PESANTEUR

68. SA NATURE. On appelle ainsi la propriété qu'ont tous les corps de tomber vers le centre de la terre, quand ils ne sont pas retenus par une résistance quelconque. La cause de cette propriété est une force attractive qui s'exerce entre les molécules des corps et celles du globe terrestre, attraction que l'on peut considérer dans ses effets comme si elle n'appartenait qu'au centre de la terre , et que l'on appelle attraction terrestre , gravité ou pesanteur.

On donne le nom de gravitation à une force de même nature qui s'exerce entre les corps célestes , et dont les actions sont proportionnelles aux masses et en raison inverse des carrés des distances de ces globes.

Tous les corps sont soumis à l'action de la pesanteur. Si quelques-uns semblent d'abord soustraits à l'action de cette force et s'élèvent, tels que la fumée, cela est dû à ce qu'ils sont plongés dans des milieux- plus pesants, et qui par conséquent, venant se placer au-dessous d'eux , les forcent à être soulevés.

La direction de la pesanteur peut être prise au moyen d'un corps pesant suspendu à un fil ; la direction du fil , et par conséquent celle de la pesanteur, est toujours perpendiculaire à la surface des eaux tranquilles; c'est pourquoi l'on se sert d'un^/ à plomb pour déterminer la verticale, c'est-à-dire la ligne perpendiculaire à l'horizon. La surface de la mer étant, malgré ses agitations superficielles, d'une stabilité parfaite dans son ensemble, on dit que la direction de la pesanteur est perpendiculaire à la surface de la mer ; elle l'est donc aussi à la surface de la terre, car on appelle ainsi la surface sphéïoïdale de la mer prolongée à travers les terres , dont une partie se trouve audessus et une partie au-dessous de ce niveau. Puisque la direction de la pesanteur, en un point quelconque de la terre, est toujours perpendiculaire à la surface terrestre, il s'en suit que toutes ces directions viennent se réunir au centre du globe (f. 68). Comme les espaces examinés eu un même lieu de la surface de la terre sont fort petits , relativement au rayon terrestre qui est de 6366745 mètres, on considère comme parallèles les directions de la pesanteur en un même lieu.

69. CHUTE DES CORPS. Un corps qui tombe suit la verticale. Cependant , quand un corps tombe d'une grande hauteur , il dépasse un peu la verticale vers l'est. Cela est dû à ce que, à la hauteur où il était placé , il possédait une force centrifuge plus grande que celle du point inférieur pris à la surface de la terre , et que par conséquent il doit tomber un peu à l'orient de celui-ci.

Un corps placé à la surface du globe, au point a par exemple (f. 69) , est attiré par toute la masse terrestre ; mais quand il est placé au point 6, il n'est attiré du haut en bas que par la masse qui se trouve au-dessous de la ligne mn^ et toutes les parties de matière qui se trouvent au-dessus tendent au contraire à le faire monter. Plus donc un corps est placé profondément au-dessous de la surface terrestre, moins l'action qui le sollicite vers le

ccnlre est considérable. Placé au centre , il serait en équilibre, car il serait attiré dans tous les sens avec une force égale.

Il résulte de ce qui précède, que si nous supposions .la terre percée de part en part par un canal ab (î. 70), et qu'un corps fût abandonné à l'ouverture a de ce canal , il descendrait avec un mouvement accéléré produit par l'addition successive de vitesses de plus en plus petites. Arrivé au centre, le corps devrait s'arrêter; mais la vitesse qu'il aurait acquise ne le lui permettrait pas, et il serait forcé de continuer son ctiemin vers b. Dans ce trajet de c en 6, il se produirait des effets contraires et d'une égale intensité, à ceux qui se sont produits pendant le trajet de a en c. Le corps arriverait donc jusqu'en b. avec un mouvement de plus en plus retardé. Le phénomène se reproduirait alors en sens inverse. Si donc il n'y avait ni résistance ni frottement , le corps passerait perpétuellement de a en i et de b en a,

70. LOIS DE LA PESANTEUR. Dans un même lieu , la pesanteur est la même pour tous les corps , et s'ils ne tombent pas tous avec la même vitesse, cela est dû à la résistance de l'air. L'air offrira d'autant plus de résistance à la chute des corps , que ceux-ci auront des surfaces plus grandes pour la même masse de matière : c'est ainsi qu'une feuille d'or plate tombe plus lentement qu'elle «e tombe quand elle est réduite en sphère.

La résistance de l'air est donc la seule cause de l'inégalité de vitesse dans la chute des corps. En effet, dans le vide les corps tombent tous avec la même vitesse. Etant un grand tube (f. 71) dans lequel on fait le vide et oii se trouvent, du papier, une balle de plomb, une plume ou d'autres corps de poids très différents, on les voit tomber tous avec la même vitesse quand on retourne le tube. Donc , dans un même lieu , la pesanteur agit avec la même intensité sur tous les corps. C'est ce qui nous sera conGrraé par l'usage du pendule, avec lequel nous verrons des corps de nature différente produire les -mêmes effets.

Sans la résistance de l'air , la chute de la neige , de la pluie et surtout de la grêle, serait d'une violence souvent dangereuse, toujours nuisible.

71. La pesanteur exerçant une action continue sur les corps , il est évident que le mouvement qu'elle leur imprime est uniformément accéléré : aussi voyons-nous les corps dîins leur chute

augmenter conlinuellement de vitesse. Ce mouvemeDt est bientôt si rapide qu'il n'est plus possible à l'œil de mesurer les espaces parcourus eu un temps donné ; il faut donc, pour pouvoir étudier la chute des graves , le ralentir sufGsamment. On y parvient par l'emploi du pendule, du plan incliné ou de la machine d'Atwood. Cette machine (f. 72) consiste en une poulie fixe , parfaitement mobile sur son axe, sur laquelle passe un £11 de soie très-fin , portant à ses deux extrémités deux poids égaux m et m'. La poulie est fixée au sommet d'une colonne ab ., sur laquelle sont tracées des divisions métriques , et qui porte un anneau et un curseur, tous deux mobiles. Les deux poids m et m' étant égaux, sont en équilibre dans toutes leurs positions; mais si, étant placés comme Pindiquc la figure, on pose sur celui m, un petit corps c, ce corps tombera avec une vitesse qui sera d'autant plus faible que sa masse est plus petite, relativement à celle des deux poids m et m' qu'il entraîne dans son mouvement. En effet, nous savons que pour la même force, les vitesses sont en raison inverse des masses ; si donc le corps c est la 100"* partie du poids de tout le système m -H m' -h c, il descend avec une vitesse qui ne sera que le centième de celle avec Jaquelle il serait tombé libre; l'on pourra donc aisément observer comment se fait cette chute. L'anneau d étant élevé en un point tel de la colonne divisée ab , que le poids m y passe au bout d'une seconde de chute, il est évident que l'espace aJ sera celui parcouru par le corps c pendant la première seconde de sa chute; le corps c étant disposé de manière qu'il soit arrêté sur l'anneau, les deux masses m et m' ne seront plus entraînées par l'action de la pesanteur sur le corps c, mais continueront de se mouvoir d'une manière uniforme avec la vitesse finale acquise. En disposant le curseur e de manière qu'il arrête m au bout d'une seconde de ce mouvement , on voit que l'espace de parcoiiru ainsi avec la vitesse finale, est double de l'espace aJ parcouru en un même temps avec le mouvement uniformément accéléré (a) : cette expérience confirme le principe établi au paragraphe 58.

(a) La colonne divisée ab est posée snr des pieds à vis , de manière qu'au moyen de celles-ci on peut toujours poser la colonne bien verticalement.

72. Eii disposant l'anneau d , de manière qu'il arrête le corps c au bout de 2" de sa cliute , et le curseur e, de manière qu'il arrête la masse m , comme dans le cas précédent, après une chute de 1" depuis que le corps c a été arrêté, on voit que l'espace compris entre Tanneau et le curseur , qui est celui parcouru avec la vitesse finale au bout de deux secondes de chute , est double de celui que, dans l'expérience jjrécédente, on a trouvé avoir été parcouru avec la vitesse finale au bout d'une seconde de chute. On trouverait semblablement que l'espace parcouru avec la vitesse finale au bout de trois secondes de chute, serait triple, etc.; enfin, les vitesses finales sont proportionnelles aux temps, comme cela a déjà élé démontré.

73. En disposant l'anneau d en des points tels delà colonne, qu'il arrête le corps c au bout del", 2", 3", 4", etc., oa trouve que les espaces parcourus depuis le point a sont entre eux comme les nombres 1, 4, 9, 16, etc., c'est-à-dire, qu'ils sont entre eux comme les carrés des temps.

Les machines d'Atwood les plus parfaites portent une horloge à secondes.

Ayant trouvé par les expériences précédentes l'espace parcouru par c en une seconde de chute, et celui double parcouru en un même temps avec la vitesse finale acquise au bout de celte seconde de chute, et sachant que le mouvement était, comme nous l'avons supposé, cent fois plus lent que celui qu'aurait eu le corps c tombant librement, il est facile de connaître les espaces parcourus dans ce dernier cas. C'est ainsi que l'on a trouvé que l'espace parcouru par un grave pendant la première seconde de sa chute esta Paris de 4"'^''",9044, et que par conséquent la vitesse finale au bout de celte seconde est de 9", 8088 : donc dans l'application de la formule du mouvement uniformément accéléré , au cas de la chute des graves , nous aurons à remplacer g par 9™,8088.

74. Déterminer Vespace. Ou peut résoudre ainsi toutes les questions qui se rapportent à la chute des graves, c'est-à-dire des corps sur lesquels la résistance de l'air ne produit que peu d'effets.

Soit proposé de trouver quel espace un corps parcourt pendant 10^/ de chute, et quelle est sa vitesse finale au bout

, en r

de ces 10". On a e ^ ■— ; donc, en remplaçant g et t par

leurs valeurs particulières, Ton aura e =

9"',8088 X 100 gSO^.SS

Au lieu de multiplier, dans la formule e= — , le carré du

temps par la vitesse finale de la 1"^ seconde 9", 8088, et de diviser

le produit par 2 , on peut multiplier de suite ce carré du temps

9"",8088 par — ou 4'°j9044, qui est Tespace parcouru pendant la

première seconde de chute.

75. Déterminer la durée de la chute. Un corps ayant parcouru dans sa chute un certain espace , on se propose de déterminer combien il a employé de secondes. Nous pouvons nous servir, pour résoudre cette question, de la for-

mule e = '' — : nous en connaissons tous les termes excepté/;

nous tirons donc la valeur de celui-ci, / = Il — , c'est-à-dire,

que le nombre de secondes est égal à la racine carrée du quotient que l'on obtient en divisant par 9°, 8088 le double de l'espace parcouru.

Un corps en tombant a parcouru i!22",5: combien de temps

Vq -s/ -199 N" __Z21 = s ",

76. Déterminer la vitesse finale. Pour déterminer la vitesse finale qu'un corps a acquise au bout de sa chule , on se sert de la formule v = gt. Ainsi, après 10" de chule, le corps possède une vitesse finale représentée par v = 9",8088 X 10 = 98'",088.

Mais on peut déterminer la vitesse finale de la cbule d'un grave d'une manière indépendante du temps. En effet , dans

la formule v = gt , remplaçons t par sa valeur 1/—Î trouvée

dans le paragraphe précédent , et nous aurons v= g V f :=:

^^ ^ '^^ = \/2ëg. Dans cette formule g = 9™, 8088 , et e

qui représente l'espace parcoura pendant la chule est seul variable.

On peut donc poser v = y/ 2ë7= V ^8^ =V'2X9"',8088Xe =

77. Déterminer la durée d'une ascension verticale. Proposonsnous maintenant de savoir à quelle hauteur pourra monter uu mobile auquel on imprime veiticalement de bas en haut une impulsion capable de lui faire prendre , si elle agissait seule, un mouvement uniforme dont la vitesse serait de a'"'"'"''* par secondes. La pesanteur agira dans cette circonstance comme force retardatrice, et la vitesse décroissante sera représentée par v= a — gt.

Le corps s'arrêtera donc quand on aura a = gt , c'est-à-dire,

a quand (/ = - ) le nombre de secoî:des est égal au quotient de a

par g.

78. Déterminer la hauteur d'une ascension verticale. Remplaçons

dans la formule e r=. at — —— du mouvement uniformément re-

tardé (59) t par la valeur que nous venons de lui trouver et

a^ ga^ a^ a- a" ^ , •>

nous aurons e =^ — — -— = — ■ = — -. Letle dernière

g 2g2 g 1g Ig

expression représente donc l'espace que le corps peut parcourir,

c'est-à-dire , la hauteur à laquelle il pourra s'élever.

Si l'on demande à quelle hauteur pourra s'élever un corps qui

reçoit de bas en haut une impulsion verticale capable de lui faire

prendre à elle seule , une vitesse uniforme de 50,""^'''^* par seconde ,

on trouvera la réponse en posant l'équation e=r-— — =127,'°5.

79. Déterminer f impulsion verticale qii'ilfaut donner à un corps pour qu''il monte à une hauteur voulue. Après s'être élevé à la hau-

teur représentée par la formule — , le corps retombera avec lemou-

vement uniformément accéléré, et reviendra au point de départ ea

a 2 gt^ ^ parcourant ce même espace — = — . De cette équation l'on tire

— =gt2 j puis — =^^j et enfin— = /. Letle expression repre- 8 8'' 8

sente le temps que le corps met à descendre, et nous voyons que ce temps est le même que celui que le corps a employé à monter. La vitesse que le corps a acquise au bout de cette descente est re-

présentée par v=gt que 1 on peut remplacer par v=g^ - ou i'=a;

c'est-à-dire, qu'elle est la même que celle que le corps avait au moment de son départ.

D'après ce que nous venons de dire, il devient facile de déterminer quelle vitesse il faudrait imprimer verticalement de bas eu haut à un corps, pour qu'il puisse s'élever à une hauteur donnée. En effet, il faudra lui imprimer une vitesse égale à celle qu'il aura en retombant de cette hauteur et que nous savons être représentée

par la formule v :^ y/ 2 eg. Ainsi , si l'on veut élever un corps à ISS^jS il faut lui donner une impulsion verticale de bas en haut capable de lui communiquer, à elle seule , une vitesse uniforme

représentée par v=^\/1 X 122,3 X 9j8=:49°. En effet , l'espace que le corps parcourra sous cette condition sera représenté par

80. Déterminer l'impulsion verticale qu'il faut donner à un corps^ pour lejaire monter pendant un certain temps. Nous avons vu au paragraphe précédent que le temps que le corps emploie à monter, il l'emploiera aussi à redescendre. Connaissant ainsi la durée de la chute, on en connaîtra la vitesse finale. Or celle-ci est égale, comme nous venons de le voir, à l'impulsion qu'il faut donner au corps .

Soit donc demandé quelle impulsion vcriicale il faut donner de bas en haut à un corps, pour le faire monter pendant 10". Ce corps retombera pendant 10" , et il aura alors une vitesse finale de 9", 8088 X 10 = 98"", 088. C'est cette même vitesse qu'il faut lui donner au moment du départ.

81. PLAN nVCLINÉ. On appelle plan incliné, tout plan qui fait un angle aigu avec un plan horizontal. La ligne ab (f. 73), oblique à l'horizon , est la longueur du plan , et la perpendiculaire à l'horizon, ad y en est la hauteur. Une poulie roulant sur une corde tendue obliquement à l'horizon, a servi à Galilée pour étudier les lois de la pesanteur.

Un corps rond c étant placé sur un plan incliné ab ne pourra être en équilibre, et la force qui fera mouvoir le corps sur le plan incliné , sera à la force de gravitation totale ^ comme la hauteur ad du plan est à sa longueur ab.

Pour le démontrer , représentons par la ligne ne la force de pesanteur; nous pouvons la considérer comme la résultante de deux forces , dont l'une ic est perpendioulaire au phm , et rendue nulle par la résistance de celui-ci , et dont l'autre cm , ou son égale in , pousse le corps csur le plan incliné; cette force est à la pesanteur comme la hauteur du plan est à sa longueur, caries deux triangles semblables (a) icn et abd donnenl la proportion tm [nc'.'.ad'.aL^