CA R-CO R

CA' - R'-C0'~lr J "

Prolongeons le rayon SI jusqu'à sa rencontre avec l'axe principal en n. Gomme les deux droites X'n et Sn représentent deux rayons

émanés du point virtuel n et amenés par la première réfraction à converger en C, on voit que n et C sont conjugués par rapport à la première face; donc le point n est également fixe. Il en est de même de »', point où le rayon émergent RI' converge avec l'axe. Par con-

(*) Le centre optique est donc à l'intérieur d'une lentille biconvexe ou biconcave, au sommet de la face courbe d'une lentille plan-convexe ou plan-concave, a l'extérieur d'uu ménisque et du côté de la face qui a le plus petit rayon.

séquent, tout rayon incident qui passe par le point n donne naissance à un rayon émergent parallèle passant par n'. Ces deux points n et ri sont dits les points nodaux de la lentille. Ce sont les images du centre optique dans Tune et l'autre face de la lentille : on les mettra donc aisément en place d'après les règles de la réfraction à travers une calotte sphérique de faible ouverture.

Quand la lentille est infiniment mince, les deux points nodaux et le centre optique se confondent avec le centre de figure de la lentille, qui se trouve être ainsi le point par lequel passent les rayons sans déviation et conséquemment le centre de similitude entre l'image et l'objet.

Les formules relatives au cas où les deux milieux extrêmes sont quelconques deviennent ici

wJ=p. (3)"

L'analogie entre les lentilles et les miroirs est intime, une lentille convergente se comportant comme un miroir concave, une lentille divergente comme un miroir convexe, de même distance focale ( 4 ).

La puissance se défiait, ainsi que pour un miroir, l'inverse de la distance focale,

L'unité de puissance, ou dioptrie, est la puissance d'une lentille dont la distance focale principale est égale à i mètre (*).

(') Ne pas oublier que la lumière réfractée par une lentille continue sa marche en avant, tandis que la lumière réfléchie par un miroir revient en arrière. Il en résulte qu'ici, contrairement à ce qui se passe avec les miroirs, l'image et l'objet se déplacent toujours dans le même sens.

( 2 ) La substitution du système métrique au système duodécimal dans l'évaluation des distances focales, exprimées jusqu'alors en pouces, a été proposée par M. Javal au Congrès d'ophtalmologie de Paris en 1867 et adoptée par le Congrès de Berlin en 1875- La dioptrie a été indiquée comme unité de puissance par M. Monoyer.

RÉFRACTION. — RÉFRACTION A TRAVERS UN SYSTÈME DE SURFACES. Si l'on accole deux lentilles infiniment minces, on a

Pi T

la puissance de l'ensemble est égale à la somme des puissances individuelles. En général, la puissance du système formé par plusieurs lentilles infiniment minces en contact est égale à la somme algébrique des puissances de ces lentilles.

Propriétés générales d'un système centré quelconque. — Dans le cas d'une surface spbérique de faible ouverture, le rayon incident et le rayon émergent peuvent être considérés comme coupant en un même point le plan tangent au sommet de la calotte sphérique donnée, puisque la partie utile de la calotte se confond avec ce plan.

Fig. 181

GausS(')a montré que dans un système quelconque de surfaces sphériques centrées, de faible ouverture et rencontrées par des rayons peu inclinés sur l'axe principal, il existe deux plans conjugués que le rayon incident et le rayon émergent rencontrent toujours à la même hauteur : ce sont les plans principaux du système; et l'on appelle premier plan principal celui qui correspond au rayon incident, deuxième plan principal celui qui se rapporte au rayon

(') Gauss, Dioptrische Untersuchungen, dans Abkand. d. kôn, Gesells. d. Wiss. su Gôttingen, I; 1838-43.

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En effet, connaissant ces quatre points, les deux foyers F, F et les deux points principaux H, H', ou peut construire le conjugué d'un rayon incident quelconque PK. Ce rayon perçant en K le premier plan principal, le point K' silué à la même hauteur dans le deuxième plan principal est un point du conjugué. Pour avoir un deuxième point, on mènera par le premier foyer un rayon FL parallèle au rayon incident et qui, devenant, après réfraction, parallèle à l'axe, coupe le deuxième plan focal en E\ lequel est le

( ') D'une façon générale un système optique est défini par quatre conditions dont au moins un grossissement. Les plans focaux principaux (représentant à la fois un couple de plans conjugués et un grossissement) valent deux conditions; chaque plan focal principal (équivalant à un couple de plans conjugués) eonstilue une condition.

RÉFRACTION. — RÉFRACTION A TRAVERS UN SYSTÈME DE SURFACES. 431 deuxième point cherché, car les deux rayons parallèles PK et FL doivent à la sortie passer par un même point du deuxième plan focal. On pourrait aussi (en renversant la construction) déterminer la direction du rayon émergent.

De toutes manières, on saura trouver le conjugué P' d'un point P pris sur l'axe.

Si le point est situé hors de Taxe, on construira aisément le conjugué Q' à l'aide du rayon QK parallèle à l'axe, qui devient R'F', et du rayon passant par le premier foyer, qui devient LL'.

On aura ainsi l'image P'Q' de la droite PQ.

D'ailleurs, en considérant les triangles QRLet FHL d'une part et les triangles Q'L'K' et F'H'R' d'autre part; et en appelant/ et p

Fig. 383

les longueurs HF et HP comptées à partir du premier point principal positivement vers le premier milieu, et f et p' les longueurs H'F' et H'P' comptées à partir du deuxième point principal positivement vers le dernier milieu, on retrouve les relations

{') Quand l'objet se déplace du premier foyer au premier plan principal, l'image, marchant dans le même sens que l'objet, va de — oo au deuiieme plan principal. Il y a donc un plan où l'image et l'objet se rencontrent. M. Martin {Ann. de ehim. et de phys., (4), X, 426 ; 1867) a appelé l'attention sur ce plan, déjà signalé par Bbavais (Ann. de ehim. et depkys., (3), XXXIII, 498 ; 1835). Le

Donc, si Ton prend pour origines les deux points principaux et si Ton conserve les conventions pour les signes, on retrouve la formule fondamentale (11). On y arriverait de même en prenant pour origine un couple de points conjugués quelconques.

Les deux relations précédentes donnent aussi

tti < ,v >

On en tire également, cr et u f désignant les distances FP et F'P ? ,

d'où

zrf=ff. (111)

Enfin on a toujours

«jOai^/icIac (IV)

^ étant l'angle que fait avec Taxe principal un rayon partant du point P dans le milieu i d'indice n u <x e l'angle que fait avec le même axe ce rayon arrivant au point conjugué P' dans le milieu extrême d'indice n e .

Si le rayon émergent est parallèle au rayon incident, c'est-à-dire

si a c = a 1 ,j=r= — ; et les points où le rayon incident et le rayon

émergent rencontrent Taxe sont situés à des distances de F et de F' respectivement égales à

point B où le plan de Bravais coupe Taxe, entre F et H, ou point symptotique de Lisling (Listing, Pogg. Ann., GXXIX, 466 ; 1866), étant à lui-même sa propre image, on a évidemment, si l'on désigne par s? et W les longueurs FB et F'B, 5+ 5'=/ -h/' +8, et zijz'—ff. Ces deux équations symétriques en S et 5' déterminent deux points, situés à des distan ces respectivement égales des deux foyers, et distants l'un de l'autre de £==y / (/H-./ > 4-8)*--4//\ la condition de réalité de ces points étant (/+/'-+- S) 2 — 4.//'>o. Lorsque le système optique se réduit à une lentille infiniment mince placée dans l'air, les plans de Bravais ainsi que les plans principaux se confondent avec la surface de la lentille.

c'est-à-dire indépendantes de a ('}. 11 existe donc sur l'axe principal deux points tels qu'à tout rayon incident passant parle premier correspond un rayon émergent parallèle passant par le deuxième. Ce sont les deux points nodaux.

■ L'existence de ces points peut d'ailleurs être établie géométriquement d'une façon très simple. Soit QE un rayon quelconque arrivant parallèlement à l'axe : il perce le premier plan principal en K, le deuxième en K' et émerge suivant K'F' en passant au deuxième foyer F'. Par le point E où QE perce le premier plan focal, menons un rayon SE parallèle à K'F' : ce rayon devra émerger aussi parallèlement à K'F', puisque tous les rayons émanant d'un même point E du premier plan focal forment à l'émergence un faisceau de rayons parallèles. Le rayon émergent L'S' sera donc parallèle au rayon incident SL (le point L' étant pris dans le deuxième plan principal à la même hauteur que le point L dans le premier). Or ces deux rayons coupent l'axe respectivement en N et N' qui sont fixes, car les triangles rectangles égaux EFN et K'H'F'

Fig. ï84

(EF^K'H') d'une part, et N'F'E' et ERL (E'F'=K'L'=KL) d'autre part, donnent

FN=H'F' et F'N'=KE, «'est-à-dire

— m= f et -ra.,=/,

ct/j étant la, distance du premier point nodal au premier foyer

e l ma = — f, valeurs que nous allons trouver directement ; ou, si on le préfère, la

comparaison des deux systèmes de valeurs peut servir à démon trer cette relation.

Violu, Cours de physique. — II. 28

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Fi* «i

l-'i figuru »8iï montre comment à l'aide des points nodaux on jionl nMinlniirn de deux manières le conjugué d'un rayon incident i|iinlcoii(fiifl, v.n appliquant l'une ou l'autre des deux règles soivn n (ex ;

fuiit i-ni/iin issu Un point E appartenant au premier plan focal fatwtjp pttrtillèlemrni à la première directrice NE;

finit rnifim pnrn/lMe à la deuxième directrice N'E' rencontre It Uf ii.inUiir pfri h ru E'; Nittl iptti l'on Irnco par K' une parallèle à NE, soit que l'on joigne K'

au point E'où la droite N'E', menée par N' parallèle à PK, perce le deuxième plan focal.

De même, dans la construction de l'image Q' d'un point Q, il suffira de joindre à l'un des rayons K'F' ou LL' la directrice IN'Q', le couple QN, N'Q' formant le rayon sans déviation.

Fig. a86

Lentilles épaisses. — Appliquons ces considérations à quelques cas particuliers.

Soit d'abord une lentille constituée par un milieu d'indice n,, sous une épaisseur A,Aj= e, et dont les faces A, et Aj, de rayons R et R', sont respectivement en conctact avec deux milieux d'indices «, et n 3 . Nous désignerons par F, et FJ les foyers de la première surface réfringente et par F s et Fi ceux de la deuxième, en posant (430)

Ji «i — « 3 ' n 3 — n s ■

Un rayon SI,, parallèle à Taxe et rencontrant en I, la surface de séparation des deux milieux i et 2, irait passer €a V[ si le deuxième milieu s'étendait jusque-là. Mais nous supposerons l'épaisseur e plus petite que l'un et l'autre des rayons R et R'. Le rayon 1,F{ perce en un point R„ situé entre 1, et Fi, la surface séparant les milieux 2 et 3, et il est rabattu en R 2 F', de sorte que F' est le deuxième foyer de la lentille. Si HK et H'K' sont les deux plans principaux de la lentille, le rayon R 2 F' rencontre le deuxième plan

principal en un point K' situé à la même hauteur que le point K. où le rayon incident traverse le premier plan principal. De même le rayon S'I„ réfracté d'abord suivant 1,F„ puis suivant R,F, vient

Hg. 387

aboutir au premier foyer F de la lentille, en suivant la direction KR, (').

Les triangles semblables R'H'F' et R,A,F donnent

de même les triangles LAiFi et R 2 A a FJ

I,A.A,F RsA^AjFi'

d'où, 1,A, étant égal à K'H',

(') Soit B le point de rencontre des rayons intérieurs 1,F' et T,F t ; les deux rayons BI, et BR, vont, après réfraction à travers la première surface, passer tous les deux en K : K est donc l'image de B tu à travers la face A, ; de même K' est l'image de B vu à travers la face A t . Si donc l'on mène par le point B le rayon T,T, parallèle à l'axe, les deux rayons T, F, et T 3 FJ, qui vont aboutir respectivement aux foyers F, et Fj, passeront par les points K et K'. Par suite aussi, les deux droites KH et K'H' sont respectivement les images de la droite BC à travers les deux faces de la lentille.

D'ailleurs, les points F[ et F f étant conjugués par rapport à la face A 2 , on a

d'où

.Jb. i~^L— i

Donc

De même

y A+fi-e

On ea déduit

le rapport des distances focales de la lentille est égal au rapport des indices des milieux extrêmes, quelle que soit la matière de la lentille.

Cherchons la distance de chaque point principal à la surface correspondante. Nous avons

ou, si nous désignons par k f la distance H'A 2 comptée positivement de H' à A 2 vers l'extérieur, suivant la convention générale, ou de A t à H' vers l'intérieur,

d'où

De même

L'interstice HH' est

yi-h/i-*

Si les deux milieux extrêmes sont l'air, n z = /i, = 1 , n 2 =«, les deux distances focales deviennent égales, y =/, et la formule établie plus haut donne

J ~ J ~(/i-i)[/i(R+RV("-- | Kf ou

I , .A I Jl — I € \

J—V* '^K + R' n RR7'

Les distances A et A' des plans principaux aux faces correspondantes ont alors pour valeurs respectives

elles sont proportionnelles aux rayons

et Tinterstice 8=e— A — A' devient

Quand e est peu considérable par rapport à R et R', on a sensiblement

Ainsi, dans une lentille ordinaire, en verre d'indice -, 8 dif-

fère peu de -^ e.

D'ailleurs, la relation f=f entraîne HJ\ = H'N' = o; donc dans une lentille placée dans l'air les points nodaux N et N r se confon-

RÉFRACTION. — RÉFRACTION A TRAVERS UN SYSTÈME DE SURFACES. 439 dent avec les points principaux H et H', et le centre optique est en C, les trois points H, H' et étant toujours conjugués deux à deux.

Fig. s88

Les constructions à effectuer pour obtenir le conjugué d'un

. - - Kg. 389

rayon donné ou l'image d'une petite droite perpendiculaire à l'axe

se simplifient alors, comme le montrent les figures 288, 290 (lentilles convergentes), et 289, 291 (lentilles divergentes).

Passons on revue les diverses formes de lentilles citées précédemment.

Kg. 191

Relativement à la lentille biconvexe, les raisonnements et les figures établis plus haut se rapportant à cette forme (sauf indication contraire), nous n'avons rien à ajouter.

Fig. agi

Dans une lentille plan-convexe, R' = «j ; par suite /=-—-; fi=o : le premier plan principal est tangent au sommet de la face courbe; /)' = -; et par conséquent 3 = e.

La lentille biconcave a ses deux rayons négatifs;y est négatif: . nRH[

— R et — R' étant les rayons des deux faces; h, h' et S sont positifs : les points H et H' sont donc à, l'intérieur de la lentille el dans l'ordre normal.

RÉFRACTION. — RÉFRACTION A TRAVERS UN SYSTEME DE SURFACES. 441 Si la lentille est plan-concave, R' = co ,j= — -, A=o, h'=-.

Dans un ménisque convergent, on a »RR'

(n-i)[»(H'--Rj + (n-iH'

expression qui sera positive si

n(K'-R) + («-i) e >o, c'est-à-dire si

Or le premier membre de cette dernière inégalité représente la

distance d des centres et 0' des deux faces

On a donc à distinguer les trois cas suivants :

d> -, la lentille est convergente.

Il ne suffit pas, on le voit, pour qu'une lentille soit convergente, qu'elle soit plus mince sur les bords, ce qui a lieu quand d est > o.

Il faut que rfsoit > -•

Supposons la condition satisfaite. Les distances des points H et H' aux faces A et A' sont respectivement

; cR

et l'interstice

A est négatif, h' positif et S positif aussi : les points H et H' sont dans l'ordre normal, H, H'; mais H est à l'extérieur de la lentille (').

d=-, on a un verre neutre.

d<-, le ménisque est divergent. Alors, h est positif et h' négatif : les points principaux sont a droite des surfaces correspondantes. 3 est positif si d est < o, c'est-à-dire si la lentille s'épaissit

Kg. Vt

sur les bords : dans ce cas, les points principaux sont disposés normalement, et la marche des rayons s'effectue comme dans une lentille biconcave ou plan-concave. Au contraire avec d>o,

(') D'ailleurs, les deui foyers tombent en dehors de la lenlille supposée toujours d'une Épaisseur moindre que l'un et l'autre rayons; en effet, /est > h',

puisque, R élant> e, nR est > ne, et à plus forte raison - — — est > e.

8 est < o, la disposition ordinaire des plans principaux est renversée : H' précède H ; un rayon suit alors la marche indiquée dans la ligure 294.

Ainsi, quand l'épaisseur est faible, les deux plans principaux sont à l'intérieur d'une lentille biconvexe ou biconcave, l'un de ces plans étant tangent à la face courbe si la deuxième face devient plane; dans un ménisque, un plan principal au moins est à l'extérieur, du côté de la face la plus courbe.

Combinaison de deux systèmes optiques. — Soit maintenant le système résultant de l'association de deux lentilles, ou plus généralement de deux systèmes i et 2, représentés par leurs plans principaux A„ Aî, Aï, Aj et leurs foyers F,, F!, F„ FJ, les interstices des deux systèmes étant respectivement 8, et' S), et l'écartement entre le deuxième plan principal du premier système et le premier plan principal du deuxième étant AJA, = e. Le premier système est en contact par sa face d'entrée avec un milieu d'indice n, et par sa face de sortie avec un milieu d'indice /»«,; le deuxième est en contact par sa face d'entrée avec le même milieu d'indice n m et par sa face de sortie avec un milieu d'indice n e . Les éléments du système résultant, compris entre les mêmes milieux extrêmes, se détermineront

exactement comme dans le cas d'une lentille unique, avec cette seule différence que les plans A„ Aj sont en quelque sorte dédoublés.

Les triangles semblables R'H'F' et RJAiF d'une part, 1ÏAÏFJ et RÎA a FÎ d'autre pari, donnent encore

D'ailleurs, les points F! et F' étant conjugués par rapport au mtème 2,

On a donc

et de même

On en déduit

Ainsi se maintient dans tous les cas la loi déjà formulée : le rapport des distances focales du système résultant est égal au rapport des indices des milieux extrêmes.

D'autre part, les relations

/,f — ^/ r A et

où A' = AJH' et /*=A 1 I1, définissent la position des points principaux du système, dont les points cardinaux sont ainsi connus.

L'interstice est

5 — e+Sj-hSi — h — h\

Si les deux systèmes composants sont deux lentilles placées dans l'air, fi=J[ } /*=/*; et les formules précédentes deviennent

f=r=T fJi

Ji+Jt-e

J\ +Ji - «

RÉFRACTION. — RÉFRACTION A TRAVERS UN SYSTÈME DE SURFACES. 445 Quand le dénominateur de toutes ces expressions devient nul, les points cardinaux sont rejetés à l'infini; les constructions précédentes sont en défaut. Le système est dit afocal. Un faisceau incident parallèle reste parallèle à l'émergence ; mais, en général, sa section change ('). Supposons, pour simplifier, les deux lentilles infiniment minces. Soit e leur écartement. Le rapport de l'image à l'objet est

1 — E* tl ou, si l'on élimine p et p t k l'aide des deux équations

pU+f,

relation évidente sur les figures ci-jointes.

(') Sauf dans le cas où il est parallèle à l'axe, le faisceau change en outre de direction.

La grandeur de l'image est invariable, quelle que soit la distance de l'objet.

Fig. 19;

Lentille équivalente. — Géométriquement, quelque complexe que soit un système optique, il peut être remplacé par une lentille unique, ayant mêmes points cardinaux; car la marche d'un rayon dans les milieux extrêmes ne sera pas affectée par cette substitution.

Supposons le système placé dans l'air. La détermination de la lentille équivalente revient à la résolution des quatre

1 , . / 1 1 « — 1 e \ 7M— 'Kh+ji — n~M')'

dans lesquelles/ et ; sont donnés et qui contiennent s

R, R', n, h, h', e, dont deux, par conséquent, restent arbitraires.

Physiquement, la substitution d'une lentille unique à un système complexe est le plus souvent irréalisable, parce que 1" la position des surfaces extrêmes n'est pas indifférente; 2" les ouvertures n'étant pas infiniment petites, il faut tenir compte de l'aberration de sphéricité que des combinaisons convenables de lentilles permettent d'atténuer.

RÉFRACTION. — DÉTERMINATION DES ÉLÉMENTS PRINCIPAUX. 4i7

429. Détermination expérimentale des éléments caractéristiques d'un système optique. — Mesure de la puissance d'une lentille mince. — Une lentille infiniment mince est définie par sa puissance ou par sa distance focale.

On appelle foco mètres {focus, foyer ; metrum, mesure) ou phakomètrè (çaxoç, lentille; p&pov, mesure) les appareils servant a mesurer la distance focale principale/1

Le focomètre de SUbermann repose sur ce principe qu'une lentille convergente donne d'un objet placé à une distance 2/ une image égale à l'objet, réelle, renversée, et située de l'autre côté de la lentille à la même distance 2/. La lentille convergente L, dont on veut mesurer la distance focale, s'introduit dans une bague disposée à l'extrémité d'un pied mobile le long d'une règle graduée. Sur la même règle peut glisser un deuxième pied mobile, que surmonte un demi-disque D' en matière translucide {ivoire ou verre dépoli), présentant une division millimétrique et recevant la lumière d'une lampe par une lentille A. De l'autre côté de la lentille L, en face du zéro de la règle, est installé un système semblable, composé

Hg. 398

d'un demi-disque identique D et d'une loupe B, que l'on ajuste d'abord de façon à voir nettement la division tracée en D. Puis on déplace à la fois les pièces D' et L, en maintenant toujours D'L=LD, jusqu'à ce que l'image du demi-disque D' (image qui

présente l'aspect D,') venant se placer au-dessous du demi-disque D ('), les traits D', forment le prolongement exact des traits D. La distance DD f est alors égale à 4/i ou plus exactement à bf+l } l désignant l'interstice qui, dans une lentille peu épaisse, est, nous le savons, sensiblement égal au tiers de l'épaisseur de la lentille.

Gomme il est assez difficile pour l'opérateur de maintenir les deux demi-disques à égale distance de la lentille, Soleil ajouta à l'instrument un pignon et deux crémaillères, qui font mouvoir également les deux supports extrêmes de part et d'autre de la lentille restant fixe.

Deux rubans en acier, minces et flexibles, attachés d'un côté à l'objet et à l'écran, de l'autre à une glissière mobile le long du pied de l'appareil, remplissent le même office dans le phakomètre de Snellen, qui se distingue par l'adjonction de deux lentilles convergentes placées symétriquement par rapport à la lentille en étude pour augmenter la convergence, La règle porte une échelle divisée empiriquement en dioptries et donnant la puissance cherchée indépendamment de celle des lentilles supplémentaires.

Ces appareils ne permettent pas de mesurer directement la distance focale d'une lentille divergente. Mais, en associant la lentille divergente à une lentille convergente convenable, on forme un système dont on peutdéterminer la puissance ; et comme la puissance de deux lentilles infiniment minces accolées est égale à la somme des puissances algébriques des deux lentilles, on en conclut la puissance, et par suite la distance focale de la lentille divergente.

Si/ est la distance focale de la lentille divergente, prise en valeur absolue, f la distance focale de la lentille convergente auxiliaire, ? la distance focale du système formé parles deux lentilles accolées,

on a

d'où

( f ) L'image de D' est bien dans le plan de D si i , en déplaçant un peu l'œil devant l'oculaire, on ne constate aucun déplacement de cette image par rapport à D.

Les opticiens évaluent couramment la puissance des lentilles et en particulier des verres de besicles, aussi bien divergents que convergents, au moyen de leur boîte d'optique, qui renferme une série de verres de puissances graduées, positives et négatives. Pour -mesurer la puissance d'une lentille, il suffit de chercher dans la boîte le verre qui, superposé à la lentille, la neutralise. On reconnaît cette neutralisation à ce que les images des objets vus à travers le système complexe ne se déplacent pas quand on déplace celui-ci. Le numéro du verre delà boîte, pris en signe contraire, représente la puissance de la lentille proposée.

Détermination des éléments principaux d'un système optique. — Un système optique est défini par ses quatre points cardinaux : les deux foyers principaux et les deux points principaux (qui se confondent avec les deux points nodaux pour un système dont les faces extrêmes sont en contact avec un même milieu). Ce sont ees quatre points dont il s'agit de trouver la position sur Taxe principal du système, les conditions théoriques d'aplanétisme et d'achromatisme étant supposées satisfaites ( 1 ).

Le procédé le plus simple ( 2 ) et auquel M. Cornu ( 3 ) a donné une forme très précise, peut se formuler ainsi : a) déterminer la position des foyers principaux F, F', par l'observation du point où viennent converger les rayons émanant d'un objet situé à l'infini, vers lequel on tourne successivement les deux faces du système; b) placer un objet à une distance u de l'un des foyers principaux et observer la distance gt' de l'image à l'autre foyer principal : le produit gtgj' est égal au carré f 2 de la distance focale principale. En portant cette longueur à partir de F et de F', dans le sens convenable, on obtient les points 'principaux H, HZ.

à) La première détermination s'effectue aisément si l'on dispose d'une mire assez éloignée pour qu'on puisse la considérer comme tuée à Tinfini, ou d'un collimateur bien réglé. M. Cornu préfère

(*) Si le système n'est pas aplanétique, on en réduira l'ouverture avec un diaphragme conveuable, de façon à faire disparaître l'aberration de sphéricité. S'il n'est pas achromatique, on opérera avec une lumière homogène (l'interposition d'un verre coloré suffit habituellement).

( 3 ) Nous supposons le système placé dans l'air. Trois conditions, dont un grossissement, suffisent alors à le- déterminer.

(*) Cornu, Journal de physique, VI, 276 et 308; 1877. ;

Viol le, Cours de physique. — 11. 29

450 OPT1QCE GfiOlÊTElQCK.

viser an objet se trouvant à une distance on peu grande et approximativement connue u t : la distance de l'image au foyer principal

f étant Oi =— si u, = mf, la quantité u[ dont il faudra corriger la

position de l'image pour aToir celle dn foyer principal se calculera avec une exactitude suffisante dès que m sera assez grand, quand bien même il ne serait qu'imparfaitement connu (').

à) Les mesures de u et de u doivent être faites avec toute la précision possible. Si, en effet, on commet sur u une erreur lu et sur xJ une erreur Se/, il en résulte pour /une erreur If définie par l'équation

ou approximativement

*ftf= vtlu -h o5cr\ ou

lf__ i (lu &J\

En d'autres termes, Terreur relative commise sur la distance focale est la moyenne des erreurs relatives commises sur les distances u et a* de l'objet et de son image.

Les erreurs absolues lu et lu sont du même ordre de grandeur que l'erreur SX afférente à la détermination des foyers ; on peut

donc poser

lf l\ gth-ct' f 2 uu

L'erreur relative sera minima si les distances u et u sont égales entre elles. U en est ainsi dans le focomètre de Silbermann, où u=u'=f; mais, outre que l'instrument n'est pas très précis, cette disposition exige un développement souvent inadmissible (le quadruple de la distance focale).

M. Cornu a trouvé plus pratique et plus exact d'attribuer à u et u deux valeurs pour ainsi dire égales et contraires à celles de Silbermann, en choisissant deux points très voisins des points principaux, savoir le sommet de l'une ou de l'autre des deux surfaces

(') La position du foyer exaclement fixée, on pourra inversement se serrir du système pour régler un collimateur.

extérieures du système optique donné et son image vue à travers la surface opposée.

Sur le milieu de l'une des surfaces, il trace à l'encre de Chine un petit trait S, et il mesure (par un moyeu qui sera indiqué plus

loin) la distance e' de l'image S' du trait regardé a travers l'autre face au sommet S' de cette deuxième face, qu'il a marqué également d'un petit trait. Gomme il a mesuré préalablement les distances des foyers principaux F et F' aux surfaces voisines, c'està-dire FS=rf et FS' = d', l'équation

rf((f +t')=f

lui permet de calculer la distance focale principale/.

Le système étant retourné, il observe S', c'est-à-dire son image S, à travers la surface S, et il mesure la distance S2 = e, ce qui le conduit à une nouvelle équation

déterminant aussi/; d'où une vérification précieuse.

Pour mesurer e et e', M. Cornu monte le système proposé, convenablement diaphragmé et bien centré dans le tube TT', sur un petit

chariot CC mobile le long d'un banc divisé BB', à l'une des extrémités duquel est fixé un microscope à long foyer LL', muni d'un

réticule et d'un oculaire positif définissant avec précision le plan de visée 9 (*). Il fait glisser le chariot de façon à amener successivement dans le plan de visée le trait de la surface S' et l'image S' du trait S; la différence des lectures sur lechelle dans les deux positions du chariot donne la longueur e f .

L'expérience complète, avec les vérifications, comporte six observations :

i° On dirige Taxe optique principal de l'appareil sur un objet situé à une distance connue approximativement et égale à plusieurs centaines de fois la distance focale du système étudié, et Ton déplace le chariot jusqu'à ce que l'image de cet objet vienne se faire (exactement dans le plan de visée du microscope ( a ) ; on lit la position du chariot sur le banc : soit z f cette lecture.

2° On rapproche le chariot jusqu'à ce que le point tracé sur la surface la plus voisine soit perçu nettement dans le microscope; on lit la nouvelle position de l'index z[.

3° On rapproche encore davantage le chariot jusqu'à voir distinctement dans le microscope le point marqué sur la surface opposée du système ; soit z{ la troisième position de l'index.

Si l'objet visé est suffisamment éloigné, on a immédiatement

sinon, on corrige la lecture z[ de la quantité indiquée plus haut, et les formules restent les mêmes.

4°, 5° et 6° On retourne le système optique bout pour bout et l'on fait les trois lectures analogues £ , *i, £ 2 - On a alors

On en conclut

(*) A l'autre extrémité du banc est un collimateur RR' remplaçant pour les mesures rapides un objet à l'infini et pouvant d'ailleurs s'enlever au besoin.

( 2 ) Si le système à étudier est divergent, on pourra se trouver obligé de remplacer le microscope par une lunette astronomique, que l'on prendra à long tirage (de façon que la distance de l'image à l'objectif reste supérieure à celle de l'objet) et à large objectif (pour que le cône des rayons venant d'un point de l'objet ne soit pas trop aigu), afin de conserver une précision suffisante.

( 3 ) .Comme contrôle, on pourra mesurer l'interstice 8 en visant au microscope l'image aérienne d'un micromètre (image réelle fournie par une lentille convergente), directement d'abord, puis à travers le système que l'on déplacera

D'autres procédés ont été parfois employés pour obtenir les éléments d'un système optique.

M. von Helmholtz (') a déterminé les points cardinaux du cristallin de l'homme en mesurant, au moyen de son ophtalmomètre ( 2 ), les largeurs <j et <j t des images d'une fente lumineuse de largeur s, placée successivement aux distances d et d t de la face antérieure de la lentille.

On avait en effet

s-h<j d+h f 5-j-(Ji dt-hh* d'où

n ___ d &^s -+• g) — da(s H- g t ) n — -. .

En retournant le cristallin, on obtenait de même/ à nouveau et V.

Il a trouvé comme moyennes de plusieurs mesures ainsi effectuées, /=46 mm , h = 2 mm ,S, A'=i mm ,5; l'épaisseur du cristallin étant au plus 4 mm ,3, on voit que l'interstice 8 ne dépasse pas o mm ,3. Le cristallin isolé, placé dans l'air, se comporte donc très sensiblement comme une lentille infiniment mince, de longueur focale

:mm

en même temps que le microscope jusqu'à ce que l'image ait repris sa grandeur primitive : elle sera alors dans le premier plan principal du système, et le plan de visée du microscope dans le deuxième plan principal ; le déplacement du microscope donne donc immédiatement 8. (Sentis, Journal de physique, (2), VIII, 283, 1889).

(*) Helmholtz, Optique physiologique t traduction Javal et Klein, p. 105. Paris, Masson; 1867. (Cette l re partie a paru, en allemand, en 1856.)

( s ) V ophtalmomètre consiste essentiellement en une lunette, disposée pour voir à de petites distances, et devant l'objectif de laquelle sont placées deux lames de verre, identiques, masquant chacune l'une des moitiés de l'objectif. Quand les deux lames sont dans un même plan normal à l'axe optique de la lunette, on ne voit qu'une seule image de l'objet observé. Mais si Ton incline les deux lames de quantités égales en sens contraire, l'image se dédouble et l'on peut calculer l'écarté ment des deux images d'après l'angle i formé par les lames avec l'axe (cet écartement est le double du déplacement déterminé p. 404). Si l'on amène au contact les bords opposés des deux images, la largeur de chacune d'elles, étant égale à leur écartement, sera dès lors connue (Helmholtz, loc. cit. f p. M).

430. Aberrations. — Cas dune surface sphériçue. — Considérons d'abord le cas d'une surface sphérique. On a (fig. zj5)

sini Pj-*-R sinr p a — R

sinw""" MP 4 ' sinco"" MP a d'où

£l± R MP 4

/> a -R MF a '

Soit y la longueur de la perpendiculaire abaissée du point M sur l'axe OA,

Nous avons jusqu'ici supposé MP^/^h-R. Nous effectuerons maintenant le calcul en tenant compte des termes en j 2 , mais en négligeant les termes supérieurs. A ce degré d'approximation, qui convient à une ouverture modérée de la surface sphérique,

et de même

On a donc

MP,= P ,-i(i-^)y.

P * aU pj*

1± ^Il/I-Ilyl

ou, en posant, avec Herschell^),— =*,, — =ic r u=*f -= v ( 2 )»

I— -x a (x — ic 2 )j 2 -

( l ) J. F. W. Hbrschkll, PAif. Trons., CXI; 1821. . (*) k est la courbure de la surface, r. t se nomme la proximité du point lumineux, x 2 la proximité de l'image.

et, par suite, en se bornant toujours aux termes en j 2 ,

Au même degré d'approximation, on peut remplacer dans la parenthèse ft a par la valeur qui convient aux rayons centraux,

(* 2 ) c = ( i — v)x — vt: 4 ce qui donne

x 2 = (i — v)x — vt^H — v(i— v)(x4-x l ) 2 [vx-+-(i-hv)T: 4 ]jr 2 . (i)

Si nous posons, pour abréger,

A=(i — v)x — vrc 4 ,

B=-v(i — v)(x + rc 4 ) 2 [vx4-(i-f-v)rc 4 ],

nous aurons

ic â ~A-hBj a et par conséquent

Pt= T~A* r '

Si n est plus grand que i, les rayons marginaux rencontrent Taxe plus près de la surface que les rayons centraux (pour lesquels

jp=o, (/? a ) c =— J (*); l'aberration longitudinale est

À "A^- L'aberration transversale est

Ces valeurs s'annulent pour p=-^R et /?=— (/*-+■ i)R : l'aberration est alors nulle, non seulement aux termes en y % près, mais

(') On le voit très bien avec une grande lentille plan-convexe, dont la face plane est recouverte par un diaphragme percé de quatre trous, deux centraux et deux marginaux.

( 9 ) Ces valeurs sont immédiatement applicables aux miroirs sphériques, la réflexion n'étant pour l'algèbre qu'un cas particulier de la réfraction («== — i).

d'une façon absolue, comme on le reconnaîtra sans peine ('). On vérifiera aussi aisément que dans ces deux cas particuliers se trouve remplie la condition à laquelle une surface doit satisfaire pour èlre aplaoétique par réfraction.

Condition de l'aplanétisme. — Si une surface fait converger en un seul point P, tous les rayons émanés d'un point P„ elle est évidemment de révolution autour de P,P t : il suffit donc de déterminer la courbe méridienne AB. Tous les rayons, qui vont de P, en P, par AB, effectuent cette roule dans le temps minimum

Fig. 3oi

d'après la règle de Fermât (422), et par conséquent dans le même temps, quel que soit le point M où ils pénètrent dans le deuxième milieu. Lu condition de l'aplanétisme est donc

v t et?, étant les vitesses de propagation de la lumière dans lesdeu* milieui, vitesses dont le rapport est égal à l'indice de réfraction du deuxième milieu par rapport au premier,

Si donc nous posons

P ( M = p„ P a M = Pl ,

nous aurons pour l'équation de la méridienne AB PH-"Pi= c "> (') Dani le premier cas {le point lumineux est au centre), p' = R; dans le deuïième, p' = ■ R.

RÉFRACTION. — ARERRATIONS. 451

laquelle représente un nombre inliui de courbes qui sont toutes des ovales de Descartes ('), les rayons p, et p s étant de même signe si les foyers sont de même nature (tous les deux réels ou tous les deux virtuels), et de signe contraire si les foyers sont de nature différente (l'un réel, l'autre virtuel).

Quand les rayons incidents sont parallèles, les distances p, doivent être comptées à partir d'un plan quelconque perpendiculaire à leur direction. Appelant u les distances ainsi comptées, nous aurons

u-r-npj=C'*;

et, comme l'origine des distances u est arbitraire, nous pouvons faire ta constante égale à zéro, ce qui donne

n étant toujours supposé plus grand que i, cette équation représente une ellipse rapportée au point F et à une droite DE telle que

• pi j-", 011 plutôt une infinité d'ellipses, ayant toutes même excentricité {*), égale à n.

Si l'on adjoignait à l'une de ces ellipses une sphère ayant son

(') L'hypothèse n= — 1 redonne les coniques trouvées pour les miroirs (p. 380, note).

(*) On sait que le rapport des distances d'un point d'une ellipse au foyer et a la directrice est égal à l'eicenlricité -■

iS8 OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE.

centre en F, on formerait une lentille ABC qui serait rigoureusement aplanétique pour un faisceau de rayons parallèles. 11 suffirait donc d'augmenter convenablement la courbure de la face convete d'un ménisque convergent à surfaces sphériques, pour avoir un système qui, recevant sur sa face rendue elliptique un plein faisceau de rayons parallèles, ferait converger tous ces rayons en m point unique.

En combinant de même les deux cas où la sphère est aplanétique, Toute s

du faisceau permettra de présenter finalement à une dernière lentille un faisceau assez étroit pour que l'aberration soit très faible. La figure 3o3 montre comment avec trois ménisques convergents aplanétiques on peut réduire à 3o* une ouverture qui était de no" au début ('}.

Cas de deux surfaces sphériques. — Revenons au cas général, et supposons le deuxième milieu séparé d'un troisième par une

(') Les lentilles font supposées toutes les trois en verre d'indice -. La face A. ayant un rayon de 10"'™, le poiut lumineux est placé en P à une distance A[Pï=- -,ii>, et les rayons entrent dans le verre par la surface sphérique 11,11', ayant son centre en P : l'image se forme en P, à la distance A,P,=-.io; «< si l'angle H,PH', = 120°, M,P 1 M', = 70*. De même, le ménisque AjMjM'j abaisse l'angle du faisceau à 45°, et le ménisque A,M-,M' 3 à 3o°.

deuxième surface sphérique, de façon à constituer une lentille; la nouvelle réfraction est représentée par l'équation

^=-(i-v'K-Hv'^-^v'(i-v')()i'+^) 1 [vV+(i+v>;]i' T (2)

l'épaisseur de verre traversée par le rayon marginal étant supposée négligeable, de sorte que ~y*=:y. Dans cette équation, kJ est l'in-

verse de la longueur p' t comptée à partir du pôle de la deuxième surface. Si donc nous représentons par e l'épaisseur de la lentille, quantité de l'ordre de y* et exprimée, au degré d'approximation où nous nous sommes placé, par

nous avons

P%-Pt~ e et par suite

c'est-à-dire

,)»-»=,+|î.(.-*+'=,)"[™+("+*.]+;[( 1 -')»-«,]'(-+"')Jy- (')'

Les équations (1)' et (2) permettront, dans tous les cas, de déterminer la position du foyer des rayons marginaux, et, par suite, de calculer les aberrations, le foyer des rayons centraux étant donné parles termes indépendants dej* des équations {1) et (a).

Considérons le cas d'une lentille ordinaire pour laquelle v'=-, et cherchons les aberrations principales.

Alors

tt 4 = o.

Par suite,

tï' 2 = ( i — v)x -h - ( i — v)x 2 [v 2 x -h ( i — v)(x -h x')]j a .

Soit f la valeur correspondante de p z . Nous avons, en remplaçant xi par (i — v)x dans le coefficient de y 1 et après quelques réductions évidentes,

p — ( x + x) + ^" V ^ y, 3 e+i^[x.' a -h(2— 2v — v a )xx'-h(i — 2v + 2 v 8 )x 3 ).

Mais si ^.=a-h be y en négligeant les puissances supérieures de e, on a : f= %e. Donc

f = — l ——V , ^ ,\ À e 7 Ê ^rx fa -+-(2-2V-V 2 )xx'-f-(l-2V + 2vVl

Les deux premiers termes de cette expression représentent la valeur de/ pour les rayons centraux (*)

(*) Le foyer des rayons centraux dans une lentille épaisse est déterminé immédiatement par les deux équations

Pi J>2 R et

i>3~~.P2--*~ R' ou, avec la notation d'Herschell,

vr t -+- ir 2 = ( i — v)x

Si les rayons incidents sont parallèles, n i = o, ^==(1 — v ) x > e * l'on a

Cette équation donne la valeur de (/) indiquée dans le texte.

L'aberration longitudinale principale est donc

X = -7 r. ^[(x-f-x') 2 — v(2 + vW— 2v(l — v 2 )x 2 ]é.

v(i — v)(x4-x) 2LV ' v ' ■ x 1 J

Toutes choses égales d'ailleurs, elle est proportionnelle à l'épais-

y 2 seur, suivant l'approximation adoptée, ou proportionnelle à-^,

Elle ne s'annulerait que pour une valeur de v>4, valeur physiquement inadmissible, aucun corps n'ayant un indice par rapport

à l'air <-• Mais on peut, dans chaque cas particulier, la rendre

minimum. La distance focale étant choisie, la quantité x-f-x' peut être regardée comme constante, le minimum de X correspondra donc au maximum de

v(2-f-v)xx'4-2v(l — V 2 )x 2 ,

c'est-à-dire au maximum de

[(2 + v)x' + 2(i-v 2 )x] [vx(i-h2v)],

la multiplication par le coefficient constant (i-f-2v) étant évidem- ■ment permise. Mais nous avons alors un produit de deux facteurs dont la somme est constante, et dont, par conséquent, le maximum est atteint quand ces deux facteurs sont égaux, ce qui donne

tel devra être le rapport entre les deux courbures pour que l'aberration soit minimum.

Ramenée à la notation ordinaire,

elle se prête aisément au calcul de la deuxième distance focale principale (comptée à partir du pôle de la face d'émergence, c'est-à-dire / — h' avec les notations employées plus haut).

Si nous supposons /z=-, nous trouvons -=£•

Ainsi, pour obtenir la plus petite aberration, il faudra donnera la deuxième face de la lentille un rayon sextuple de celui que l'on aura attribué à la première face. La lentille pourra d'ailleurs être biconvexe ou biconcave, la face la plus courbe étant, en tous cas, tournée vers les rayons incidents. Les formules précédentes mon-

trentque la distance focale /de la lentille sera alors égale aux-

du plus grand rayon, et que l'aberration est X=i,o8e.

Si l'on retourne cette lentille de manière à exposer la face la moins courbe aux rayons incidents, l'aberration devient plus de trois fois plus considérable (X=3,5e).

Dans la lentille à rayons égaux, X= 1,67 e.

Une lentille plan-sphérique, dont la face courbe est dirigée vers la lumière incidente, a une aberration à peine supérieure au minimum (X— 1,17 e) : aussi, comme elle est d'une construction facile, les opticiens remploient-ils fréquemment ('). Mais il faudrait se garder de présenter la face plane aux rayons incidents, car l'aberration deviendrait énorme (X=4>5e).

L'aberration latérale p est très sensiblement égale à l'aberration

longitudinale X multipliée par la raison d'ouverture y; on a donc

Mais il faut remarquer que le centre du cercle d'aberration reçoit beaucoup plus de lumière que les bords ( 3 ). La caustique forme autour de l'axe une véritable pointe ayant son sommet au foyer. Plus la pointe s'effile, plus se marque la pénétration du foyer, qui n'est autre chose pour une lentille que la propriété de donner dans des plans différents des images suffisamment nettes d'un même point : par suite, les images de points situés à des profondeurs différentes dans l'objet pourront se voir avec une égale netteté.

Combinaisons de lentilles. — S'il n'est généralement pas possible de supprimer l'aberration d'une lentille de verre à faces spbé-

(') Ce serait la forme la plus avantageuse avec un verre d'indice 1,6861. (*) Nous ne parlons qu'au point de vue géométrique, aussi incomplet pour les lentilles que pour les miroirs.

tiques, on peut obtenir l'aplanétisme, relativement aux termes en y", par l'emploi de deux ou de plusieurs lentilles. Par exemple, avec

Fig. 3o5

deux lentilles d'indices déterminés, les courbures de trois des surfaces étant données, on pourra toujours établir la courbure de la quatrième, de façon à annuler l'aberration de sphéricité pour les ouvertures modérées.

Projecteur Mangîn. — De même on peut, en se bornant toujours

Fig. 3o6

aux ouvertures modérées, compenser l'aberration d'un miroir par celle d'une lentille. C'est ce qu'a fait le colonel Mangin dans son projecteur, où il a réuni le miroir et la lentille sous la forme d'un mé-

444 OPTWE «ÏE.JMETRMLE.

niaqne divergeât en crown MLH'L' argenté sur sa face MIT. Il a calcule le rapport qui doit exister entre les rayons de coorbore des deux faces, en fonctioQ de l'indice de réfraction, pour que les rayons incidents parallèles à Taxe 7 SU d'abord réfractés eo pénétrant par la face concave LL\ pois réfléchis par le miroir concave JOT, sortent définitivement saivant des directions RF normales à la surface LL\ en convergeant vers le centre F de cette surface, centre qai sera le foyer principal dn système /;. Dès lors r si Ton place un point lumineux en F, les rayons incidents traverseront normalement la face LL r r se réfléchiront sur la face argentée MM' et se réfracteront à la sortie dans une direction parallèle k Taxe. Effectivement le faisceau émis est presque exactement parallèle. Dans l'opération grandiose effectuée en 1879, sous les ordres des généraux Perrier et lbanez, pour la jonction géodésique de l'Algérie avec l T £spagne T on a pu observer les signaux envoyés par on projecteur Mangin distant de 3oo kilomètres.

Lentilles à échelons de FresneL — Les phares ont toujours réclamé le moyen d'envoyer dans une direction déterminée la pins grande quantité possible des rayons émanant de la source lumineuse. Les miroirs paraboliques semblent résoudre la question, et ils furent en effet employés dès qu 7 Argant T par l'invention de la lampe à double courant d'air, eut réalisé un luminaire assez intense et en même temps de volume assez réduit (*). Mais ces miroirs avaient le grave inconvénient d'entraîner une perte notable de lumière (près de moitié). Augustin Fresnel apporta donc aux phares un perfectionnement précieux en remplaçant l'appareil catoptrique par un système dioptrique y formé de lentilles qui

( ! ) Avec du verre ordinaire [ n = ~) ce rapport serait égal à -, si les

deux

surfaces étaient en contact au sommet A.

( 2 ) Le premier appareil de ce genre fut exécuté par Lenoir sous la direction de Borda et installé en 1791 au sommet du phare de Cordouan par l'ingénieur Teulère. « Ce renouvellement du phare de Cordouan fait époque dans l'éclairage des côtes maritimes. D'une part, en effet, les grands réverbères paraboliques à lampes d'Argant projetaient sur l'horizon des faisceaux de lumière d'une intensité très supérieure à l'éclat des réverbères à mèche plate ou des anciens feoi de charbon ; et d'un autre côté l'intermittence (appliquée depuis quelques années déjà au phare de Marstrand, en Suède) écartait toute possibilité de confusion avec d'autres amers nocturnes » (Léonor Fresnel, dans Œuvres complètes d'Augustin Fresnel, III, 13. Paris; 1870).

n'absorbent pas un dixième de la lumière incidente. Pour recueillir cette lumière dans un large espace angulaire, et la projeter ensuite dans la direction voulue sans absorption et sans aberration appréciables, Fresnel imagina la lentille à échelom, qui

est constituée par une lentille plan-convexe de faible ouverture, entourée d'une série d'anneaux concentriques dont les surfaces sont calculées de façon que le foyer de chacun d'eux coïncide avec le foyer de la pièce centrale ('). En ce point Fresnel plaçait le centre de la flamme d'une lampe à mèches concentriques. On y met aujourd'hui avec grand avantage une lampe électrique, dont les rayons sont visibles à de très longues distances. La portée actuelle de nos phares de premier ordre sur la Méditerranée est de

(') Au mois d'août 1819, Fresnel soumettait à la commission des phares J'épure d'une lentille polygonale, plan-convexe, à profil échelonné ; et, « le 20 juillet 1823, un appareil dioptrique, muni de huit grandes lentilles à échelons, fut installé au sommet du plus beau monument qui, depuis le temps des Ptolémée, ait été consacré au salut des navigateurs; pour la seconde fois, la tour de Cordouan donnait le premier signal d'une heureuse révolution opérée par la science dans l'éclairage des cotes maritimes ». Plus tard, Fresnel compléta son système par l'addition d'anneaux à réflexion totale, ou càtadioptriques, destinés à recueillir et à renvoyer dans la direction voulue les rayons tombant en dehors du cône limité par la lentille. On peut ainsi utiliser tous les rayons compris dans la demi- sphère antérieure. Avec une lampe électrique, il n'y a pas intérêt a aller au delà, parce qu'une bonne taille des crayons entre lesquels jaillit l'arc permet d'avoir dans la demi-sphère antérieure les 0,90 de la lumière totale.

Viollb, Cours de physique. — II. 30

3a, 7 milles marias (plus de 6o kilomètres) pendant les quatorze

quinzièmes de l'année.

Défaut des grandes images. — Ce que nous avons dit de l'aie principal dans les lentilles convient évidemment à tout axe dont l'inclinaison sur l'axe principal est faible. Hais, dès que cette inclinaison devient un peu considérable, de nouvelles défectuosités apparaissent, comme pour les miroirs.

i" Courbure du champ. — Quand l'image d'un objet plan, perpendiculaire à l'axe, s'écarte notablement de l'axe principal, cette image ne reste pas plane. Par exemple, un objet situé à l'infini en regard de la face plane d'une lentille plan-convexe a son image étalée sur une sphère passant par le foyer principal et concentrique à la face courbe. Notons toutefois qu'un ménisque convergent, dont la face concave, suffisamment diaphragmée, regarde l'objet, peut avoir un champ d'une planéité complète »■»"• ■"»« ètonA,,* a* plus de i5°.

a" Distorsion des images. — Les lignes un d'être droites : l'image d'un quadrillage ayanl et normal a l'axe se resserre par les coins [disen barillet), ou se dilate (distorsion en deho

Fig. 3o8

On ne saurait plus en effet parler de points nodaux, ni de directrices : le conjugué d'un point un peu éloigné de l'axe principal ne peut plus se déterminer au moyen des considérations simples qui nous ont servi jusqu'ici. Toutefois on se rend compte assez facilement de l'espèce d'aberration de forme qui se produit alors.

Soit un objet placé en RS entre une lentille convergente, que nous supposerons réduite à un plan OL, et la caustique du

REFRACTION. — ABERRATIONS. 461

point nodal de l'œil P. D'après le principe du retour inverse des rayons, les tangentes à la caustique passant par les différents points a, b, c... de l'objet Tiennent aboutir en P; et l'image qui se peint sur la rétine est semblable à la figure que découpent sur le plan de la lentille les lignes de direction Pa', Pb', Pc'... Or si l'on suppose aè = bc, comme on a

: liïn7'

on voit que Va sera plus grand que a'b'. L'image d'un quadrillage centré normalement sur l'axe prendra donc l'aspect en croissant.

a'b'—ab

b'c' — bc

Il prendrait au contraire l'aspect en barillet s'il se trouvait au delà de la caustique. Les résultats seraient inverses si la caustique était négative.

Le même raisonnement s'appliquerait au cas où l'on recevrait l'image sur un écran.

3" Astigmatisme. — Enfin, pour des rajons très obliques, l'homocentricité disparaît : l'image d'un point situé sur un axe secondaire très incliné n'est plus unpoint; le faisceau réfracté s'étrangle suivant deux droites rectangulaires placées a des distances différentes. Telle est la défectuosité connue sous le nom d'astigmatisme, dé-

fectuosité que nous avons déjà rencontrée à diverses reprises.

et qui constitue en effet le cas général, comme nous allons le

montrer.