MÉCANIQUE. — PRINCIPE DE D'ALEMBERT

a, ^, Y étant les cosinus des angles de la normale extérieure N avec les axes. Le terme correspondant du yiriel est

Or ^ ' n'est autre chose que le volume du cône ayant pour

sommet l'origine 0 (que je suppose à l'intérieur de la masse) et pour

baseb). Donc, en prenant tous les termes analogues et en appelant v

le volume du système, on aura pour le viriel extérieur -pf', exprès-

sioQ que nous retrouverons à la base de la théorie cinétique des

gaz.

67. Principe de d'Alembert. — De la considération du travail peuvent encore se déduire des théorèmes très importants.

Considérons un système matériel dont les divers points sont sollicités par des forces quelconques. Supposons chacun des points du système transporté, conformément aux liaisons, de la position qu'il occupe dans une position infiniment voisine; on nomme vitesse virtuelle (*) de l'un quelconque de ces points, ou mieux déplacement virtuel la droite qui joint la première position à la deuxième.

On appelle travail virtuel d'une force appliquée à un point le travail correspondant au déplacement virtuel. Si l'on désigne par Is ce déplacement, le travail virtuel TJ? de la force F est

7;F=Fa5cos(F,S,0-

Or, on peut toujours, quelles que soient les liaisons, les supposer remplacées par des forces obligeant chaque point à satisfaire aux mêmes conditions. Ainsi, la condition qu'un point doit rester sur une surface ou une courbe donnée se traduira par Tintroduction de la réaction normale de la surface ou de la courbe. Chaque point

(') L'expression de vitesse tient à ce que Ton peut concevoir que le déplaceineot se fait avec uniformité dans un temps extrêmement court et alors les espaces parcourus sont proportionnels aux vitesses; le mot virtuel si^niûe que ce déplacement n'est que possible et ne s'effectue pas réellement.

peut alors être considéré comme libre et soumis à un système de forces se composant de forces extérieures, de forces intérieures, de forces enfin remplaçant les liaisons.

Mais, en se reportant à ce que nous avons dit des forces d'inertie (51), on voit qu'alors il y a équilibre à chaque vistant^ au moyen de ces liaisons^ entre les forces sollicitant chaque point et les forces d'inertie. C'est le grand principe de d'Alembert ramenant la Dynamique à la Statique.

Soient donc X, Y, Z les trois composantes de la résultante de toutes ces forces pour un point m (x, j^ z) ; on a :

^ d^x ^J <Py y d}z

et par suite

ou

quel que soit le déplacement (5a:, 5j , 8^).

Chacun des autres points donne une équation semblable, et en faisant la somme de toutes ces équations, il vient

Cette équation renferme 3/i variations, le nombre des points étant n. Mais on a A; équations exprimant les liaisons et qui, différentiées, permettent d'éliminer A' variations. Il en restera donc 3/1 — Â; complètement arbitraires. En égalant à zéro le coefficient de chacune d'elles, on a 3n — A* équations qui détermineront les 3n — A* coordonnées réellement indépendantes. Et ainsi, d'une manière générale, le mouvement du système est complètement déterminé.