SI

laine vitesse par l'action d'une force , il continue de se mouvoir avec cette même vitesse ; mais la force continuant d'agir pendant la 2"* seconde comme elle a agi pendant la première , elle communiquera au corps une vitesse égale à celle qu'il avait déjà acquise: donc au bout de la seconde unité de temps la vitesse sera double; elle sera triple au bout de la troisième, etc. D'après cela , les vitesses sont évidemment proportionnelles aux temps employés: donc étant g la vitesse acquise après \" , elle sera 2g après 2", 5g après 3", \0g après 10", etc.

Donc, pour connaître la vitesse finale acquise par un corps mu avec le mouvement uniformément accéléré pendant un temps quelconque, il suffit de multiplier ce nombre de secondes par la vitesse finale qu'avait le corps au bout de la première seconde, ce qu'on exprime par la formule v = /g.

Soit g la vitesse qu'un corps aura acquise au bout d'une seconde , et soient v et v' les vitesses finales qu'il aura acquises au bout de deux nombres de secondes différents représentés par / et i'. L'on aura évidemment v = ig el v' = t'g ; l'on peut donc poser la proportion v '. v' ''tg [ t'g. Supprimant le facteur g commun aux deux termes du second rapport de la proportion précédente, on obtient v l v' ]] 1 \ t\ ce qui démontre que les vitesses finales sont proportionnelles aux temps.

55. Voyons maintenant quel sera l'espace parcouru par un corps qui se mouvra pendant un certain temps avec un mouvement uniformément accéléré. Représentons (f. 52) par une ligne mn le temps, et partageons cette ligne en autant de parties égales qu'il y a de secondes. Parti du point m , le corps aura au bout de la première seconde acquis une certaine vitesse représentée par la ligue ai. Si en ce point la force cessait d'agir, le corps continuerait de se mouvoir avec le mouvement uniforme , de manière qu'au bout de la deuxième seconde sa vitesse serait restée la même, c'esl-à-dire b 2 ; mais la force n'ayant pas cessé d'agir a nécessairement communiqué au corps pendant la seconde unité de temps une vitesse bc égale à celle qu'elle lui avait communiquée pendant la première : donc au bout de la 2° seconde la vitesse finale est double j au bout de la 3^ seconde, elle serait égale îl d5j c'est-à-dire triple, et au bout de la 4* seconde, elle serait quadruple et exprimée par la ligne m. Il faut concevoir

que, dans le premier instant, le corps reçoit un degré de vitesse infiniment petit, et que, dans chacun des instants suivants, un égal degré de vitesse s'ajoute à la vitesse précédente.

Si maintenant , au lieu de partager la ligne du temps mn en parties aussi grandes que la seconde, nous la partageons eu parties plus petites , et tellement petites que les lignes ai, c 2 , etc., qui représentent les vitesses finales au bout de chaque division du temps, au lieu d'être aussi éloignées, viennent à se toucher, il est évident que toutes ces lignes ainsi réunies formeront un triangle (f. 53) -, la surface de ce triangle mnr , étant formée par la somme des lignes qui représentent les vitesses partielles en chaque unité de temps, représentera nécessairement elle-même la somme des espaces partiels, ou l'espace total parcouru : or, la surface de ce triangle a pour mesure, comme tout triangle, sa base multipliée par la moitié de sa hauteur , c'est-à-dire

r/z mn X — •Ce produit indiquerait l'espace total parcouru. Mais

il faut arriver à une formule générale, au moyen de laquelle

on puisse, sans répéter la construction géométrique, résoudre

toutes les questions de ce genre. Pour y parvenir, appelons t

la ligne du temps mn, et gt la ligne rn représentant la vitesse

finale au bout de la dernière unité de temps; en faisant ces

gt changements , la surface du triangle sera exprimée par / X — ,

qui exprimera également l'espace total parcouru que nous dé-

gt signerons par E; Ton aura donc E = / X — -, ou ce qui est

gi^ egal,E=:-^. Ainsi, pour trouver fespace parcouru par un

corps avec le mouvement uniformément accéléré, il faut faire

le carré du nombre de secondes, le multiplier par la vitesse

finale au bout de la première seconde , et diviser le produit par 2.