IV. — Lentilles

427. Réfraction a travers une surface sphérique de faible ouverture. — Les lentilles étant habituellement limitées par des calottes sphériques de faible ouverture, nous étudierons la réfraction de la lumière par une petite calotte sphérique MN, séparant deux milieux d'indices absolus », et n,. Supposons d'abord le point lumineux P, placé sur l'axe OA de la calotte sphérique, dont est le centre de courbure et A le pôle ou sommet. Prenons pour plan de la figure une section méridienne on principale quelconque.

Fig. i 7 4

Un rayon incident, tel que P,l, donnera naissance a un rayon réfracté 1P 4 ; et puisque, par hypothèse, les angles w, a,, a t , i et r sont petits, nous pourrons les confondre soit avec leur sinus, soit avec leur tangente. Nous prendrons donc la formule de Kepler

et, comme i=w-|-a, et r=u— a t , en posant AP,=p lt AP s =p s , AO = R et AI=n, nous aurons

d'où nous tirerons

Violle, Cours de physique. — U. 27

relation indépendante de h : tous les rayons émanés de P 4 vont donc après leur passage à travers la surface MN concourir en un même point P 2 .

Cette relation établie dans un cas particulier (MN convexe du côté de P, et n 8 > w t ) s'appliquera dans tous les cas si nous convenons de compter positivement les distances p t et p % à partir du pôle A vers leurs milieux respectifs ( l ) : p t sera positif quand la lumière émanera d'un point lumineux situé dans le premier milieu; p % sera positif lorsque la lumière convergera vers un point situé dans le deuxième milieu ('). Quant au signe de R, il est dès lors défini, le point étant à lui-même sa propre image. Ainsi, dans le cas considéré, si le point lumineux est en 0, p t =— R, l'image est

aussi en 0, p a =R; par suite, le premier membre est * R f ; pour

que le second membre soit égal au premier, R doit donc être compté positivement ( 3 ).

L'équation (i) est tout à fait semblable à celle que nous avons établie pour les miroirs sphériques ( 4 ) et elle se discuterait de même. Nous noterons seulement les valeurs correspondant à

(') Nous nous conformons ainsi au principe du retour inverse des rayons. (*) En d'autres ternies, chacune de ces grandeurs sera positive ou négative suivant que le point correspondant sera réel ou virtuel.

( 3 ) Dans le cas où la calotte sphérique tourne sa concavité vers le point lumineux réel situé dans le premier milieu, n t étant toujours supposé plus grand que n v le point de concours des rayons réfractés est virtuel et situé dans le premier milieu, p % est donc négatif: désignons-le par — p„ en appelant "p t la valeur absolue de la distance AP,. Le premier membre de l'équation sera donc

-1 — «=*. Si P t est en 0, /> 2 =R,/î 2 =R, le premier membre devient- 1 T~ * ; Pi Pt R

R doit donc être compté négativement dans la formule (i). Par conséquent,

R étant la valeur absolue du rayon, on aura

Pt p 2 R

( 4 ) Quand la surface de séparation des deux milieux est plane, R= »,

l'image du point réel P, est virtuelle et à une distance de la surface égale en valeur absolue à — p i (cf. 4^3).

p l = oo et p 2 =co : dans le premier cas, les rayons incidents sont parallèles et vont après réfraction converger en un point que Ton appelle le deuxième foyer principal et dont la distance au point A (comptée positivement vers le deuxième milieu) est

n g — Wj

dans le deuxième cas, les rayons émergents étant parallèles, les rayons incidents émanent d'un point que Ton appelle le premier foyer principal et dont la distance au point A (comptée positivement vers le premier milieu) est

On remarquera que

A = lh fi "t

et que

Si Ton introduit ces distances focales, la formule (i) devient

Pi P* ^

et elle s'étend à tous les cas, avec la convention faite précédemment sur les signes.

La même forme de relation subsiste si le centre est pris pour origine. Soient en effet f[, p[, fi, p*, les distances comptées à partir de ce point, on a

y;=/ï-R, Pi = P [-R, f>=A+K, ^-pi+R,

et par suite

(*) Dans le cas où R est négatif, f i et/ 2 sont négatifs : les deux foyers sont virtuels; le deuxième foyer est situé dans le premier milieu à une distance de

n *R la surface égale à — - — ,1e premier foyer est situé dans le deuxième milieu à une

distance de la surface égale à — -

ou, comme on le voit aisément en remarquant que /ï — ,/ï=R,

Pi P*

Le pointO, comme le point A, est à lui-même son propre conjugué. La forme (2) persiste si les distancesyetp d'une part,/ 7 et p' d'autre part, sont comptées à partir de deux points conjugués quelconques, Qi

et Q 2 , tels par conséquent que J A+— = 1 . Si en effet on appelle/" et

p" les distances comptées à partir de Q, positivement dans le sens d'où vient la lumière dans le premier milieu et de même y, et p\ les distances comptées à partir de Q 2 positivement dans le sens où va la lumière dans le deuxième milieu, on a

et, en substituant dans la relation (2), on trouve facilement

Jt ' ~H l *

Pi P*

Si Ton prend pour origine les deux foyers F x et F 2 , et si Ton désigne par u t la distance FiP t comptée positivement du côté d'où vient la lumière et par gt 2 la distance F a P s comptée positivement du côté où va la lumière,

Pl=G i +f i , Pi — ïïi+fi,

et Ton a la formule de Newton

GIjGT =fifi- (3)

L'analogie avec les miroirs sphériques est frappante. Les formules que nous venons d'établir s'appliquent aux miroirs si l'on y fait n t = i et n 2 = — 1 ; en effet la réflexion peut être considérée comme une réfraction avec l indice — 1 .

Des raisonnements tout à fait analogues à ceux que nous avons faits à propos des miroirs montreront que les mêmes formules conviennent aux points peu écartés de Taxe, et que par suite l'image d'une petite droite perpendiculaire à Taxe est elle-même une petite droite perpendiculaire à l'axe.

On déterminera aisément cette image en construisant le conjugué Q a d'un point Oi pris hors de l'axe, par l'intersection de l'axe secondaire OQ, relatif à ce point (cet axe secondaire n'est autre que le rayon de la sphère OA passant par ce point) avec le rayon réfracté provenant soit du rayon incident Q,B parallèle à l'axe, soit du rayon incident Q,C passant par le premier foyer F,.

Si donc l'objet est plan, l'image sera semblable à l'objet et semblablement placée, le point étant le centre de similitude. On voit

Fig. *)5

immédiatement sur la figure que — 1 étant l'image P s Qj de l'objet O figuré ici par P,Q„ on a

-I ./, -1-hO-p,'

d'où

o p</, [ et aussi

(') Des deux relations qui précèdent on tirerait, si on ne l'avait précédemment établie, la formule fa)

Pi Pi (*) De celle dernière égalité on conclurait la formule (3}

En désignant par a t et — a* (fig. 273) les angles qui mesurent la divergence extrême des rayons incidents et celle des rayons réfractés (ces derniers fuyant au-dessous de Taxe, l'angle a* doit être pris avec le signe — ), on a, au degré d'approximation auquel nous nous sommes arrêté, Pt«i=— Pia 2 ; et si dans F avant-dernière formule

on remplace — par — - et ^ par —, il vient

/liOai^nJa^ 1 ). (6)

Toutes ces formules sont générales (*).

L'analogie avec les miroirs nous dispense d'entrer dans de plus amples détails sur cette question.

428. Réfraction & travers un système de surfaces sphériques centrées. — Conservation de thomocentricité. — Soit maintenant une succession de milieux différents, séparés les uns des autres par des surfaces sphériques de faible ouverture ayant toutes leur centre et leur pôle sur une même droite, qui sera Y axe principal du système : les rayons qui partent d'un point P t , situé sur l'axe (ou très près de l'axe) dans le premier milieu, et qui après la première réfraction vont converger réellement ou virtuellement en un point P 2 , se présenteront à la deuxième réfraction comme s'ils émanaient de ce point P 3 et seront par conséquent amenés à passer tous par un nouveau point réel ou virtuel P 3 , et ainsi de suite jusqu'à la dernière réfraction, de sorte que les rayons originairement issus d'un même point, ou homocentriques, formeront encore après toutes ces réfractions en nombre quelconque un faisceau homocentrique.

On aura donc à considérer par rapport à un système de surfaces sphériques centrées, comme par rapport à une seule surface, des points conjugués et des plans conjugués, particulièrement deux

(*) Cette loi, due àLAGRANGE, a été remise en lumière par M. von HELMOLTzqui la formule ainsi : le produit de l'inclinaison optique na d'un rayon (prise en valeur absolue), par la grandeur linéaire I de l'image est le même dans différents milieux séparés par des surfaces sphériques de petite ouverture.

( 2 ) Pour R = oo, on a, en remplaçant 2l par ——et i 1 par —,7^=1 : lï-

mage est virtuelle, droite et égale à l'objet.

foyers et les deux plans focaux correspondants : nous appelons toujours deuxième foyer l'image d'un point situé à l'infini dans le premier milieu, et premier foyer le point du premier milieu dont Tirnage est située à l'infini dans le dernier milieu. Le système est convergent ou divergent suivant que des rayons incidents parallèles vont à l'émergence aboutir à un foyer réel ou à un foyer virtuel ( 1 ).

Lentilles infiniment minces. — Avant d'étudier plus en détail les propriétés d'un système quelconque de surfaces sphériques centrées, nous examinerons en particulier le cas de deux surfaces limitant dans le milieu 2 une lentille dont nous supposerons l'épaisseur négligeable relativement aux rayons de courbure des faces.

La première réfraction est exprimée par l'équation

Wj /2 2 n % — n t

Pi pi~ R

La deuxième sera représentée par une équation toute semblable dans laquelle p 2 et R' seront pris négativement, la distance du point lumineux P 2 au pôle A' de la deuxième surface étant comptée positivement de A' vers le milieu 2, et le rayon R f de la deuxième surface étant regardé comme positif quand cette surface est convexe du côté du milieu 3,

On en tire

P* Pz R'

n i 7Z 3 77 2 — n i tz 2 — n z

+ jl nP> («y

formule analogue à celle qui règle la réfraction à travers une seule surface sphérique.

Si l'on y fait pi=<x> , p z devient la deuxième distance focale f\ comptée positivement vers le troisième milieu; ce qui donne

(*) Les deux foyers n'étant pas nécessairement de même nature, le système peut être convergent d'un côté et divergent de l'autre (oculaire négatif d'Huygens).

La première distance focale f, comptée vers le premier milieu, et correspondant à p z = , x> , est déterminée par la relation

Les distances focaJesyety satisfont donc encore à la relation

et si on les introduit dans la formule (i)', en posant p t =p et p 2 =p\ on retrouvera l'équation

équation qui s'étend à tous les cas, et qui se conserve arec un couple de points conjugués quelconques pour origines; tandis que, si Ton prend respectivement pour origine les deux foyers, on retombe sur la formule de Newton

™*'=ff. (3)'

L'image d'une petite droite perpendiculaire à Taxe, image qui pour un système centré quelconque est une petite droite perpendiculaire à l'axe et conjuguée de la droite-objet, se construit immédiatement au moyen des foyers, ainsi que le montrent les figures ci-contre (lentilles convergentes et lentilles divergentes), qui donnent encore

On a d'ailleurs ou

n i 0d l = njx 3 . (6)'

Si l'on mène la droite QQ' qui coupe en N l'axe principal PP\ on trouve

FNACCP BQ'~ÀB~W d'où