Quand le potentiel est minimum, l^équilibre est

stable. — Soient, en effet, a, i, c, a' les valeurs de x^ y^ z,

X dans la position d'équilibre pour laquelle V est minimum.

(*) les Méchaniques de Galilée^ mathématicien et ingénieur du duc de Florence, avec plusieurs additions, traduites de ritalieti par le P. Mersenne, minime. Paris, 1634; et en particulier l'épître dédicatoire de Mersenne, où le commentateur de Galilée dit « que l'on ne peut rien gagner en force qu'on ne le perde en temps ».

(*) Descàrtes, Méchanique, traduite par Nicolas Poisson, de l'Oratoire, 1668: explication des machines et engins par l'aide desquels on peut, avec une petite force, lever un fardeau fort pesant.

(*) Bernoulli, Lettre à Varignon, Bâle, 1717.

(^) Lagkk^gr, Mécanique analytique, Paris, 1788.

(*) Dans le cas d'un corps solide libre ou de plusieurs corps solides agissant les uns sur les autres, les travaux moléculaires sont nuls, et le potentiel se rapporte simplement aux actions extérieures.

MÉCANIQUE. — CONDITION POUR QUE L'ÉQUILIBRE SOIT STABLE. iol

Déplaçons chacun des points d'une quantité extrêmement petite, de sorte que les coordonnées deyiennent

fl + Ao» *-»-*o* ^+'o» «'+'<>» *'^-^L> ^'+'c

et communiquons-leur des vitesses très petites ^^, v\,.. ; nous allons

montrer que le déplacement du système restera toujours très petit, que par conséquent Féquilibre sera stable.

Soient a: — a -i- A, y=:b-\-k, z^ic-hly x'=a-{-Ii ce que deviennent les coordonnées, el soient ç', / ce que deviennent les

vitesses à une époque t quelconque, on a :

nii^ ^nvl 7 11 f / 1/ \

Posons

F(a-f-/i, t-hA:, c + /, a'-hA'...) = F(a,i,c,a' ...)-h'KA,A,/,A'...),

'i étant une fonction qui s'annule pour /i=:o, A-=o, /=o, A'=o ,

elqui est positive et croissante tant que /i, k, /, Ii sont inférieurs

à certaines limites ff,K, L^ H' ; il vient

Soit A la quantité très petite -Sm^J|^j, ^/^^^ ^^^ /^^ /^'^ )^

'^ (/i, A", /, A' ) doit rester toujours inférieure à cette quantité, car

ne saurait devenir < o; donc les déplacements /i, A, /, Ji

resteront eux-mêmes très petits, et l'équilibre sera stable.

Soit, par exemple, un système solide, ou plus généralement un système dans lequel le travail des actions moléculaires soit nul, et qui soit soumis à la seule action de la pesanteur. Appelons P le poids du système et z^ l'ordonnée verticale du centre de gravité ; nous aurons

Pour que Téquilibre soit stable, il faut que z^ soit un minimum, c'est-à-dire que le centre de grayité soit le plus bas possible. Lorsque le potentiel est maximum, l'équilibre est instable (*j.