Faisant t := l dans la formule e = —, il en résulte

gl^ g g

e = -^ = -^ ; de celte formule e = — • on tire ^ = 2e ,

ce qui signifie que la vitesse finale est double de l'espace parcouru ; c'est-à-dire, qu'un corps qui a parcouru un certain espace avec le mouvement accéléré, parcourrait en un même temps avec

la vitesse finale un espace double. En efifel (f. 55) soit le triangle atg exprimant Pespace parcouru pendant le temps at : prolongeons cette ligne d'une quantité égale tb ^ et supposons que le corps se meuve pendant tout ce temps tb avec la vitesse finale uniforme îg: si en chacun des points de la ligne th ^ nous élevons une perpendiculaire indiquant la vitesse en ce point, toutes ces lignes égales à tg formeront nécessairement un rectangle dont la surface indiquera l'espace total parcouru pendant tb avec la vitesse finale. Or, la surface de ce rectangle est double de celle du triangle atg, qui exprime l'espace parcouru avec le mouvement uniformément accéléré: donc, l'espace que parcourt un corps avec le mouvement uniformément accéléré est la moitié de celui qu'il parcourrait en se mouvant uniformément pendant le même temps, avec la vitesse finale acquise.

59. Si le corps avait déjà eu une vitesse de a , lorsque la force accélératrice a commencé à agir sur lui, la vitesse aurait été pour la 1"", a H- ^ ; pour la 2"'", a-^2g; pour la S""'", a -+- 5 g ; pour la/"^", a-k-tg. Pour trouver l'espace total parcouru par ce corps, il faut calculer l'espace parcouru par l'effet de la force accélératrice, et y ajouter ce qu'il aurait parcouru avec la vitesse uni-

gP forme a seulement; la formule sera donc e= 1- at.

Si un corps ayant une vitesse de a, tombe sous l'action d'une force uniformément retardatrice , les vitesses deviennent successivement a — gf a — 2g, a — tgj l'espace parcouru parce mobile

sera évidemment exprimé par e^=^at . La vitesse diminuant

toujours finira par devenir nulle; alors le corps sera en repos, ou prendra un mouvement opposé au primitif, selon que la force retardatrice deviendra nulle ou continuera d'agir.

60. MOUVEMENT RÉFLÉCHI. Nous avons déjà vu (48) que lorsqu'un mobile doué d'élasticité vient heurter une surface suffisamment résistante j il s'éloigne de celte surface en formant un angle de réflexion égal à l'angle d'incidence. Si le corps se dirige perpendiculairement sur un plan, il se relèvera perpendiculairement; s'il se dirige obliquement sur le plan , il prend une direction nouvelle qui forme une ligne brisée avec celle qu'il possédait d'abord. Cette espèce de mouvement prend le nom de mouvement réfléchi.

61. MOUVEMENT RÉFRACTÉ. Le mouvement réfracté est celui d'un corps qui , passant obliquement d'un milieu dans un autre d'une densité différente, dévie un peu de sa première direction. La réfraction dépend donc de l'obliquité d'incidence du corps, et de la plus ou moins grande résistance du nouveau milieu où entre ce corps. En effet, il n'y a point de réfraction quand le corps tombe perpendiculairement d'un milieu dans un autre plus ou moins dense j ainsi une boule qui tombe verticalement de l'air dans de l'eau en repos conserve la même direction. Il en est de même lorsque les deux milieux ont la même densité et offrent la même résistance au corps en mouvement.

Lorsqu'un corps passe obliquement d'un milieu dans un autre plus dense et plus difficilement pénélrable , il change de direction et se réfracte eu s'éloignanl de la perpendiculaire menée au point d'incidence sur ce nouveau milieu. Soit ai (f. 56) la direction que possédait dans l'air un solide qui tombe sur de l'eau : représentant par ci l'impulsion que ce corps possède, nous pouvons décomposer celle-ci en une force ei parallèle à la surface de l'eauj et en une force di perpendicnlaire à cette surface. La première, ei ne rencontre pas plus de résistance et devient io] tandis que la seconde <^« rencontre une résistance plus grande qui la détruit en partie, et qui la réduit par exemple à la valeur is. Oh a donc ainsi deux forces nouvelles io et is dont la résultante est im. Le corps suivra donc, dans l'eau, la direction iV, en s'éloignant de la normale n/j, menée perpendiculairement au plan d'incidence. Si l'angle mis devient plus grand que ois ^ le corps ne pénétrera pas dans le second milieu , et sera réfléchi au point d'incidence i. C'est ce qui arrive pour une pierre lancée très-obliquement à la surface de l'eau.

On démontre de même (f. 57) que si le corps passe obliquement d'un milieu dans un autre moins dense et plus facilement pénélrable, la composante is qui agit perpendiculairement dans ce second milieu devient plus grande qu'elle ne l'était dans le premier, et que par conséquent le corps suit la direction ir qui le rapproche de la normale np.

Le rapport de l'angle d'incidence cid à l'angle de réfraction sim dépend: du degré d'obliquité du corps en mouvement j delà grandeur et delà forme de ce corps; de sa vitesse:; de la densité

(56) du nouveau milieu. Ces deux angles sont d'ailleurs renfermés dans un même plan.

62. MOUVEMENT CURVILIGNE. Noos venons de voir qu'un corps soumis à l'aclion d'une force qui conserve sa direclion , se meut nécessairement en ligne droite. Si maintenant nous supposons que la direction de cette force varie à intervalles égaux, le corps devra suivre une ligne brisée (f. 38) , et si les intervalles où se font les changements de direclion sont très rapprochés, cette ligne polygonale constituera une courbe.

Le imême résultat se présentera si un corps qui a reçu d'une force momentanée un mouvement uniforme se trouve sans cesse écarté de la direction qu'il en a reçue , par une autre force qui agit sur lui^ par intervalle, en un sens différent delà première. Soit c un corps qui se trouve soumis pendant un instant à l'impulsion d'une force horizontale capable de lui faire parcourir en 1" la ligne ca (f. 39). Le mouvement uniforme de ce corps ne pourra pas être continué si celui-ci se trouve soumis en même temps à l'action d'une seconde force qui le sollicite, à chaque seconde d'intervalle, de haut en bas dans une direclion verticale, et qui serait capable de lui faire parcourir à elle seule en 1" la distance cb. D'après les conditions que nous venons d'établir, et conformément au théorème du parallélogramme des forces, le corps se trouvera au bout de la première seconde au point r. Là, il se trouvera sous l'action de la force verticale re = cb, et, en même temps , sous celle de l'impulsion reçue représentée par la résultante cr^rri : donc, sous cette double influence, le corps arrivera au point r' au bout de la deuxième seconde. Au bout de la troisième unité de temps , il se trouvera en r" , et ainsi de suite : il suivra donc la ligne polygonale crr'r" .

63. Si l'on diminue de plus en plus l'intervalle des instants où les deux forces agissent simultanément, les côtés du polygone seront de plus en plus racourcis, et cette figure finira par se transformer en une courbe que l'on nomme trajectoire.

Soit c un corps poussé par une force momentanée quelconque dans la direction cm (f. 60) qu'il parcourrait sous son influence seule, avec un mouvement uniforme capable de le mener en a, by Jetc, au bout de 1", de 2", de 3", etc. Soit /une force continue qui agisse sans cesse sur le corps c de manière à lui faire

prendre, si elle agissait seule, un mouvement uniformément accéléré tel que ce corps parcourrait en i" , 2" et 5" les dislances ce, ci et ch , qui sont proportionnelles aux carrés des temps employés.

Par Taclion simultanée de ces deux forces , le corps c se trouvera au bout de la première seconde au point r, au bout de la deuxième en r', au bout de la troisième en r", etc. Il est évident que si on considère les eflets produits par l'action simultanée des deux forces à des intervalles de temps fort courts, la ligne polygonale crr'r" , deviendra une courbe. Celle courbe sera une parabole. En effet, nous remarquons que les carrés des ordonnées y sont proportionnelles aux abscisses, ce qui caractérise la figure parabolique.

Les bombes lancées par la poudre sont un exemple d'une projection parabolique (f. 61) dont la forme serait parfaite si elle n'était altérée par la résistance que l'air oppose au mouvement du projectile, et par la convergence des directions de la pesanteur au centre de la terre.

64. FORGES CENTRALES. Supposons aciuellement qu'un corps soumis d'abord à une impulsion propre à lui faire prendre un mouvement uniforme, se trouve aussi soumis à l'action d'une force continue qui l'attire sans cesse vers un même point, Soilc (f. 62} un corps qu'attire sans cesse vers le point central m une force continue capable de lui faire parcourir en 1" l'espace ca; et soit donnée à ce corps c une impulsion propre à lui faire prendre un mou vement uniforme par effet duquel il parcourrait en 1" l'espace cq , toute autre force étant supposée absente. Sous l'action simultanée des deux forces réunies, le corps c parcourra en 1" la résultante cr. Dans la deuxième seconde, il parcourrait une dislancery9=C7", si Ia force centripète qui le sollicite vers m n'existait plus; mais celle force continuant de l'adirer vers m avec une intensité représentée par rb=caj il est évident que dans celle deuxième seconde ce corps arrivera enr', où les mêmes effets se reproduiront encore.

Si, au lieu de considérer les actions simultanées des deux forces à des intervalles aussi grands que nous venons de le faire , on diminue ceux-ci suffisamment, il est évident que la ligne polygonale crr'r" deviendra une courbe.

Celle courbe est susceptible de varier selon la nature de lu force centrale, et selon les rapports qu'elle présente avec la direction el rénergie de Timpulsion primitive donnée suivant cq.

Les mouvements que les corps célestes décrivent les uns autour des autres, sont dus à une force d'impulsion et à une force centrale qui consiste en une attraction réciproque qu'ils exercent entre eux, proportionnellement à leurs masses et inversement aux carrés de leurs distances. C'est en tenant compte de ces lois qu'on explique la forme elliptique des orbes que décrivent les planètes , la forme circulaire que paraissent posséder les orbes de quelques satellites, el enfin la forme parabolique des orbes que parcourent les comètes. 65. FORGE CENTRIFUGE. Dans le mouvement que nous venons d'examiner, nous avons vu qu'en chaque point de la courbe qu'il décrit, le corps cherche à s'échapper suivant la tangente menée en ce point, et cela ^en vertu de la vitesse acquise. Ainsi, au point c le corps tend à suivre la ligne cg (f. 62) , et au point r il tend à suivre la direction rp , etc. C'est par effet de la force centrale que le corps, au lieu de se porter en g vient se rendre en r, et qu'au lieu de marcher vers p il arrive en r' . Celte force centrale peut donc être représentée par la longueur gr ou pr' , pour des instants égaux. Cette longueur représente certainement aussi l'effort contraire avec lequel le corps c tend à s'écarter du centre et que la force centrale détruit sans cesse. Ou appelle yorce centrifuge l'efforl avec lequel un corps tend ainsi à s'écarter sans cesse d'un centre autour duquel il tourne.

Il est évident que dans le mouvement circulaire représenté par la figure précédente, l'énergie de la force centrifuge ne sera nullement changée si on suppose la force centripète anéantie , mais remplacée par un obstacle quelconque capable d'empêcher le corps c de s'écarler du centre m. De cette manière, soil (f. 65) un point matériel c attaché à un point fixe o par un fil co inextensible. Si ce petit corps reçoit une impulsion cm perpendiculaire au rayon co, il va décrire un cercle autour du centre o , el le fil éprouvera une tension égale à la force centrifuge, c'est-à-dire, à l'effort avec lequel le corps c tend à s'écarter du centre autour duquel il tourne.

La valeur de la force centrifuge acquise en décrivant le cercle est égale au carré de la vitesse divisé par le rayon du cercle, ce que

l'on peut représenter par la formule /= — . (a) On peut aussi la représenter par la formule /= .

(rt) Soit (f. 64) c un corps tournant en cercle autour du point o. Appelons y Tin tensi te avec laquelle ce corps serait ramené vers le centre par la force centrale quelconque qui s'oppose avec égalité à la force centrifuge, et représentons par ca l'espace que cette force centrale, agissant seule, ferait parcourir au corps c en un certain temps appelé x. Si nous supposons cette fraction de temps être infiniment petite, on peut regarder la force ca , comme n'ép rouvant pendant sa durée aucun changement de grandeur ni de direction; c'est— à-dire, qu'au bout de ce temps x, lorsque le corps sera arrivé en m, la force ca sera restée égale et parallèle à elle-même^i^.

Ceci posé , rappelons-nous la formule de l'espace parcouru par un corps

sous l'action d'une force continue, e =.- — , et observons que de celte formule on peut tirer la valeur de g^; en effet, l'on a gr=z--^' Or 1 espace

parcouru en un temps x par le corps c sous l'action de la force centrale ,

serait ca : on peut donc poser, conformément à la formule précédente,

^ 2crt , , , . , 1, M, (^"^^ /

j-^z-j-, La geometne nous apprend d ailleurs que ca=^ — t on peut

confondre Ici l'arc avec la corde , à cause de l'extrême petitesse que nous leur supposons ). Remplaçons maintenant ca par la valeur qui lui

est assignée dans 1 équation précédente et nous aurons /"= . Le

x-oc

mouvement circulaire étant uniforme , nous connaîtrons la vitesse en divisant l'espace cm par le temps x employé à le parcourir : on a donc

1)= ou v^=: — - . Remplaçant dans la formule que nous avons posée

tout à l'heure les termes du second membre par leur valeur respective, nous aurons doncy^izz , ce qu'il fallait démontrer.

Soit T le temps qu'emploie le mobile pour parcourir la circonférence

quelconque dont la valeur géométrique est Sirr. Le mouvement étant urii-

Sttt forme ou aura 2T^r=vT , et on tirera pour valeur de la vitesse, 2^= .

z;2 Remplaçant donc dans la formuley=: , le signe v de la vitesse par la

4Tr2,.

valeur que lui assigne l'équation précédente nous obtenonsy=— — — .

66. La force centrifuge, augmenlant ainsi avec la vitesse de rotation, est proportionnelle au rayon du cercle et en raison inverse du carré du temps employé à parcourir celui-ci.

Par exemple , dans des cercles inégaux décrits en un même temps (f. 63) les forces cenlrifuges sont proportionnelles aux rayons, c'est-à-dire, doubles pour des rayons doubles, triples pour des rayons triples, etc. Dans des cercles égaux décrits en des temps différents (f. 66) les forces cenlrifuges sont en raison inverse des carrés des temps. Le temps employé par le corps c pour décrire le cercle a étant de 2" , et de 5" pour décrire le cercle 6, la force centrifuge du premier cercle est à celle du second , en raison inverse des carrés de 2 et 3. L'on a donc la proportion/) j' ] | 9 | 4.

On peut déterminer les deux principes que nous venons

4~-r d''énoncer , au moyen de la formule / = — — ^"' indique la

relation existant entre la force centrifuge, le rayon de rotation

et la durée de celle-ci.

Si, cherchant le rapport qui existe entre la force et le rayon,

4-r' nous varions r, nous aurons /' = — ;; — . Nous pouvons donc

47tV 4"V' poser la proportion f ', j' W ! — ;;— • De la on lire

/!/'!! r I r' , ce qui est renoncé du rapport direct des forces aux rayons.

Si, cherchant le rapport qui existe entre la force et la durée,

nous varions t^ nous aurons/' = — ,— . Nous pouvons alors

4"2/- 4-2,. poser là proportion f \ j \\ — — '. ~tt- • réduisant au même

dénominateur , nous obtenons / r , et

' ■ * t'^v • fV- '

simplifiant f '. j' ',\ f- [ t~. Cette dernière expression énonce que les forces cenlrifuges sont en raison inverse des carrés des durées de la rotation.

67. Tout corps qui tourne autour d'un centre acquiert une force centrifuge dépendante de la vitesse de rotation. C'est ainsi qu'une pierre placée sur une fronde en tend les cordons et s'échappe suivant la tangente menée au point du cercle où on l'abandonne

( Gi ) à elle-même. Soit (f. 67) un tube de verre recourbé et incliné, renfermant dans son coude inférieur de l'eau et quelques balles de plorab et de liège, et que ce tube placé sur un pivot puisse recevoir un mouvement de rotation sur lui-même. Aussitôt que ce mouvement de rotation commencera , on verra l'eau et les balles s'élever dans les parties a et 6 du lube , et cela d'autant plus que ces corps auront plus de masse, c'est-à-dire, les balles de plomb au-dessus de l'eau et celles de liège au-dessous. Une balle qui serait placée exactement en c ne changerait pas de place.

C'est par effet de la force centrifuge qu''un verre rempli d'eau et tournant en cercle, de manière à présenter son fonds extérieuremetat, ne perd rien du liquide qu'il contient. C'est encore par suite de la force centrifuge qui s'y développe dans chaque section transversal*, qu'un corps conique ou ovoïde, qu'on fait tourner sur sa pointe, se maintient dans une position verticale. La force centrifuge peut servir ainsi à maintenir l'équilibre des corps en un grand nombre de cas.