MÉCANIQUE. — MOMENTS D'INERTIE
60. Moments d^inertle. — Nous avons défini moment d'inertie d'un corps par rapport à un axe la quantité S/n/*^, somme des produits de la masse de chaque point par le carré de sa distance à Taxe.
Pour un corps homogène, de forme géométriquement définie, la recherche du moment d'inertie autour d'un axe donné est un problème de calcul intégral.
Dans tous les cas, ce problème revient à la détermination du moment d'inertie autour d'un axe mené par le centre de gravité. Soient, en effet, deux axes parallèles : l'un, mené par le centre de gravité Get que je prends pour axe des^, GZ ; l'autre, HZ', situé à la distance a du premier. Prenons pour plan des zx le plan des deux axes ;
Fîg. 84
le plan des j^ leur sera perpendiculaire et on aura, en appelant /- et r, les dislances d'un point M quelconque à l'axe HZ' et à l'axe GZ,
mi^:=TnT\ -f- ma^—imax; et, en faisant la somme pour tous les points du corps,
puisque 2rt2ma:=o.
Il résulte, en effet, de la définition rappelée plus haut (57) que, si l'on prcud le centre de gravité pour origine des coordonnées [x^—o, j,~o, S|=o), on a :
2/?Lr=o, Smj-=o, Smz = o.
Si donc on désigne par MK^ le moment d'inertie autour de l'axe
GZ, K étant ce que Ton appelle le rayon de gyraiion, on a
Ainsi, le moment d'inertie d'un corps autour d'un axe quelconque esl égal au moment d'inertie autour d'un axe parallèle passant par le centre de gravité ^ augmenté du produit de la masse totale M du corps par le carré de la distance de faxe au centre de gravité.
Cela posé, calculons quelques moments d'inertie qui nous seront utiles dans la suite.
1* Parallélipipède rectangle. — Soit L, le moment d'inertie par rapport à Taxe OZ, mené par le centre de gravité parallèlement aux
Fig. 85
arêtes c; et soient «, b les arêtes parallèles à Ox et Or, on a, p étant la densité du solide homogène,
U = ^jJJ{x^^a^)dxdjdz = çjj{x^+y^)dxdjpyz, •^ \i2 la /
la
MÉGANIQUE. — MOMENTS D'INERTIE. t35
Ainsi, dans ce cas,
2* Sphère. — Soit U le moment d'inertie d'une sphère pleine par rapport à son diamètre OZ
Mais on aurait de même
et
d'où
ou
1 étanl le moment d'inertie autour d'un diamètre quelconque et r désignant la distance de la masse m au centre de la sphère.
Or, si Ton décompose la sphère en couches sphériques concentriques de rayon variable '• et d'épaisseur rfr, on a
et par suite
Donc ICI
On trouverait de même aisément :
3* Cylindre droit circulaire de rayon R et de hauteur h^ par rapport
à son axe
4* Le même cylindre, par rapport à un axe parallèle aux bases fit passant par le centre de gravité
61. Théorème du travail. — Troisièmement. Enfin, voyons ce que devient le théorème du travail et de la puissance vi\e. Pour chaque point on a
le signe £ s'étendant à toutes les forces qui agissent sur le point considéré.
Si Ton ajoute membre à membre les équations se rapportant aux différents points du système, il vient
le signe 2 se rapporte à tous les points du système et le signe ^ comprend toutes les forces, tant intérieures qu'extérieures, qui sollicitent ces divers points.
11 se présente cependant un cas où dans l'évaluation des travaux il n'y a pas à tenir compte des forces intérieures, c'est lorsque le système est solide : alors en effet les forces intérieures étant deux à deux appliquées aux extrémités de droites invariables et étant d'ailleurs égales et de sens contraire, leurs travaux se détruisent.
Dans une machine on doit distinguer le travail moteur^ Tmy somme de tous les travaux positifs reçus par la machine pendant un certain temps, et le travail résistant, Tr, somme, prise positivement, de tous les travaux négatifs pendant le même temps. Mettons ces travaux en évidence, nous aurons:
Si la machine est arrivée à sa vitesse de régime, laquelle sera soit uniforme (roues hydrauliques), soit périodiquement uniforme
