DYNAMIQUE

A4. DÉFIWITIOIV. On appelle dynamique la partie de îa mécanique qui comprend l'étude des lois du mouvement.

On appelle vitesse d'un coips le rapport de l'espace parcouru par ce corps au temps qu'il emploie à faire ce trajet. Par suite on mesure la vitesse d'un corps par l'espace qu'il parcourt en un temps donné. L'unité de vitesse est celle qui correspond à l'unité de temps j c'est-à-dire, l'espace parcouru par le corps en 1".

La plupart des forces qui mettent un corps en mouvement n'agissent directement que sur quelques-uns des atomes du corps. C'est ainsi qu'une bille de billard n'est touchée qu'en un trèspetit nombre de points : ce n'est également que sur quelques points d'un boulet que la poudre exerce primitivement sa force. Mais toutes les parties d'un corps se meuvent également , aussi bien celles sur lesquelles la force n'agit pas d'abord, que celles qu'elle pousse directement : en effet , si les parties des corps ne se mouvaient pas également, les unes prendraient l'avance, et d'autres resteraient en retard, d'où il résulterait nécessairement

ropture des corps. Comme toute la masse du corps touché par une force en quelqu'un de ses points se meut simullanément, cela est dû nécessairement à ce que les molécules poussées communiquent leur mouvement aux molécules voisines, celles-ci aux suivantes, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'un même mouvement soit imprimé à toute !a masse. Celle disfiersion dans la masse entière d'un corps, dun mouvement qui n'avait élé imprimé primitivement qu'à quelques-uns de ses atomes, exige un certain temps, généralement très-court, qui dépend de la masse et de la nature du corps. Ainsi , une balle lancée par la pondre sur nn carreau de verre peu éloigné, le perce d'un trou sans le briser. Un boulet à demi portée ne fait qu'un trou dans la coque d'un navire, tandis qu'à portée entière il brise et emporte le bor-. dage. De même encore , la lige d'une piaule herbacée est coupée, sans fléchir, par une baguette qui la frappe vivement. Ces exemples suffisent pour faire comprendre que la communication d'un mouvement ne peut jamais se faire d'une manière absolument instantanée.

Quand un corps a reçu faction d'une force et que le mouvement imprimé par celle-ci à quelques-uns de ses atomes s'est répandu uniformément dans toute sa masse, tout est fini pour la force qui a produit cet effet •' celle-ci peut être alors considérée comme si elle ét;iit introduite dans le corps, et le poussait d'une manière égale et continue; en sorte que, si le corps mù ne rencontrait aucune résistance et était soustrait à l'action de toute force étrangère , il conserverait éternellement le même mouvement dans la même direction; c'est ce que l'on exprime en disant que la force n'agit qu'un instant tandis, que son effet se continue.

43. QUANTITÉ DE MOUVEMENT. Une même force produit des effets très-diflércnts sur des mobiles différenls : la même quantité de poudre ne lancerait pas de même un boulet et une balle. Cette différence du mouvement communiqué par la même force dépend de la quantité de matière contenue dans chaque corps; eu efifet , plus celte quantité sera grande, plus le mouvement sera dispersé, et plus par conséquent il sera affaibli. Ce principe de mécanique est exprimé ainsi : quand une même force agit sur des mobiles différents, elle leur imprime des vitesses qui sont ea raison inverse de leurs masses ou de la quantité

de points matériels qui les compose. Ainsi, la même force qui lancerait des boulets de fer, dont les volumes et par conséquent les quantités de matière seraient entre eux comme les nombres 1, 2, 5, 4, 10, 1000, etc., leur imprimerait des vitesses qui seraient entre elles comme les nombres 1, '/î, '/s j V*» Vio> */ioooi ^^^' ^'^ multipliant chacune des masses par la vitesse correspondante, savoir 1 X 1 ; 2 X '/z 5 3 X 'j,; \0 X '/lo > 4000 X Vioooj etc., on trouve le même produit. Donc, quelle que soit la vitesse imprimée par une force à un corps , le produit de cette vitesse par la masse du corps est toujours égal à celui de la masse d'uu autre corps, multiplié par la vitesse que la même force lui aurait communiquée» L'on appelle quantité de mouvement le produit de la vitesse d'un corps par sa masse. La quantité de mouvement sera évidemment invariable pour la même force , quels que soient les corps sur lesquels elle agisse. Les forces sont donc déterminées par leurs quantités de mouvement respectives, et leurs rapports sont ceux de ces dernières. L'on peut donc poser en principe que les forces sont entre elles comme les quantités de mouvement, et que par suite ces produits numériques servent parfaitement à représenter les forces el à caractériser leurs véritables valeurs.

Ainsi, en représentant par / une force, par ni la masse du mobile qu'elle pousse, et par v la vitesse qu'elle lui donne, on

a la formule J = mv. De là on tire v = — et aussi m = — .

Ces expressions représentent les relations qui existent entre une

force , une masse et la vitesse de celle-ci.

Représentant par / une force agissant sur une masse m , et lui communiquant une vitesse Vy et par/' et m' une autre force agissant sur une seconde masse, et lui communiquant une vitesse v'i la quantité de mouvement de la première force serait exprimée par m?', et celle de la seconde par m' v' . L'on aurait donc, d'après le principe précédent , J \ f \ \ m v \ m' v' . De ce premier principe il en résulte évidemment deux autres, savoir:

1" Que pour des masses égales les forces sont entre elles comme les vitesses imprimées j l'on a donc la proportion ^ '. f '.[ v ] v'.

2** Que pour des vitesses égales les forces sont entre elles comme les masses qu'elles sollicitent, en sorte que l'on ^j'.J'',\m\ m' .

46. COIWMUNICATION DU MOUVEMENT. Lorsqu'un corps en mouvement rencontre d'autres corps , il doit nécessairemeal leur communiquer une partie de son mouvement. Celui-ci se trouve ainsi affaibli ou même entièrement dispersé. La communication du mouvement a lieu de différentes manières , savoir ; par le choc des corps , par la résistance des milieux et par les frottements.

Choc des corps. Le cboc des corps peut présenter diverses conditions , savoir : deux mobiles peuvent se rencontrer en sens contrairement opposés ; deux mobiles marchant dans le même sens peuvent se rencontrer, quand le plus rapide se trouve derrière l'autre^ deux mobiles peuvent se rencontrer dans des directions formant ua angle; enfla, un mobile peut rencontrer ua corps jusqu'alors immobile.

Les résultats produits par le choc sont très-différents, seloo que les corps peuvent être considérés comme privés d'élasticité , ou comme étant au contraire parfaitement élastiques.

47. Pour trouver le résultat produit par le choc des corps non élastiques, il faut évaluer la quantité de mouvement de chacun d'eux, en chercher la résultante (51 — 54), et diviser cette quantité de mouvement commune aux corps réunis par le choc, par la nouvelle masse quils forment par leur réunion. Appliquons ce principe général aux quatre conditions énoncées au paragraphe précédent.

1° Chaque fois que les quantités de mouvement de deux mobiles qui se rencontrent sont opposées et égales , il y a destructien de mouvement; pour que cette destruction soit complète, il faut supposer (ainsi que dans les propositions suivantes) que les mobiles n'aient aucune élasticité. Quand deux masses égales ayant des vitesses égales, se choquent directement, elles s'arrêtent; car les deux quantités de mouvement sont égales et par conséquent s'entredétruisent par leur opposition.

Si les masses des mobiles qui se choquent directement sont inégales, les deux mouvements se détruiront encore, pourvu que les quantités de mouvement soient égales : or, pour cela il suffit que les vitesses soient en raison inverse des masses, c'est-à-dire que l'on ail m [ m' '. . v' '. V , car alors m X v =: m' X »". Donc , si l'une des deux masses qui s'entrechoquent est double

de l'autre , il suffira que celle-ci ait une vitesse double de celle de la première , pour qu'elles s'arrcteut. Si les deux masses sont entre elles comme les nombres 1 et 5 , il faudra , pour qu'elles s'arrêtent par leur choc, que la vitesse de la première soit quintuple de celle de la seconde.

Quand les quantités de mouvement de deux mobiles qui se choquent en sens directement opposés , sont inégales , c'est la plus grande qui l'emporte, et le mobile lancé par elle entraîne l'autre avec un mouvement commun. La quantité de mouvement après le choc, c'est-à-dire, celle qui entraîne les deux masses réunies est la différence des quantités de mouvement primitives. D'ailleurs j pour avoir la vitesse, il suffit de diviser la quantité de mouvement par la masse : donc eu divisant la différence des deux quantités de mouvement primitives , qui est celle des deux mobiles réunis , par la somme des deux masses , on connaîtra la vitesse avec laquelle les deux mobiles se mouvront ensemble après le choc. Ainsi étant m et m' les deux masses, v et v' leurs vitesses, les quantités de mouvement seront m v et m' v' : soit m V plus grand que m' v' : pour connaître la quantité de mouvement après le choc , il suffit de retrancher m' v^ de m v ^ ce qui donnera m v — m' v' : en divisant cette différence par la somme des masses m -H m' , on aura la vitesse des deux mobiles réunis.

2° Si les deux mobiles qui se choquent vont dans le même sens, les quantités de mouvement s'ajoutent; la vitesse qui résulte du choc est d'ailleurs la quantité de mouvement des deux masses divisée par leur somme, c'est-à-dire, la somme des quantités de mouvement primitives mv -+• m' v^ divisée par la somme des deux masses m -h m'.

3" Si les deux mobiles se rencontrent dans des directions angulaires, il faut représenter par une ligne la quantité de mouvement de chacun d'eux et sa direction. Sur les deux lignes obtenues ainsi, on construit le parallélogramme des forces , et on détermine la résultante. Pour connaître la vitesse des deux mobiles réunis, il suffit de diviser par la somme des masses , la quantité de mouvement commune , représentée par la résultante trouvée.

4** Les mêmes principes s'appliquent au cas où un mobile rencontre un corps en repos j en effet, pour avancer il faut que le

mobile cède à l'autre corps une partie de son mouvemcnlj de sorte qu'ils puissent se mouvoir ensuite simultanéaient ; la quantité de mouvenaent que le mobile cédera au second corps dépend de leurs masses relatives; si ces deux corps ont des masses égales, le mobile cédera la moitié de son mouvement au corps immobile , et la vitesse avec laquelle les deux corps se mouvront après le choc, ne sera plus que la moitié de celle qu'avait le mobile seul ; si la masse du mobile est double de celle du corps immobile, il lui cédera le tiers de son mouvement, et la vitesse commune sera les deux tiers de celle du mobile seul. Soit m la masse du mobile, v sa vitesse , m' la masse du corps immobile, et v' la vitesse après le cboc : la quantité de mouvement après le choc sera la même qu'avant , c'est-à-dire , que le produit de la somme des deux masses m -h m' par leur vitesse v' , sera le même que celui de la masse du mobile m par sa vitesse v : l'on a donc l'équatioa 2;X m = v' (m -hm ' ). De cette équation l'on tire la proportion v',v'\\m-\-m'\m. Trois quelconques des termes de celte proportion étant donnés, il sera facile de trouver le quatrième.

Le pendule balistique dont on se sert pour déterminer la vitesse des projectiles est une application du principe précédent. Il consiste en une masse très-pesante, suspendue par un axe horizontal. Le projectile est lancé de manière à venir frapper la partie inférieure de cette masse dans laquelle il pénètre. Il s'élève ainsi avec elle à une hauteur qui fait connaître la vitesse que la masse à reçue, et par suite celle que possédait le projectile, avant le choc.

Quand un rocher vient heurter une montagne , le rocher communique son mouvement aux parties frappées par lui , et ce mouvement se disperse dans toute la masse. Le mouvement ne peut être détruit que par un mouvement contraire. Les chocs, les résistances et les frottements ne le détruisent pas , mais le dispersent à l'infini.

48. Occupons-nous maintenant des résultats produits par le choc des corps que l'on peut considérer comme étant parfaitement élastiques.

Lorsqu'on laisse tomber une boule d'ivoire sur un plan inflexible, on la voit rebondir après le choc, et remonter sensiblement à la même hauteur. Voici comment ou doit concevoir cet

pffel. A l'inslanl où la boule frappe le plan, elle se déforme et perd iuslaiilanémeiit loule sa vilcsse; mais à peine est-elle réduite au repos, que ses molécules se reportent subilemenl à leur première position, en vertu de rélasticilé, et pressent sur le plan de manière à lancer la boule avec une vilcsse égale à celle qu'elle possédait avant le choc.

Quand la boule est venue frapper le plan perpendiculairement, elle se relève dans la même direction , car elle n'est sollicitée par aucune cause à se porter ni d'un côté ni de l'autre.

Quand la boule est venue frapper le plan obliquement, elle se relève en faisant un angle de réflexion égal à l'angle d'incidence. Ces angles sont d'ailleurs compris dans un même plan, ce que l'on exprime en disant que les plans d'incidence et de réflexion coïncident. On appelle angle d'incidence et angle de réflexion , les angles acj^ et bcd (f. 47) que la direction incidente ac et la direction réfléchie cd^ font chacune avec la normale menée au point d'incidence. Pour prouver l'égalité des angles d'incidence et de réflexion, prenons sur ac ^ une longueur me représentant l'impulsion de la boule. Rien n'empêche de la considérer comme une résultante , et de la décomposer en ses deux composantes te et oc] mais aussitôt la force te est reuvo}ée sur elle-même tandis que oc devient es. On a donc ainsi , deux nouvelles composantes et et es. dont la résultante est cr. La boule devra donc rebondir selon cr. Or, les deux rectangles inoct et tesr sont égaux, et il en est de mémcj par suite, des deux angles acb et bed qui se trouvent d'ailleurs dans un même plan.

On peut facilement confirmer ce principe par expérience, en laissant tomber (f. 48) une boule d'ivoire sur un plan de marbre posé obliquement et sur un côté duquel s'élève un demi-cercle gradué.

49. Lorsque deux masses égales, qui se meuvent en sens directement opposés , avec la même vitesse, viennenf à se rencontrer, elles se déforment par leur choc mutuel, et perdent sur le champ leur vitesse; mais reprenant subitement leur forme primitive, elles acquièrent par l'effet de leur élasticité une vitesse rétrograde égale à celle qu'elles avaient avant le choc, en sorte qu'elles retournent au point d'où elles étaient parties. C'est ce dont on peut s'assurer aisément au moyen de l'appareil que représente

la f. 49 , dans lequel un cercle gradué permet d'évaluer les mouvements des deux boules m et n.

On peut s'assurer de même que lorsque des masses égales se meuvent en sens directement opposés, avec des vitesses différentes, elles reviennent sur leurs pas après le choc , comme si elles avaient échangé leurs vitesses respectives. Cet effet est dû à la double influence de la communication du mouvement et de l'élasticité.

Uu semblable échange de vitesse a lieu entre deux masses égales douées de vitesses inégales et se dirigeant dans le même sens, de telle sorte que l'une puisse venir rencontrer l'autre et la pousser.

50. De même, deux billes étant égales en masses , l'une d'elles étant en repos et l'autre venant frapper celle-ci , on remarque que la bille choquante s'arrête et que la bille choquée part avec toute la vitesse que l'autre avait possédée. 4

Lorsque plusieurs billes égales sont suspendues chacune par un fil à la même hauteur (f. 50) de manière à se toucher, et qu'on en laisse tomber une sur les autres, le mouvement se transmet de bille en bille , et la dernière seule se détache. Le mouvement se transmet ainsi avec une très-grande rapidité, et il faudrait opérer sur une file extrêmement longue pour qu'il y eût un intervalle de temps appréciable entre le choc de la première bille et le départ de la dernière. Si on laisse tomber à la fois 2, 5, 4 billes, on en voit 2, 3, 4 se détacher du côté opposé.

51. Résistance des milieux. Un corps en mouvement dans l'air , dans l'eau ou dans un autre milieu quelconque , éprouve des résistances continuelles. Celte résistance des milieux n'est qu'un effet de la communication du mouvement j un corps qui se meut dans l'eau communique à la première couche liquide une certaine partie de son mouvement , dépendante du rapport de leurs masses : puis il rencontre une seconde couche à laquelle il donne encore de son mouvement, et ainsi de suite jusqu'à ce que celui-ci soit entièrement dispersé.

Les perles de mouvement occasionnées par la résistance d'un milieu sont proportionnelles aux carrés des vitesses que possèdent les corps qui le traversent. En effet, appelons 1 la perte de mouvement faite par un corps qui se meut à travers un milieu avec

une certaine vitesse; si la vitesse de ce corps devient double, la perte de mouvement qu'il éprouvera par son passage dans le milieu sera quadruple de la précédente j en effet, en allant deux fois plus vile , il rencontrera deux fois plus de molécules du corps servant de milieu , et fera par conséquent une perte double; mais puisque sa vitesse est deux fois plus grande que précédemment il communiquera à cbaque molécule une vitesse double : la perte de mouvement sera donc deux fois double ou quadruple : donc, pour une vitesse de 2 , la perte devient 4. Pour une vilesse de 5, il y aura cinq fois plus de molécules choquées qu'avec une vitesse de 1, et cliacuue recevra 5 fois plus de vitesse: donc. la perte sera 23; pour une vilesse de 6 , la perte serait 36, etc.

Donc , les pertes de mouvement qu'éprouvent les corps dans les milieux qu'ils traversent, c'est-à-dire, les résistances des milieux , sont proportionnelles aux carrés des nombres exprimant les vitesses. Eu outre, la résistance qu'un milieu opposera à un corps sera d'aulaiit plus grande que celui-ci off'rira plus de surface, toutes choses égales d'ailleurs. Si des corps de même masse se meuvent avec d'égales vitesses dans des milieux différents , les résistances opposées par ceux-ci dépendent évidemment des quantités de matière contenues dans un même volume des fluides servant de milieux, et de leur cohésion.

52. Frottements. On appelle frottement la résistance qu'éprouve un corps en mouvement , de la part d'un autre corps sur lequel il se meut. Le frottement provient des aspérités des surfaces, et probablement aussi de l'atlraction moléculaire qui s'exerce entre les deux matières. Toutes choses égales d'ailleurs , le frottement augmente avec la masse du corps , avec la grandeur des surfaces en contact , et surtout avec la pression que le corps supporte.

Il y a deux espèces de frottement. Le premier est celui d'un corps qui glisse sur un autre , c'est-à-dire , qui présente toujours à celui-ci les mêmes points de sa surface. C'est cette espèce de frottement qui se présente dans le traîneau. C'est elle que l'on emploie pour ralentir le mouvement des voitures sur les pentes , en enrayant les roues pour les empêcher de tourner.

Lorsque, comme dans une roue qui tourne, le corps mobile présente successivement à celui sur lequel il se meut, les différents points de sa surface , on a le frotiement de la seconde

espèce. Celui-ci est beaucoup plus faible que le frottement de ]a première espèce. On tire parti du frotlemenl, pour user les différents corps les uns par les autres , et leur donuer par là différentes formes voulues. Par exemple, l'on obtient les petites billes de pierre, en plaçant des fragments anguleux de matière pierreuse dans des tonnes qui tournent sur leurs axes et qui , agitant ainsi d'une manière continuelle les fragments pierreux , produisent entre ceux-ci des frottements qui en arrondissent la surface.

55. MOUVEMENT UNIFORME. Si une force met un corps en mouvement et qu'elle cesse aussitôt d'agir , l'effet de cette force étant continu, le mouvement continuera avec la même vitesse, en supposant que le corps ne rencontre pas de résistance. La vitesse étant la même, si le mobile parcourt 1 mètre en 1" , iî en parcourra 2 en 2 , 10" en 10", etc.: l'espace parcouru est donc connu en multipliant la vitesse par le nombre de secondes. Représentant par e Vespace parcouru par le mouvement uniforme, par v la vitesse, par / le temps. Ton aura la formule e = V yc t. En représentant v el t par deux lignes , e sera représenté par le rectangle fait sur ces deux lignes (f. 51).

e De réquation e ^= vt Ton tire v = — , c'est-à-dire , que connaissant l'espace parcouru par le corps avec le mouvement uniforme et le temps employé par lui , pour avoir la vitesse , il suffit de diviser l'espace par le temps. De l'équalion primitive

on tire encore / = — , c est-à-dire que le temps employé par

le corps est égal à l'espace parcouru , divisé par la vitesse.

54. MOUVEMENT UNIFORMÉMENT VARIE. C'est celui cii une force constante agit sur un corps d'une manière continue , de sorte qu'elle augmente sans cesse son mouvement , si elle agit dans le sens de celui-ci, ou qu'elle le retarde continuellement, si elle agit en sens contraire. Quand l'action de la force fait augmenter le mouvement d'une manière uniforme, on dit qu'il est uniformément accéléré, et il est uniformément retardé quand la force agit en le diminuant toujours également dans le même temps.

Si un corps , au bout de l'uoiié de temps , a acquis une cer-