mouvement d'un mobile M assujetti à se mouvoir sans frottetnefit sur un cercle vertical 0. — Le mobile, placé au début en A
mr'
mjf
Fig. 68
sans vitesse initiale, tombe jusqu'en B, remonte en A', redescend en B^ revient en A, et ainsi de suite indéfiniment. 11 est soumis à deux forces : son poids m^ dirigé suivant la verticale, et la réaction normale N du cercle dirigée suivant le rayon. Puisque le
(^) Soit en effet un point matériel parcourant l'hélice d'un mouvement uniforme: ce mouvement peut être regardé comme résultant d'un mouvement aniforine sur un cercle animé lui-même d'un mouvement de translation rectiligne uniforme. Or l'accélération du deuxième mouvement est nulle, donc l'accélération du mouvement sur l'hélice est la même que l'accélération du mouvement sur le cercle, c'est-à-dire qu'elle est dirigée suivant MO et
égale à-i-=z On a donc m— dou p= . .> »
r r r p ^ sin^oL
lis PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DB U MATIÈRE,
mobile se meut sur un cercle de rajon r, on doit avoir constamment
N — wig-cos6=— ;--
Mais le lliéorème du travail donne, en remarquant que le travail de la Force N, constamment normale à la trajectoire, est nul et que le travail de la force mg, conslante en grandeur et en direction, esl égal au produit de cette force par la projection du chemin parcouru AN sur la direction de la force (c'est-à-dire sur la verticale),
mercos^=
On a donc
N = 3mg^cos6 :
la réaction de la cou rbe est trois fois plus grande que la composante normale du poids. Si, au lieu d'une gouttière circulaire AA', on prenait pour retenir le mobile un fil attaché en 0, N serait la tension de ce fil.
Conservant notre cercle, supposons que le mobile y arrive en B
avec une vitesse initiale y,—\jipi, due à une chute préalable
de hauteur A, comme dans le chemin de fer dit A forcé centrifuge. Pour que le mobile puisse remonter en B\ il faut évidemment
Fig. 70
/t>ar; mais cela ne suffit pas pour qu'il parcoure tout le cercle. Le mobile ne restera sur la courbe que s'il la presse constamment, si par conséquent, la réaction normale du cercle est toujours dirigée Yers le centre. Soit N cette réaction,
IVT ^ ^^
N — mg^cosô = — ;-.
Mais, d'après le théorème du travail, quand le mobile est en M, à la hauteur z au-dessus du point B,
d'où
On a donc, en remarquant que cosô = —
A mesure que le corps s'élève, z augmente, N diminue. Mais N doit rester positive sous peine de chute. Il faut donc que l'on ail
VioLLE Cours de physique, — I.
c'est-à-dire
Si la hauteur h était comprise entre 27* et -r, N s'annulerait en
quelque point, et comme en ce point le mobile aurait une certaine yitesse, il tomberait suivant une parabole (ayant au point de départ même rayon de courbure que le cercle, puisque alors la
même équation m^cosO= — représenterait le mouvement sur les
deux courbes).
51. Force d'Inertie. — Toutes ces questions de mouvement peuvent, d'ailleurs, se ramener à des questions d'équilibre par la considération d'une force fictive, la force (T inertie^ — ''»Y> égale et de sens contraire à la résultante des forces qui agissent réellement sur le mobile. C'est ainsi que l'on peut regarder les équations du mouvement
comme indiquant l'équilibre entre la force d'inertie et les forces qui sollicitent réellement le corps (^}.
La force d'inertie peut se décomposer en deux autres: l'une menée suivant la tangente en sens inverse de l'accélération tangentielle, Tautre dirigée suivant la normale principale à l'opposé du centre de courbure et nommée en conséquence force centrifuge.
52. Force centrifuge. — Dans le mouvement circulaire uniforme, la force d'inertie se réduit à cette dernière composante. Par
(') CeUe force d'inertie se présente, d'ailleurs, tantôt comme une résistance, tantôt comme une puissance. Ainsi, quand un homme pousse un wagon sur des rails, il ne lui faut, pour entretenir un mouvement uniforme, que le bdble effort nécessité par les résistances passives; mais s'il veut acc^érer le mouvement, il doit augmenter l'effort, et la réaction augmente en même temps : elle agit alors comme une résistance. Si, au contraire, il veut ralentir le mourement, en tirant sur une corde par exemple, l'action étant négative, la réaction est positive et joue le rôle d'une véritable puissance.
