MÉCANIQUE. — PRINCIPE DES VITESSES VIRTUELLES

68. Principe des vitesses virtuelles. — Pour que tous les points restent en repos, il faut et il suffit que pour un déplacement virtuel quelconque le premier membre de Téquation (7) soit nul. DoQc, pour que le système soit en équilibre, il faut et il suffit que la somme des travaux virtuels de toutes les forces, y compris celles qui tiennent la place des liaisons, soit nulle :

2](Xir-hY8j'-+-Z55:)=o, (8)

quels que soient les déplacements virtuels des différents points.

Dans tout déplacement compatible avec les liaisons, les forces de liaison sont nécessairement normales aux chemins parcourus, et par conséquent leurs travaux virtuels nuls; de sorte que Téquation

se réduit à

oii 2(Xe3a:-f-Ye2[x + ZeBz) désigne la somme des travaux virtuels des forces extérieures et Smm/(r)$r la somme des travaux virtuels moléculaires, le signe S marquant une sommation étendue à tous les groupes (m, m').

Donc, quand un système de points matériels liés entre eux d'une manière quelconque est en équilibre^ la somme des travaux virtuels de toutes les forces directement appliquées au système est nulle pour tout système de déplacements virtuels compatible avec les

liaisons.

Tel est le principe des vitesses virtuelles, dont l'importance philosophique est considérable, puisque, réduisant toute question d'équilibre de forces à une détermination de rapports de vitesses, il ramène d'un coup la Statique à la Cinématique, et dont l'utilité pratique n'est pas moindre, car il est simplement la traduction en langage mathématique du fameux adage :

Ce que l'on gagne en force, on le perd en vitesse^ et réciproquement.

i50 PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE LA MATIÈRE.

Galilée (^) avait bien reconnu cette loi comme une propriété générale de Téquilibre, mais c'est Descartes (*) qui le premier y montra la vraie raison de Téquilibre. BernouUi C"^) Ténonça ensuite sous sa forme générale ; et Lagrange (*) en déduisit une formule renfermant la solution de tous les problèmes d'équilibre.

69. Condition générale de Téquilibre. — Dans la dernière équation, ^mmj\r) Ir est toujours une différentielle exacte des

coordonnées des pcynts m, m', rn S'il en est de même de

^ (Xe5x -h Ye3^ H- Ze^s) (ct ccla aura toujours lieu dans le cas des forces naturelles), si par conséquent les forces extérieures et intérieures (*) ont un potentiel y =iF [x^ y z^ x y' ^',....), dans lequel nous supposerons que Ton ait remplacé k coordonnées par leurs valeurs en fonction des Zn — k autres coordonnées qui restent ainsi indépendantes ; alors la condition précédente se réduit à

aV = o;

ce qui exprime que pour t équilibre il faut que le potentiel soit un maximum ou un minimum relativement à toutes les variables indépendantes,